理论力学-碰撞理论教材课件

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1、第八章第八章 碰碰 撞撞 西北工业大学西北工业大学西北工业大学西北工业大学支希哲支希哲支希哲支希哲 朱西平朱西平朱西平朱西平 侯美丽侯美丽侯美丽侯美丽动动 力力 学学碰碰 撞撞第八章第八章 碰碰 撞撞 85 85 碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用 84 84 碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用 碰撞中心碰撞中心碰撞中心碰撞中心 83 83 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数 82 82 碰撞时的动力学定理碰撞时的动力学定理碰撞时的动力学定理碰撞时的动

2、力学定理 8 1 8 1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征第第八八章章碰碰撞撞理理 论论 力力 学学目录第八章第八章 碰碰 撞撞8-1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象碰撞问题基本特征几个基本假设第八章第八章 碰碰 撞撞一、碰撞现象一、碰撞现象塑料塑料 碰碰撞撞是是一一种种常常见见的的力力学学现现象象。当当物物体体在在极极短短的的时时间间间间隔隔内速度发生急剧的改变时就发生碰撞。内速度发生急剧的改变时就发生碰撞。榔榔头头重重一一点点好好还还是是轻一点好轻一点好？榔榔头头把把长长一一点点好好还还是短一点好是短一点好？8-1 8-1

3、碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征第八章第八章 碰碰 撞撞 击球手的手握在哪里击球手的手握在哪里所受的撞击力最小？所受的撞击力最小？这与碰撞有关系吗？这与碰撞有关系吗？8-1 8-1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征第八章第八章 碰碰 撞撞工程中碰撞实例工程中碰撞实例 碰碰撞撞是是一一种种常常见见的的力力学学现现象象。当当物物体体在在极极短短的的时时间间间间隔隔内速度发生急剧的改变时就发生碰撞。内速度发生急剧的改变时就发生碰撞。8-1 8-1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特

4、征碰撞现象及其基本特征第八章第八章 碰碰 撞撞工程中碰撞实例工程中碰撞实例8-1 8-1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征第八章第八章 碰碰 撞撞不成功的降落不成功的降落8-1 8-1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征第八章第八章 碰碰 撞撞 碰碰撞撞是是一一种种常常见见的的力力学学现现象象。当当物物体体在在极极短短的的时时间间间间隔隔内内速速度度发发生生急剧的改变时就发生碰撞。急剧的改变时就发生碰撞。工程中碰撞实例工程中碰撞实例8-1 8-1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基

5、本特征碰撞现象及其基本特征第八章第八章 碰碰 撞撞工程中碰撞实例工程中碰撞实例飞行员座椅弹射装置飞行员座椅弹射装置8-1 8-1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征第八章第八章 碰碰 撞撞工程中碰撞实例工程中碰撞实例汽车碰撞实物试验汽车碰撞实物试验8-1 8-1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征第八章第八章 碰碰 撞撞汽车碰撞虚拟试验汽车碰撞虚拟试验研究的问题：研究的问题： 车体间的碰撞、人体与车体的碰撞、人体内脏的碰撞车体间的碰撞、人体与车体的碰撞、人体内脏的碰撞8-1 8-1 碰撞现象及其基本特征

6、碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征第八章第八章 碰碰 撞撞工程中碰撞实例工程中碰撞实例8-1 8-1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征第八章第八章 碰碰 撞撞这这些些都都是是碰碰撞现象吗撞现象吗？8-1 8-1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征第八章第八章 碰碰 撞撞例例如如，两两直直径径25mm的的黄黄铜铜球球，以以72mm/s的的相相对对法法向速度碰撞，向速度碰撞， 碰碰撞撞过过程程的的持持续续时时间间极极短短，通通常常用用千千分分子子一一秒秒或或万万分分之一秒来度量。

7、之一秒来度量。 碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。二、碰撞问题基本特征二、碰撞问题基本特征8-1 8-1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征例如，用铁锤打击钢板表面。例如，用铁锤打击钢板表面。塑料塑料力传感器力传感器接示波器接示波器碰撞时间只有碰撞时间只有0.0002秒。秒。第八章第八章 碰碰 撞撞8-1 8-1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征锤重锤重4.45N;碰撞前锤的速度碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;碰撞的时间间隔碰撞的时间间隔 0.00044s;撞击力峰值撞

8、击力峰值 1491 N， 碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。例如，用铁锤打击钢板表面。例如，用铁锤打击钢板表面。塑料塑料力传感器力传感器接示波器接示波器若不小心砸到手上若不小心砸到手上! !碰撞的时间间隔碰撞的时间间隔 0.01s;撞击力峰值撞击力峰值 244.8 N，静载作用的静载作用的335倍。倍。静载作用的静载作用的55倍。倍。第八章第八章 碰碰 撞撞8-1 8-1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征 由由于于碰碰撞撞过过程程是是一一个个十十分分复复杂杂的的物物理理过过程程，要要研研究究碰碰撞撞过过程程的的动动力力学

