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1、二次函数知识点讲解学生编号:年级: 九年级课时数: 2学生姓名:辅导科目:数学学科教师:课题授课日期及时段教学目的教学内容【知识点梳理归纳】1. 定义:一般地,如果cbacbxaxy,(2是常数,)0a,那么y叫做x的二次函数 . 2. 二次函数2axy的性质(1)抛物线2axy的顶点是坐标原点,对称轴是y轴. (2)函数2axy的图像与a的符号关系 . 当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点;当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点. (3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy)(0a. 3. 二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线 . 4. 二次
2、函数cbxaxy2用配方法可化成:khxay2的形式,其中abackabh4422,. 5. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: 2axy; kaxy2; 2hxay; khxay2;cbxaxy2. 6. 抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向:当0a时,开口向上;当0a时,开口向下;a相等,抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴(或重合)的直线记作hx. 特别地,y轴记作直线0x. 7. 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法(
3、1)公式法:abacabxacbxaxy442222,顶点是),(abacab4422,对称轴是直线abx2. (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为khxay2的形式,得到顶点为(h,k) ,对称轴是直线hx. (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9. 抛物线cbxaxy2中,cba,的作用(1)a决
4、定开口方向及开口大小,这与2axy中的a完全一样 . (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2,故:0b时,对称轴为y轴;0ab(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧; 0ab(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧 . (3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置. 当0x时,cy,抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点(0,c) :0c,抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴;0c, 与y轴交于负半轴 . 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧,则0ab. 10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数
5、解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口当0a时开口kaxy22hxaykhxay2cbxaxy211. 二次函数的解析式的求法用待定系数法可求出二次函数的解析式,确定二次函数一般需要三个独立条件,根据不同条件选择不同的设法:(1)设 一般式 :y=ax2+bx+c(a0)若已知条件是图像上的三个点,则设所求二次函数为y=ax2+bx+c,将已知条件代入,求出a,b, c 的值。(2)设 交点式 :y=a(1xx) (2xx) (a 0)若已知二次函数图像与x 轴的两个交点的坐标为(1x,0) , (2x,0) ,设所求二次函数为y=a(1xx) (2xx) ,将第三点( m ,n)的
6、坐标(其中m 、n 为已知数)或其他已知条件代入,求出待定系数a,最后将解析式化为一般形式。(3)设 顶点式 :y=a(hx)2+k(a0)若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),设所求二次函数为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页y=a(hx)2+k(a0) ,将已知条件代入,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式。12. 直线与抛物线的交点(1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). (2)与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2). (3)抛物
7、线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x,是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:有两个交点0抛物线与x轴相交;有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;没有交点0抛物线与x轴相离 . (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同( 3)一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是kcbxax2的两个实数根 . ( 5) 一 次 函 数0knkxy的 图 像l与 二 次 函 数02acbxaxy的 图 像G的 交 点
8、, 由 方 程 组cbxaxynkxy2的解的数目来确定:方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点;方程组无解时l与G没有交点 . (6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021,xBxA,由于1x、2x是方程02cbxax的两个acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121题型一:二次函数的定义相关例 1 下列函数中,是二次函数的是 . 142xxy;22xy; xxy422;xy3;12xy;pnxmxy2;xy4;xy5. 例 2 如果函数y=(k-3)232kkx
9、+kx+1 是二次函数 , 则 k 的值一定是 _. 例 3 二次函数 y=x2+2x7 的函数值是8,那么对应的x 的值是()A 3 B 5 C 3 和 5 D 3 和 5 . 【巩固练习】1已知二次函数2532xxy,当1x时y. 2下列各式中,y 是 x 的二次函数的是( ) A12xxyB022yxC22axy D 0122yx. 3若1222)(mmxmmy是二次函数,则m= . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页4若函数54)82(22xxmmy是关于 x 的二次函数,则m的取值范围为 . 5已知函数1)
10、3(72mxmy是二次函数,则m . 题型二:一般式化为顶点式例 4 分别运用公式法和配方法将二次函数y=x24x+ 6 化为 y=(x h)2+k 的形式: y=_. 【巩固练习】分别用配方法和公式法把二次函数y=x24x+5 化成 y=(x h)2+k 的形式 .题型三:二次函数的性质例 5 抛物线23312xxy与2axy的形状相同,则a= 例 6 二次函数cbxaxy2的图象, 如图所示, 根据图象可得a、 b、c 与 0 的大小关系是 () A a 0,b0,c0 Ba0,b0,c0C a0,b 0,c0时, 开口向 _,具有性质:当x?0?时, ?函数值 y?随 x?的增大而 _,
11、当 x0 时,函数值y 随 x 的增大而 _,当 x=0?时,?函数取最 _?值为 _ 当 a0 时,函数值 y 随 x 的增大而 _,?当 x”,“0 B a0; b0;042acb;其中正确的结论有()A1 个B2 个C3 个D4 个8抛物线2228,5,41xyxyxy共有的性质是()A开口方向相同 B开口大小相同C当 x0 时, y 随 x 的增大而增大D对称轴相同9抛物线221xy不具有的性质是()A开口向下; B对称轴是y 轴;C当 x0 时, y 随 x 的增大而减小; D 函数有最小值. 10如图,当ab0 时,函数y=ax2与函数 y=bx+a 的图象大致是()精选学习资料
12、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页11. 已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示,则一次函数的图象不经过()A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限12. 二次函数cbxaxy2的图象如图所示,若点A(1,y1)、 B(2,y2)是它图象上的两点,则 y1与 y2的大小关系是() A 21yyB21yyC21yyD不能确定13. 在平面直角坐标系中,先将抛物线22xxy关于 x 轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为()A22xxyB22xxyC22xxy
13、D22xxy二、解答题1 已知一次函2322mxmxmy的图象过点(0,5) 求m的值,并写出二次函数的关系式; 求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴2 (2010年厦门湖里模拟) 一次函数yx3 的图象与x轴,y轴分别交于点A,B一个二次函数yx2bxc的图象经过点A,B(1)求点A,B的坐标;(2)求二次函数的解析式及它的最小值1. 已知二次函数215222yxx. (1)求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值;(2)求出抛物线与x 轴、 y 轴交点坐标;2. (09 浙江)如图抛物线254yaxxa与轴相交于点、,且过点(,)(1) 求 a 的值和该抛物线顶点P的坐标(2) 请你设计一种平移的方法, 使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页3已知抛物线cbxxy2的部分图象如图所示.(1) 求 b、c 的值; (2)求 y 的最大值; (3) 写出当0y时,x的取值范围 . yx12345-1-2123-1-2O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页