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1、第十一章三角形全等全等图形的有关概念(1)全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。(2)全等多边形的定义两个多边形是全等图形,则称为全等多边形。(3)全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形,经过运动而重合,相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角。(4)全等多边形的表示例如: ABC全等于 A BC,记作 ABC ABC(这里符号“”表示全等,读作“全等于”)。表示图形的全等时,要把对应顶点写在对应的位置。(5)全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。(6)全等多边形的识别对应边相等、对应角相等的两个多边形全等。2. 全等三
2、角形的判定(1)根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等,则这两个三角形全等。(2)根据 SSS 如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等。(3)根据 SAS 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等。(1)“角边角”定理如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应 相等,那么这两个三角形全等。记作“角边角”,简称“ ASA ”(2)“角角边”定理如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应 相等,那么这两个三角形全等。记作 “角角边”,简称“AAS ”(3)“斜边、直角边”定理如果两个 直角三角形 的斜边及一条直角边分别对应 相等,那么这两个直角三角形全等。
3、记作“斜边、直角边”,简称“HL”(4)证明三角形全等的方法证明三角形全等的一般方法有四种:“SSS ”、“ SAS ”、“ ASA ”、“ AAS ”。每一种都有给出三个独立的条件,在具体问题中, 题设往往只给出一个或两个条件,其余的需要我们自己去发掘和证明。判定方法的选择:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页已知条件可选择的判定方法一边对应一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS 证明角相等的常用方法有:对顶角相等;两直线平行,同位角、内错角相等;同角(或对角)的余
4、角(补角)相等;角平分线平分的两角相等;角的等量代换等。证明线段相等的方法有:同一线段;中点的定义;等腰三角形的两腰;边的等量代换等。为什么“ AAA ”和“SSA ”不能判定两个三角形全等?这是因为有三个角相等,但边不一定相等,则三角形不一定全等,如图13-6,可以看出ABC不全等于 ADE ;同样,如果两边及其中一边的对角相等,也不能确定三角形全等,如图13-7 ,AB=AB,AC=AD, B=B ,但ABC与 ABD不全等。图 13-6 图 13-7 (5). 证明两个三角形全等如何入手证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。(1)综合法,就是从已知条件入手,进行推理,逐步
5、向要证的结论推进,如从已知条件中推导出对应边或对应角相等,从而推导出三角形全等。同时, 也可以从三角形全等推导出对应边、对应角的相等,达到正题的目的。(2)分析法,即从欲证的结论出发,分析结论成立的必需条件,各种条件联系已知,寻找它们之间的关系,逐步靠拢已知条件,从而分析出已知与结论的因果关系。证题时, 分析法与综合法结合起来使用更加有效,证三角形全等时, 既要有明显的已知条件,又要有隐藏的条件,通过综合法罗列已知条件,再通过分析法找出隐藏条件,从而得证。(6)、角平分线1、角平分线的作法A B D E C A D C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
6、 - - - - -第 2 页,共 9 页角平分线定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线逆定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。第十二章轴对称基础知识回顾1、轴对称图形的定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴,这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。2、两个图形关于直线对称(成轴对称):把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重叠的点是对应点,叫做对称点。3、轴对称图形与两个图形成轴对称的联系:把成轴对称的两个
7、图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形,把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条轴对称。4、线段的垂直平分线的定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,5、轴对称图形的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。6、线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页7
8、、作对称轴的方法:对于轴对称图形,只要找到任意一组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴。等腰三角形的定义:两条边相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形的性质:1、等腰三角形的两个底角相等简写成“等边对等角”2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3、如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,简写成“等角对等边”等边三角形的定义:三条边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60 . 等边三角形的判定:三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。直角三角形的
9、性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。注意: 等腰三角形中的分类讨论. (1) “边”上的分类:等腰三角形的“边”有两个特殊的名称:“腰”和“底边”,所以当只出现等腰三角形的“边”的概念时,首先要把该“边”分为“腰”和“底边”两种情况分别计算,然后利用三角形的三边关系进行确定. (2) “角”上的分类:等腰三角形的“角”也有两个特殊的名称:“顶角”和“底角”,所以当只出现“角”这一概念时,也要把该“角”分为“顶角”和“底角”两种情况来计算。(这里应注意的是:等腰三角形的“底角”取值必须为(0底角 90)(3) “腰上的高”的分类讨论:因为等腰三角形的顶角
10、可能是锐角,也可能是钝角,所以在等腰三角形中的角没有确定时,出现“腰上的高”这一概念时,一般要把“高线”分为在形内、形外来讨论. 第十三章实数算术平方根 :一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即 x2=a,那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根。 a 的算术平方根记作a, 读作“根号a”,a 叫做被开方数。规定:0 的算术平方根是0。平方根 :一般地如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。这就是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页说 x2=a,那么 x 叫做 a 的平方根。开平方 :求一个数a