9、学问问题题，必必须须进进行行适适当当的的简简化化，略略去去次次要要因因素素，突突出出事事物物的的本本质质，以获得较简单的力学模型。以获得较简单的力学模型。 1. 由于碰撞力很大，是一般平常力（如重力、弹性力由于碰撞力很大，是一般平常力（如重力、弹性力等）的几百倍甚至几千倍，等）的几百倍甚至几千倍， 故故平常力在碰撞过程中可以忽平常力在碰撞过程中可以忽略不计。略不计。 0 0Cyv vC CI IF FI INNxAu uC C 注意：注意：注意：注意：摩摩摩摩擦擦擦擦力力力力是是是是碰碰碰碰撞撞撞撞力力力力时时时时, , , ,不能忽略不能忽略不能忽略不能忽略。三、几个基本假设三、几个基本假设

10、第八章第八章 碰碰 撞撞FmaxtFOt1t2 2. 由于碰撞力随时间而变化，瞬时值很难测定。由于碰撞力随时间而变化，瞬时值很难测定。8-1 8-1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征 不不考考虑虑碰碰撞撞力力在在极极小小碰碰撞撞时时间间间间隔隔t内内的的急急剧剧变变化化，平均碰撞力的近似估计值可表示为平均碰撞力的近似估计值可表示为 因因此此，通通常常是是用用碰碰撞撞力力在在碰碰撞撞时时间间内内的的冲冲量量来来表表示示碰碰撞撞的强弱。这个冲量称为的强弱。这个冲量称为碰撞冲量碰撞冲量。第八章第八章 碰碰 撞撞 3. 碰碰撞撞时时间间非非常常短短促促，

11、而而速速度度是是有有限限量量，两两者者的的乘乘积积非非常小，因此在碰撞过程中，碰撞物体的位移可以忽略不计。常小，因此在碰撞过程中，碰撞物体的位移可以忽略不计。8-1 8-1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征 4. 采用采用准刚体模型（局部变形的刚体）准刚体模型（局部变形的刚体）。物体的整个碰撞过程分为两个阶段。物体的整个碰撞过程分为两个阶段。即可以认为即可以认为碰撞前后物体的位置不变碰撞前后物体的位置不变。 参参与与碰碰撞撞的的物物体体仍仍考考虑虑为为刚刚体体，但但在在碰碰撞撞点点的的局局部部范范围围内可以允许变形，这样就忽略了弹性波在物体内部的

12、传播。内可以允许变形，这样就忽略了弹性波在物体内部的传播。第八章第八章 碰碰 撞撞8-1 8-1 碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征碰撞现象及其基本特征变变形形阶阶段段 由由两两物物体体开开始始接接触触到到两两者者沿沿接接触触面面公公法法线线方方向向相相对对凑凑近近的的速速度降到零为为止。度降到零为为止。 恢恢复复阶阶段段 物物体体由由于于弹弹性性而而部部分分或或完完全全恢恢复复原原来来的的形形状状，两两物物体体重重新新在在公法线方向获得分离速度，直到脱离接触为止。公法线方向获得分离速度，直到脱离接触为止。碰撞过程的两个阶段碰撞过程的两个阶段变形阶段变形阶段恢复阶段恢

13、复阶段nn第八章第八章 碰碰 撞撞8-2 碰撞时的动力学定理碰撞时的动力学定理 用于碰撞过程的动量定理-冲量定理 用于碰撞过程的动量定理矩-冲量矩定理第八章第八章 碰碰 撞撞一、一、 用于碰撞过程的动量定理用于碰撞过程的动量定理-冲量定理冲量定理上式表示了碰撞时质点系的冲量定理。即上式表示了碰撞时质点系的冲量定理。即质点系在碰撞过程中的动量变化，质点系在碰撞过程中的动量变化，等于该质点系所受的外碰撞冲量的矢量和等于该质点系所受的外碰撞冲量的矢量和。 质质点点系系的的动动量量可可以以用用质质点点系系的的总总质质量量M与与质质心心速速度度的的乘乘积积来来计计算算，所以可以改写为所以可以改写为其中其

14、中vC 和和vC分别是碰撞开始和结束时质心分别是碰撞开始和结束时质心C的速度。上式称为的速度。上式称为碰撞时的质碰撞时的质心运动定理心运动定理。 对于质点系有对于质点系有88- -2 2 碰撞时的动力学定理碰撞时的动力学定理碰撞时的动力学定理碰撞时的动力学定理第八章第八章 碰碰 撞撞xzyriMiO 根根据据研研究究碰碰撞撞问问题题的的基基本本假假设设，在在碰碰撞撞过过程程中中，质质点点系系内内各各质质点点的的位位移移均均可可忽忽略略，因因此此，可可用用同同一一矢矢 ri 表表示示质质点点 Mi 在在碰碰撞撞开开始始和和结结束束时时的的位位置。置。或者写成或者写成全部内碰撞冲量之矩的总和恒等于

15、零，所以只剩下外碰撞冲量的矩。Iimivimivi二二 、用于碰撞过程的动量定理矩用于碰撞过程的动量定理矩-冲量矩定理冲量矩定理88- -2 2 碰撞时的动力学定理碰撞时的动力学定理碰撞时的动力学定理碰撞时的动力学定理质点对固定点的动量矩为质点对固定点的动量矩为碰前：碰前：碰后：碰后：所以所以对于整个质点系有对于整个质点系有第八章第八章 碰碰 撞撞上上面面两两式式分分别别表表示示了了碰碰撞撞时时质质点点系系对对点点（或或对对轴轴）的的冲冲量量矩矩定定理理，即即在在碰碰撞撞过过程程中中，质质点点系系对对任任一一点点（或或任任一一轴轴）的的动动量量矩矩的的变变化化，等等于于该该质质点点系系所所受受

16、到到外外碰碰撞撞冲冲量量时时对对同同一一点点（或或同同一一轴轴）之之矩矩的的矢矢量量和和（或或代代数数和）和）。 由由于于碰碰撞撞过过程程中中伴伴随随有有机机械械能能损损失失，因因此此研研究究碰碰撞撞问问题题一一般般不不用用动能定理。动能定理。 冲量矩定理冲量矩定理冲量矩定理冲量矩定理88- -2 2 碰撞时的动力学定理碰撞时的动力学定理碰撞时的动力学定理碰撞时的动力学定理把上式投影到任一轴上，例如把上式投影到任一轴上，例如Ox上，则得上，则得xzyriMiOIimivimivi第八章第八章 碰碰 撞撞8-3 恢复系数恢复系数碰撞的分类恢复系数第八章第八章 碰碰 撞撞 设质量分别为设质量分别为

17、m1和和m2的两个光滑球作平动，两球质心的速度分别为的两个光滑球作平动，两球质心的速度分别为v1和和v2，且，且v1v2，在某瞬时发生正碰撞。在某瞬时发生正碰撞。 先先以以两两球球为为研研究究对对象象。考考察察整整个个碰碰撞撞过过程程，因因外外碰撞冲量等于零，故由冲量定理，有碰撞冲量等于零，故由冲量定理，有沿沿水平方向投影，得水平方向投影，得碰撞结束时，两球仍作平动，其速度分别为碰撞结束时，两球仍作平动，其速度分别为v1和和v2。C C1 1C C2 2nv1v2碰撞前碰撞前碰撞前碰撞前C C1 1C C2 2nv1v2碰撞后碰撞后碰撞后碰撞后88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数

18、数数数二、恢复系数二、恢复系数第八章第八章 碰碰 撞撞沿水平方向投影，得沿水平方向投影，得从而求出从而求出 考察碰撞的第一阶段考察碰撞的第一阶段变形阶段变形阶段。用用u表示表示变形结束时变形结束时两球的公共速度。两球的公共速度。以两球为研究对象以两球为研究对象C C1 1C C2 2nv1v2碰撞前碰撞前碰撞前碰撞前C C1 1C C2 2nu u碰撞变形阶段结束时碰撞变形阶段结束时碰撞变形阶段结束时碰撞变形阶段结束时88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数因外碰撞冲量等于零，故由冲量定理，有因外碰撞冲量等于零，故由冲量定理，有第八章第八章 碰碰 撞撞沿水平方向投影，得沿水平方

19、向投影，得分别取两球为研究对象分别取两球为研究对象 考察碰撞的第一阶段考察碰撞的第一阶段变形阶段变形阶段。C C1 1v1u uI1C C2 2I1v2u u88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数由冲量定理，有由冲量定理，有x第八章第八章 碰碰 撞撞沿水平方向投影，得沿水平方向投影，得 恢恢复复阶阶段段与与变变形形阶阶段段碰碰撞撞冲冲量量I2和和I1的的大大小小的的比比值值，可可以以用用来来度度量量碰撞后变形恢复的程度，称为碰撞后变形恢复的程度，称为恢复系数恢复系数，用，用e表示。表示。 现在考虑碰撞的第二阶段现在考虑碰撞的第二阶段恢复阶段恢复阶段。C C2 2C C1 1I

20、2I2v1v2u uu u88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数利用冲量定理，有利用冲量定理，有x第八章第八章 碰碰 撞撞消去消去u，得，得利用式利用式 恢恢复复阶阶段段与与变变形形阶阶段段碰碰撞撞冲冲量量I2和和I1的的大大小小的的比比值值，可可以以用用来来度度量量碰撞后变形恢复的程度，称为碰撞后变形恢复的程度，称为恢复系数恢复系数，用，用e表示。表示。即即88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数第八章第八章 碰碰 撞撞可以证明，对于一般碰撞，恢复系数可以证明，对于一般碰撞，恢复系数两球正碰撞时的恢复系数为两球正碰撞时的恢复系数为88- -3 3 恢恢恢恢

21、复复复复 系系系系 数数数数第八章第八章 碰碰 撞撞 大大量量的的实实验验表表明明，恢恢复复系系数数主主要要与与碰碰撞撞物物体体的的材材料料性质有关，可由实验测定。性质有关，可由实验测定。 恢复系数一般都小于恢复系数一般都小于1而大于零而大于零（0e1），这时的碰撞称为这时的碰撞称为弹弹性碰撞性碰撞。物体在弹性碰撞结束时，变形不能完全恢复，动能有损失。物体在弹性碰撞结束时，变形不能完全恢复，动能有损失。 理想情况理想情况e =1时，碰撞结束后，物体能完全恢复原来的形状，这时，碰撞结束后，物体能完全恢复原来的形状，这种碰撞称为种碰撞称为完全弹性碰撞完全弹性碰撞。 在另一极端情况在另一极端情况 e