11、的平方根的运算,叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。平方根的性质:正数有两个平方根,它们互为相反数。记作“a”,读作“正、负根号a”。0 的平方根是0;负数没有平方根。立方根 :一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。这就是说,如果x3=a,那么 x 叫做 a 的立方根。开立方 :求一个数的立方根的运算,叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。立方根的性质:1、正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0 的立方根是0. 2、一个数 a 的立方根,用符号“3a”表示,读作“三次根号a”,其中 a是被开方数,3 是根指数。3、一般地,33aa;33()aa;33-aa。第
12、十四章一次函数变量与函数: 在一个变化过程中,有两个变量(如x、y),对于自变量(x)的每一个确定值,函数( y)都有唯一确定的值与它对应,这时,y 就是 x 的函数, 常量 :在变化过程中,始终保持不变的量;变量 :在变化过程中,可以取不同数值的量;通常在表达时,等式左边的是函数,等式右边的是自变量。一次函数 : 若两个变量x、y 之间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b 为常数, k0)的形式,则称 y 是 x 的一次函数(x 为自变量, y 是函数)正比例函数y=kx(k0)?是一次函数y=kx+b(k 0)特例一次函数的图像:1、一次函数y=kx+b(k0)的图象是一条直线,我们只要
13、确定两个点,?再过这两个点作直线就可以作出一次函数的图象,它也称为直线y=kx+b直线 y=kx+b(k0)可以看着由直线y=kx(k0)上下平移 b个单位长度而得到当b0 时,向上平移;当 b0 k0 k0 K0 b0 2、函数表达式的确定:常用方法是待定系数法,一次函数y=kx+b 中含有两个待定系数k、b,根据待定系数法,只要列出方程组即可. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页3、一次函数的应用:(1)、一次函数与一元一次方程、二元一次方程组的关系。一元一次方程的解就是一次函数与x 轴的交点坐标的横坐标的值。二
14、元一次方程组的解可以把方程组中的两个方程看作是两个一次函数,画出这两个函数的图象,那么它们的交点坐标就是方程组的解。(2)、一次函数与不等式的关系:可以借助函数图象解决一元一次不等式的有关问题。第十五章整式的乘除及因式分解1. 同底数幂的乘法:mnm naaa,(m,n 都是正整数),即同底数幂相乘,底数不变,指数相加。2. 幂的乘方 :()mnmnaa,( m,n 都是正整数),即幂的乘方,底数不变,指数相乘。3. 积的乘方 :()nnnaba b,( n 为正整数),即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。4. 整式的乘法:( 1)单项式的乘法法则:一般地,单项式相乘,
15、把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式( 2)单项式乘多项式法则:单项式与多项式相乘,就是根据乘法分配律,用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加可用下式表示:m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式 ) (3)多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加5. 乘法公式:( 1)平方差公式 : 平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”,即用字母表示为:(a+b)(ab)=a2b2;( 2)完全平方公式:完全平方公式可以用语言叙
16、述为“两个数和(或差)的平方,等于第一数的平方加上(或减去)第一数与第二数乘积的2 倍,加上第二数的平方”,即用字母精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页表示为: (a+b)2=a2+2ab+b2;(ab)2=a22ab+b2;在乘法公式中,字母a、b都具有广泛意义,它们既可以分别取具体的数,也可以取一个单项式、一个多项式或代数式. 如(3x+y2)2(3x+y)22 (3x+y) 2+22 9x2+6xy12x+y24y+4,或者 (3x+y2)2(3x)2+23x (y2)+ (y2)29x2+6xy12x+y24y
17、+4. 前者是把 3x+y看成是完全平方公式中的a,2 看成是b;后者是把3x看成是完全平方公式中的a,y2 看成是b. (3)添括号时, 如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都变号。乘法公式的常见的恒等变形有:a2+b2(a+b)22ab(ab)2+2ab. 利用上述的恒等变形,我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题,并且还会收到事半功倍的效果. 6. 整式的除法:mnm naaa,(0a,m ,n 都是正整数,并且mn),即同底数幂相除,底数不变,指数相减。(1)01(0)aa,任何不等于0 的数的 0 次幂都等于1. (2)单项式相除
18、,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。(3)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。因式分解1、因式分解定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。3、公因式的定义:多项式ma+mb+mc,它的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m 叫做这个多项式各项的公因式。4、提公因式法:由 m(a+b+c)= ma+mb+mc, 可得 ma+mb+mc= m(a+b+c) ,ma+mb+mc 分解成两个
19、因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是 ma+mb+mc除以 m 所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法。5、公式法:(1)平方差公式把整式乘法的平方差公式(a+b)(ab)=a2b2反过来,就得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页到a2b2=(a+b)(ab) ,即两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。( 2)完全平方式定义:我们把形如a2+2ab+b2和a2-2ab+b2 这样的式子叫做完全平方式。(3)完全平方式:利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因
20、式分解。把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2;(ab)2=a22ab+b2反过来,就得到a2+2ab+b2=(a+b)2;a22ab+b2= (ab)2。即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2 倍,等于这两个数的和(或差)的平方。6、十字相乘法对于二次项系数为l 的二次三项式,2qpxx寻找满足: ab=q,a+b=p 的 a,b,如有,则);)(2bxaxqpxx对于一般的二次三项式),0(2acbxax寻找满足:2,1,2, 112212121,ccaabcacacccaaa的,如有,则).)(22112cxacxacbxax二次项、常数项分解坚直写,符号决定常数式,交叉相乘验中项,横向写出两因式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页