22、 =0 时，说明碰撞没有恢复阶段，即物体的变时，说明碰撞没有恢复阶段，即物体的变形不能恢复，碰撞结束于变形阶段，这种碰撞称为形不能恢复，碰撞结束于变形阶段，这种碰撞称为非弹性碰撞非弹性碰撞或或塑塑性碰撞性碰撞。88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数第八章第八章 碰碰 撞撞88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数恢复系数测定恢复系数测定一种最简单的测定恢复系数的方法如图所示。一种最简单的测定恢复系数的方法如图所示。h1h2v1v1nACB第八章第八章 碰碰 撞撞 例例题题8-1 8-1 两两小小球球的的质质量量分分别别为为m1和和m2 ，碰碰撞撞开开始始时时两两

23、质质心心的的速速度度分分别别为为v1和和v2 ，且且沿沿同同一一直直线线，如如图图所所示示。如如恢恢复复系系数数为为e，试试求求碰碰撞撞后后两两球球的的速速度度和和碰碰撞撞过过程程中中损损失失的的动动能。能。 C1v v1 1C2v v2 2例例例例 题题题题 8-18-188- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例题8-1第八章第八章 碰碰 撞撞 图图示示两两球球能能碰碰撞撞的的条条件件是是 。设设碰碰撞撞结结束束时时，二二者者的的速速度度分分别为别为 和和 ，方向如图所示。，方向如图所示。由恢复系数定义有由恢复系数定义有联立联立（a）和和（b）二式，解得二式，解得解：解：（a

24、）（b）C1C2（c）v1v288- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-18-1根据动量守恒，有根据动量守恒，有1.碰撞后两球的速度碰撞后两球的速度第八章第八章 碰碰 撞撞可见，当可见，当 时，时， ， 。在碰撞过程中质点系损失的动能为在碰撞过程中质点系损失的动能为 以以T1和和T2分分别别表表示示此此两两球球组组成成的的质质点点系系在在碰碰撞过程开始和结束时的动能，则有撞过程开始和结束时的动能，则有C1C2v1v2（d）88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-18-12. 碰撞过程中的动能损失碰撞过程中的动能损失第

25、八章第八章 碰碰 撞撞（d）考虑到考虑到于是有于是有88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-18-1第八章第八章 碰碰 撞撞 在在理理想想情情况况下下，e = 1 , T = T2 T1 =0。可可见见，在在完完全全弹弹性性碰碰撞撞时时，系统动能没有损失，即碰撞开始时的动能等于碰撞结束时的动能。系统动能没有损失，即碰撞开始时的动能等于碰撞结束时的动能。如果第二个物体在塑性碰撞开始时处于静止，即如果第二个物体在塑性碰撞开始时处于静止，即 v2=0， 则动能损失则动能损失为为 在塑性碰撞时，在塑性碰撞时，e = 0 ，动能损失为动能损失为88- -3 3 恢

26、恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-18-1第八章第八章 碰碰 撞撞可见，可见，在在塑性碰撞塑性碰撞过程中的动能损失与两物体的质量比有关过程中的动能损失与两物体的质量比有关。 注意到注意到 上式可改写为上式可改写为 上式可改写为上式可改写为 88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-18-1第二个物体在塑性碰撞开始时处于静止，即第二个物体在塑性碰撞开始时处于静止，即 v2=0， 则动能损失为则动能损失为第八章第八章 碰碰 撞撞Av vo oAv v0 088- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数 思考题(a)(b) 图

27、图(a)、(b)中中各各球球完完全全相相等等，摩摩擦擦不不计计。球球A以以水水平平速速度度v0向向右右运运动动，设设发发生生完完全全弹弹性性正正碰碰撞撞。其其他他各各球球速速度度如如何何？。？。BFEDC第八章第八章 碰碰 撞撞工程中碰撞实例工程中碰撞实例打桩打桩打桩打桩锻压锻压锻压锻压88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数第八章第八章 碰碰 撞撞 锤打桩的过程可以看成两物体的对心正碰撞。把桩打入要锤打桩的过程可以看成两物体的对心正碰撞。把桩打入要依靠锤和桩相撞后一起运动的动能，打桩的效率定义为依靠锤和桩相撞后一起运动的动能，打桩的效率定义为 例例8-2 打桩机锤头的质量是打

28、桩机锤头的质量是 m1 ,被打入的桩的质量是被打入的桩的质量是 m2 。假假定恢复系数定恢复系数 e = 0 , 求打桩的效率。求打桩的效率。解：解：设锤头在和桩开始接触时具有的速度是设锤头在和桩开始接触时具有的速度是 v1 ,则初动能则初动能88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-28-2例题8-2第八章第八章 碰碰 撞撞本例中本例中 v2 = 0 ，所以所以故打桩的效率等于故打桩的效率等于可见，比值可见，比值 m2 / m1 越小，则打桩效率越高。越小，则打桩效率越高。打桩机锤头的质量是 m1 被打入的桩的质量是 m2榔头敲钉子88- -3 3 恢恢

29、恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-28-2碰撞时的动能损失碰撞时的动能损失T1可由下式求得可由下式求得第八章第八章 碰碰 撞撞 这也是两物体的对心正碰撞问题。这里，使锻件变形的有效功这也是两物体的对心正碰撞问题。这里，使锻件变形的有效功是碰撞时损失的动能是碰撞时损失的动能 T 。锤锻的效率定义为锤锻的效率定义为 例例8-38-3 锻机的锤头质量是锻机的锤头质量是 m1 ,锻件连同砧块的质量是锻件连同砧块的质量是 m2 , 恢复恢复系数是系数是 e , 求锤锻的效率。求锤锻的效率。解：解：设锤头在和锻件开始接触时具有的速度是设锤头在和锻件开始接触时具有的速度是 v1 ,则

30、初动能则初动能88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-38-3例题8-3第八章第八章 碰碰 撞撞本例中本例中 v2 = 0 ，所以所以故锤锻的效率等于故锤锻的效率等于可见，锤头相对于砧块和锤件来说质量越小，则效率越高。可见，锤头相对于砧块和锤件来说质量越小，则效率越高。88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-38-3碰撞过程中的动能损失碰撞过程中的动能损失T 可由下式求得可由下式求得第八章第八章 碰碰 撞撞 例例题题8-4 8-4 如如图图所所示示物物块块A自自高高度度 h= 4.9 m处处自自由由落落下下，与与安

31、安装装在在弹弹簧簧上上物物块块B相相碰碰。已已知知A的的质质量量m1=1 kg，B的的质质量量m2=0.5 kg ，弹弹簧簧刚刚度度k=10 Nmm1。设设碰碰撞撞结结束束后后，两两物物块块一一起起运运动动。求求碰碰撞撞结结束束时时的的速速度度v和和弹弹簧的最大压缩量。簧的最大压缩量。 A AhsmaxsstB88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-48-4例题8-4第八章第八章 碰碰 撞撞88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-48-4第八章第八章 碰碰 撞撞 物物块块A自自高高处处落落下下与与B块块接接触触的的

32、时时刻刻，碰碰撞撞开开始始。此此后后A的的速速度度减减少少，B的速度增大。当两者速度相等时，碰撞结束。的速度增大。当两者速度相等时，碰撞结束。解：解： 1. 碰撞前阶段碰撞前阶段A Ah hs smaxmaxs sst stB Bm1g88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-48-4 然然后后A，B一一起起压压缩缩弹弹簧簧作作减减速速运运动动，直直到到速速度度等等于于零零时时，弹弹簧簧的的压压缩缩量量达达最最大大值值。此此后后物物块块将将向向上上运运动动，并并将将持持续续地地往往复运动。复运动。第八章第八章 碰碰 撞撞碰撞过程中，碰撞过程中，忽略重力和弹

33、簧力忽略重力和弹簧力，沿，沿y方向系统的动量守恒。方向系统的动量守恒。2. 碰撞过程碰撞过程已知已知解得解得AhsmaxsstBA A88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-48-4第八章第八章 碰碰 撞撞上式可整理成对上式可整理成对smax 的标准二次方程的标准二次方程注意到注意到 ，解得最大压缩量，解得最大压缩量另一解为另一解为-78.55 mm ，弹簧为拉伸状态，不合题意。弹簧为拉伸状态，不合题意。3. 3. 碰撞后阶段碰撞后阶段碰撞结束后，设最大压缩量为碰撞结束后，设最大压缩量为smax ，由动能定理得由动能定理得AhsmaxsstBA A( (

34、m m1 +m m1) g gF F88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-48-4第八章第八章 碰碰 撞撞 例例题题8-5 一一匀匀质质正正方方形形货货物物边边长长是是 b ，质质量量是是 m，由由传传输输带带沿沿倾倾斜斜角角 =15 的的轨轨道道送送下下，速速度度是是 v0 (图图 a)。当当到到达达底底端端时时棱棱 D 碰碰上上档档架架。假假定定碰碰撞撞是是完完全全塑塑性性的的，并并且且 D 处处的的总总碰碰撞撞冲冲量量在在垂垂直直于于棱棱并并通通过过货货物物质质心心的的平平面面内内。求求使使货货物物能能绕绕棱棱 D 翻翻转转到到水水平平传传输输带

35、带上上所所需需的的最最小小速度速度 v01 。(a)(a)v v0 0 1 1D D88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-58-5例题8-5第八章第八章 碰碰 撞撞88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-58-5第八章第八章 碰碰 撞撞 碰碰撞撞使使货货物物内内各各点点的的速速度度进进行行突突然然的的重重新新分分布布：由由碰碰撞撞前前的的平平动动变变成成碰碰撞撞后后的的定定轴轴转转动动(因因为为棱棱 D 被被突突然然固固定定)。货货物物只只在在棱棱D 处处受受到到外外碰碰撞撞，因因而而便便于于对对棱棱 D 的的冲

36、冲量量矩矩方方程程来来求求解。解。解解: 在在碰碰撞撞开开始始时时，货货物物对对棱棱 D 的的动动量量矩矩等等于于 mv0b/2 (以以逆逆钟钟向向为为正正)。在在碰碰撞撞结结束束时时，货货物物绕棱绕棱 D 的转动惯量等于的转动惯量等于 故这时货物对棱故这时货物对棱 D 的动量矩等于的动量矩等于 1 1D DI ID Dm mv v0 0v v0 0 m mv v0 088- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-58-5第八章第八章 碰碰 撞撞外碰撞冲量外碰撞冲量 ID 对棱对棱 D 无矩，故货物在碰撞过程无矩，故货物在碰撞过程中的动量矩守恒，即中的动量矩守

37、恒，即故求得碰撞结束时货物绕棱故求得碰撞结束时货物绕棱D 的角速度的角速度(b)货物对棱货物对棱 D 的动量矩等于的动量矩等于 1 1D DI ID Dm mv v0 088- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-58-5第八章第八章 碰碰 撞撞 要使货物翻转到水平传输带上的条件是：当重心要使货物翻转到水平传输带上的条件是：当重心 G 上升到最高位置时上升到最高位置时(图图 c )，货物还有一点剩余的货物还有一点剩余的动能，即动能，即 T20 或或 20 。在在20的临界情形时的临界情形时, v0 趋近于最小速度趋近于最小速度v01 ,代入代入(3)得得由此

38、求得所需的最小速度由此求得所需的最小速度根据积分形式的动能定理根据积分形式的动能定理 T2T1 W ，有，有 2 2D DG(c)88- -3 3 恢恢恢恢 复复复复 系系系系 数数数数例例例例 题题题题 8-58-5第八章第八章 碰碰 撞撞8-4 碰撞对定轴转动刚体碰撞对定轴转动刚体轴承的作用轴承的作用碰撞中碰撞中心心 刚体角速度的变化 轴承处的反作用碰撞撞击中心第八章第八章 碰碰 撞撞 当定轴转动刚体受到碰撞作用时，其角速度将发生当定轴转动刚体受到碰撞作用时，其角速度将发生急剧变化，因而在轴承处会产生及其巨大的压力，以致急剧变化，因而在轴承处会产生及其巨大的压力，以致引起严重破坏。在工程实

39、际中，有许多必须经受碰撞的引起严重破坏。在工程实际中，有许多必须经受碰撞的转动件，如离合器，冲击摆等，为了防止碰撞对轴承的转动件，如离合器，冲击摆等，为了防止碰撞对轴承的危害，应该设法减弱或消除轴承处的碰撞冲量。危害，应该设法减弱或消除轴承处的碰撞冲量。8-4 8-4 碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用 碰撞中心碰撞中心碰撞中心碰撞中心第八章第八章 碰碰 撞撞 设设1和和2分分别别是是这这两两个个瞬瞬时时的的角角速速度度，JO是刚体对于是刚体对于O轴的转动惯量，则上式成为轴的转动惯量，则上式成为故角速度的变化为故角速

40、度的变化为 设定轴转动刚体受到外碰撞冲量设定轴转动刚体受到外碰撞冲量I的作用，如图所示。的作用，如图所示。一一 、刚体角速度的变化、刚体角速度的变化将将冲冲量量矩矩定定理理投投影影到到通通过过点点O且且垂垂直直于于图图面的的转轴面的的转轴Oz上，有上，有xyI IHCObh1 12 28-4 8-4 碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用 碰撞中心碰撞中心碰撞中心碰撞中心第八章第八章 碰碰 撞撞假设在图所示位置发生碰撞，则有假设在图所示位置发生碰撞，则有所以由上式可得轴承处的反作用碰撞冲量所以由上式可得轴承处的反作用碰撞

41、冲量 设刚体具有对称平面，且绕垂直于对称面的轴设刚体具有对称平面，且绕垂直于对称面的轴Oz转动。当受到作用在转动。当受到作用在对称面内的外碰撞冲量对称面内的外碰撞冲量 I 的作用时，轴承上一般将出现反作用碰撞冲量的作用时，轴承上一般将出现反作用碰撞冲量IO。取取oy轴通过刚体的质心轴通过刚体的质心C，应用应用碰撞时的质心运动定理式碰撞时的质心运动定理式，有，有二、轴承处的反作用碰撞二、轴承处的反作用碰撞撞击中心撞击中心xyI IHCObhI IoyI Iox8-4 8-4 碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用 碰撞中心

42、碰撞中心碰撞中心碰撞中心第八章第八章 碰碰 撞撞即即满足上式的点满足上式的点H称为刚体对于轴称为刚体对于轴O的撞击中心。的撞击中心。 分分析析上上式式知知，为为使使 IOy=0 ,必必须须 Iy=0 , 即即要要求求作作用用于于刚刚体体的的碰碰撞撞冲冲量量S必必须须垂垂直直于于转转轴轴O与与质质心心C的连线。的连线。xyI IHCObhI IoyI Iox 为为使使 IOx=0 , 则则必必须须 m(uCx-vCx)-Ix=0。在在图图所示情况下，即为所示情况下，即为 mb(2-1)-Ix = 0 。将将 代入可得代入可得I Iy yI Ix x8-4 8-4 碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞

43、对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用 碰撞中心碰撞中心碰撞中心碰撞中心第八章第八章 碰碰 撞撞 于于是是有有结结论论：当当外外碰碰撞撞冲冲量量作作用用于于撞撞击击中中心心，且且垂垂直直于于轴轴承承与与质质心心的的连连线线时时，轴轴承承O处处不不会会受受到到反作用碰撞冲量。反作用碰撞冲量。这这一一结结论论在在实实际际中中很很重重要要，例例如如在在设设计计材材料料冲冲击击试试验验机机的的摆摆锤锤时时，若若将将撞撞击击试试件件的的刃刃口口设设在在摆摆的的撞撞击击中中心心上上，则则可可避避免免轴承受到反作用碰撞冲量作用。轴承受到反作用碰撞冲量作用。 试件试件

44、l8-4 8-4 碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用 碰撞中心碰撞中心碰撞中心碰撞中心第八章第八章 碰碰 撞撞 于于是是有有结结论论：当当外外碰碰撞撞冲冲量量作作用用于于撞撞击击中中心心，且且垂垂直直于于轴轴承承与与质质心心的的连连线线时时，轴轴承承O处处不不会会受受到到反作用碰撞冲量。这一结论在实际中很重要。反作用碰撞冲量。这一结论在实际中很重要。高尔夫球杆8-4 8-4 碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用 碰撞中心碰撞中心碰撞中心碰撞中

45、心第八章第八章 碰碰 撞撞例例题题 8-6 均均质质杆杆质质量量为为m，长长为为2b，其其上上端端由由圆圆柱柱铰铰链链固固定定，如如图图所所示示。杆杆由由水水平平位位置置无无初初速速落落下下，撞撞上上一一固固定定物物块块。设设恢恢复复系系数数为为e，求求(1)轴轴承承的的碰碰撞撞冲冲量量；(2)撞击中心的位置。撞击中心的位置。 b2blOCA例题8-6例例例例 题题题题 8-68-68-4 8-4 碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用 碰撞中心碰撞中心碰撞中心碰撞中心第八章第八章 碰碰 撞撞例例例例 题题题题 8-68

46、-68-4 8-4 碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用 碰撞中心碰撞中心碰撞中心碰撞中心第八章第八章 碰碰 撞撞 杆杆在在铅铅直直位位置置与与物物块块碰碰撞撞，设设碰碰撞撞开开始始和和结束时，杆的角速度分别为结束时，杆的角速度分别为1和和2 。 撞击点碰撞前后的速度为撞击点碰撞前后的速度为v和和v，由恢复系数由恢复系数求得求得 在碰撞前，杆自水平位置自由落下，应用动在碰撞前，杆自水平位置自由落下，应用动能定理：能定理： 解：解：b2blO O 1 1 2 2CI IOxOxI IOyOyI IA例例例例 题题题题 8

47、-68-68-4 8-4 碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用 碰撞中心碰撞中心碰撞中心碰撞中心第八章第八章 碰碰 撞撞得得对对O点的冲量矩定理为点的冲量矩定理为于是碰撞冲量于是碰撞冲量代入代入1的数值，得的数值，得b2blO O 1 1 2 2CI IOxOxI IOyOyI IA例例例例 题题题题 8-68-68-4 8-4 碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用 碰撞中心碰撞中心碰撞中心碰撞中心第八章第八章 碰碰 撞撞根据冲量定理，有根据冲

48、量定理，有则则由上式可见，当由上式可见，当 时，时，IOx=0 ，此此时碰撞于撞击中心，由上式得时碰撞于撞击中心，由上式得b2blO O 1 1 2 2CI IOxOxI IOyOyI IA例例例例 题题题题 8-68-68-4 8-4 碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用碰撞对定轴转动刚体轴承的作用 碰撞中心碰撞中心碰撞中心碰撞中心第八章第八章 碰碰 撞撞 8-5 碰撞对平面运动刚碰撞对平面运动刚体的作用体的作用第八章第八章 碰碰 撞撞 设设刚刚体体具具有有质质量量对对称称面面，且且平平行行于于此此平平面面作作平平面面运运动动。当当受受到到外碰

49、撞冲量外碰撞冲量 I 作用时，该刚体的质心速度和角速度都要发生改变。作用时，该刚体的质心速度和角速度都要发生改变。 设设碰碰撞撞开开始始和和结结束束瞬瞬时时刚刚体体的的质质心心速速度度和和角角速速度度分分别别vC、1为为uC、2和和，取取固固定定坐坐标标面面Oxy与与刚刚体体的的质质量量对对称称面面重重合合，根根据据冲冲量量定定理理和和相对于质心轴的冲量矩定理，有相对于质心轴的冲量矩定理，有 8 8- -5 5 碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用第八章第八章 碰碰 撞撞 例例题题8-7 匀匀质质薄薄球球壳壳的的质质量量是是m ,半半

50、径径是是 r ,以以质质心心速速度度vC 斜斜向向撞撞在在水水平平面面上上, vC 对对铅铅直直线线成成偏偏角角。同同时时,球球壳壳具具有有绕绕水水平平质质心心轴轴(垂垂直直于于 vC )的的角角速速度度0 。假假定定碰碰撞撞接接触触点点的的速速度度能能按按反反向向全全部部恢恢复复(e = e= 1)，求求碰碰撞撞后后球壳的运动。球壳的运动。 8 8- -5 5 碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用 0 0Cyv vC CI IF FI INNxA例题8-7例例例例 题题题题 8-78-7第八章第八章 碰碰 撞撞 球壳作平面运动，作用

51、于它的外碰撞球壳作平面运动，作用于它的外碰撞冲量有瞬时法向反力的冲量冲量有瞬时法向反力的冲量 IN 和瞬时摩擦和瞬时摩擦力的冲量力的冲量 IF。解解:设设碰碰撞撞结结束束时时质质心心速速度度是是 uC ,绕绕质质心心轴轴的的角速度是角速度是(规定以逆钟向为正规定以逆钟向为正)。写写出出质质心心冲冲量量方方程程和和对对质质心心的的冲冲量量矩矩方方程程,并并注意球壳对质心轴的转动惯量注意球壳对质心轴的转动惯量 JC = 2mr2/3 。（1）（2）（3） 0 0Cyv vC CI IF FI INNxAu uC C 8 8- -5 5 碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动

52、刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用例例例例 题题题题 8-78-7第八章第八章 碰碰 撞撞 由由恢恢复复系系数数的的定定义义可可知知,在在完完全全弹弹性性碰碰撞撞结结束束后后,接接触触点点的的切切向向和和法法向向相相对对速速度度都都按按相相反反方方向向全全部部恢恢复复;以以 vA和和 uA 分分别别表表示示碰碰撞撞始始末末接接触触点点 A 的速度的速度,则有则有但由运动学知但由运动学知（1）（2）（3） 0 0Cyv vC CI IF FI INNxAu uC C 8 8- -5 5 碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用例例例例 题题

53、题题 8-78-7第八章第八章 碰碰 撞撞从而可得从而可得由于由于联立求解上列方程联立求解上列方程(1) (5),就可得到需求的全部答案。就可得到需求的全部答案。（4）（5）则有则有AvAvCvACAuAuCuAC 0 0Cyv vC CI IF FI INNxAu uC C 8 8- -5 5 碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用例例例例 题题题题 8-78-7第八章第八章 碰碰 撞撞由式由式(a)可以求出球壳回跳时的角度可以求出球壳回跳时的角度，有，有这个结果表明这个结果表明 有可能取任意的数值有可能取任意的数值,只要只要 vC

54、，和和配合适当。配合适当。（a）乒乓球 0 0Cyv vC CI IF FI INNxAu uC C 8 8- -5 5 碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用例例例例 题题题题 8-78-7第八章第八章 碰碰 撞撞例例题题8-8 均均质质杆杆AB长长为为l，质质量量为为m，如如图图所所示示。设设杆杆在在铅铅直直面面内内保保持持水水平平下下降降，杆杆与与固固定定支支点点E碰碰撞撞，前前其其质质心心的的速速度度为为v0，恢恢复复系系数数为为e。求求碰碰撞撞后后杆杆的的质质心心速速度度uy和和杆杆的的角角速速度度。 已已 知知 E点点 到到

55、 杆杆 左左 端端 的的 距距 离离 为为 。 y yx xl l1 1l lE EC Cu uy yv v0 0EEI I例题8-8 8 8- -5 5 碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用例例例例 题题题题 8-88-8第八章第八章 碰碰 撞撞 不不考考虑虑碰碰撞撞时时杆杆的的弹弹性性振振动动，可可看看成成是是刚刚体体碰碰撞撞的的突突加加约约束束问问题题。E为为固固定定障障碍碍，碰撞前杆作平动，碰撞后杆作平面运动。碰撞前杆作平动，碰撞后杆作平面运动。 作作Exy坐坐标标轴轴，Ey向向下下为为正正。图图上上所所表表示的方向均假设为正

56、。示的方向均假设为正。应用投影式，得应用投影式，得（a）（b）解：解： y yx xl l1 1l lE EC Cu uy yv v0 0EEI I 上面三个未知量上面三个未知量uy，I，故还需建故还需建立一个方程才能求解。立一个方程才能求解。 8 8- -5 5 碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用例例例例 题题题题 8-88-8第八章第八章 碰碰 撞撞 注意，碰撞前注意，碰撞前E的速度为的速度为v0（方向向下）方向向下），碰撞后，碰撞后E点的速度是质心速度点的速度是质心速度uy（方向向方向向下）与杆绕质心转动的速度下）与杆绕质心转

57、动的速度 （方（方向向上）的代数和，故得向向上）的代数和，故得（c） 上面三个未知量上面三个未知量uy，I，故还需建故还需建立一个方程才能求解。立一个方程才能求解。 y yx xl l1 1l lE EC Cu uy yv v0 0EEI I 8 8- -5 5 碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用例例例例 题题题题 8-88-8第八章第八章 碰碰 撞撞 由式由式（a），（b）和和（c），消去消去I，求得求得 y yx xl l1 1l lE EC Cu uy yv v0 0EEI I（a）（b）（c） 8 8- -5 5 碰撞对平面

58、运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用例例例例 题题题题 8-88-8第八章第八章 碰碰 撞撞 由式由式（a），（b）和和（c），消去消去I，求得求得代入代入得得 y yx xl l1 1l lE EC Cu uy yv v0 0EEI I 8 8- -5 5 碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用例例例例 题题题题 8-88-8第八章第八章 碰碰 撞撞若为弹性碰撞，若为弹性碰撞，e = 1，此时求得此时求得若为塑性碰撞，若为塑性碰撞，e = 0，则则 负号表示碰撞后质心负号表示碰撞后质心C的速度向上，的速度向上，与碰撞前速度与碰撞前速度v0的方向相反。的方向相反。 y yx xl l1 1l lE EC Cu uy yv v0 0EEI I 8 8- -5 5 碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用例例例例 题题题题 8-88-8第八章第八章 碰碰 撞撞e = 1e = 0 8 8- -5 5 碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用例例例例 题题题题 8-88-8第八章第八章 碰碰 撞撞片尾片尾片尾片尾