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1、第十一章三角形全等全等图形的有关概念（1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。（2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。（4）全等多边形的表示例如： ABC全等于 A BC，记作 ABC ABC（这里符号“”表示全等，读作“全等于”）。表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。（6）全等多边形的识别对应边相等、对应角相等的两个多边形全等。2. 全等三
2、角形的判定（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。（2）根据 SSS 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（3）根据 SAS 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。（1）“角边角”定理如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应 相等，那么这两个三角形全等。记作“角边角”，简称“ ASA ”（2）“角角边”定理如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应 相等，那么这两个三角形全等。记作 “角角边”，简称“AAS ”（3）“斜边、直角边”定理如果两个 直角三角形 的斜边及一条直角边分别对应 相等，那么这两个直角三角形全等。
3、记作“斜边、直角边”，简称“HL”（4）证明三角形全等的方法证明三角形全等的一般方法有四种：“SSS ”、“ SAS ”、“ ASA ”、“ AAS ”。每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中， 题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。判定方法的选择：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页已知条件可选择的判定方法一边对应一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS 证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错角相等；同角（或对角）的余
4、角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。证明线段相等的方法有：同一线段；中点的定义；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。为什么“ AAA ”和“SSA ”不能判定两个三角形全等？这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等，如图13-6，可以看出ABC不全等于 ADE ；同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图13-7 ，AB=AB,AC=AD, B=B ，但ABC与 ABD不全等。图 13-6 图 13-7 （5）. 证明两个三角形全等如何入手证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。（1）综合法，就是从已知条件入手，进行推理，逐步
5、向要证的结论推进，如从已知条件中推导出对应边或对应角相等，从而推导出三角形全等。同时， 也可以从三角形全等推导出对应边、对应角的相等，达到正题的目的。（2）分析法，即从欲证的结论出发，分析结论成立的必需条件，各种条件联系已知，寻找它们之间的关系，逐步靠拢已知条件，从而分析出已知与结论的因果关系。证题时， 分析法与综合法结合起来使用更加有效，证三角形全等时， 既要有明显的已知条件，又要有隐藏的条件，通过综合法罗列已知条件，再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。（6）、角平分线1、角平分线的作法A B D E C A D C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
6、 - - - - -第 2 页，共 9 页角平分线定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。第十二章轴对称基础知识回顾1、轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴，这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。2、两个图形关于直线对称（成轴对称）：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重叠的点是对应点，叫做对称点。3、轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把成轴对称的两个
7、图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。4、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，5、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。6、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页7
8、、作对称轴的方法：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。等腰三角形的定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形的性质：1、等腰三角形的两个底角相等简写成“等边对等角”2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60 . 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。直角三角形的
9、性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。注意： 等腰三角形中的分类讨论. (1) “边”上的分类：等腰三角形的“边”有两个特殊的名称：“腰”和“底边”，所以当只出现等腰三角形的“边”的概念时，首先要把该“边”分为“腰”和“底边”两种情况分别计算，然后利用三角形的三边关系进行确定. (2) “角”上的分类：等腰三角形的“角”也有两个特殊的名称：“顶角”和“底角”，所以当只出现“角”这一概念时，也要把该“角”分为“顶角”和“底角”两种情况来计算。（这里应注意的是：等腰三角形的“底角”取值必须为（0底角 90）(3) “腰上的高”的分类讨论：因为等腰三角形的顶角
10、可能是锐角，也可能是钝角，所以在等腰三角形中的角没有确定时，出现“腰上的高”这一概念时，一般要把“高线”分为在形内、形外来讨论. 第十三章实数算术平方根 ：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根。 a 的算术平方根记作a, 读作“根号a”，a 叫做被开方数。规定：0 的算术平方根是0。平方根 ：一般地如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。这就是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页说 x2=a，那么 x 叫做 a 的平方根。开平方 ：求一个数a
11、的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数。记作“a”，读作“正、负根号a”。0 的平方根是0；负数没有平方根。立方根 ：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。这就是说，如果x3=a，那么 x 叫做 a 的立方根。开立方 ：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。立方根的性质：1、正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是0. 2、一个数 a 的立方根，用符号“3a”表示，读作“三次根号a”，其中 a是被开方数，3 是根指数。3、一般地，33aa；33()aa；33-aa。第
12、十四章一次函数变量与函数： 在一个变化过程中，有两个变量（如x、y），对于自变量（x）的每一个确定值，函数（ y）都有唯一确定的值与它对应，这时，y 就是 x 的函数， 常量 ：在变化过程中，始终保持不变的量；变量 ：在变化过程中，可以取不同数值的量；通常在表达时，等式左边的是函数，等式右边的是自变量。一次函数 : 若两个变量x、y 之间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b 为常数， k0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（x 为自变量， y 是函数）正比例函数y=kx（k0）?是一次函数y=kx+b（k 0）特例一次函数的图像：1、一次函数y=kx+b（k0）的图象是一条直线，我们只要
13、确定两个点，?再过这两个点作直线就可以作出一次函数的图象，它也称为直线y=kx+b直线 y=kx+b（k0）可以看着由直线y=kx（k0）上下平移 b个单位长度而得到当b0 时，向上平移；当 b0 k0 k0 K0 b0 2、函数表达式的确定：常用方法是待定系数法，一次函数y=kx+b 中含有两个待定系数k、b，根据待定系数法，只要列出方程组即可. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页3、一次函数的应用：（1）、一次函数与一元一次方程、二元一次方程组的关系。一元一次方程的解就是一次函数与x 轴的交点坐标的横坐标的值。二
14、元一次方程组的解可以把方程组中的两个方程看作是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解。（2）、一次函数与不等式的关系：可以借助函数图象解决一元一次不等式的有关问题。第十五章整式的乘除及因式分解1. 同底数幂的乘法：mnm naaa，（m,n 都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2. 幂的乘方 ：()mnmnaa，（ m,n 都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。3. 积的乘方 ：()nnnaba b，（ n 为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。4. 整式的乘法：（ 1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，
15、把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式（ 2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式 ) （3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加5. 乘法公式：（ 1）平方差公式 : 平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(ab)=a2b2；（ 2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙
16、述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2 倍，加上第二数的平方”，即用字母精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页表示为： (a+b)2=a2+2ab+b2；(ab)2=a22ab+b2；在乘法公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式. 如(3x+y2)2(3x+y)22 (3x+y) 2+22 9x2+6xy12x+y24y+4，或者 (3x+y2)2(3x)2+23x (y2)+ (y2)29x2+6xy12x+y24y
17、+4. 前者是把 3x+y看成是完全平方公式中的a，2 看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y2 看成是b. （3）添括号时， 如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。乘法公式的常见的恒等变形有：a2+b2(a+b)22ab(ab)2+2ab. 利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果. 6. 整式的除法：mnm naaa，（0a，m ，n 都是正整数，并且mn），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。（1）01(0)aa，任何不等于0 的数的 0 次幂都等于1. （2）单项式相除
18、，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（3）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。因式分解1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。3、公因式的定义：多项式ma+mb+mc,它的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m 叫做这个多项式各项的公因式。4、提公因式法：由 m(a+b+c)= ma+mb+mc, 可得 ma+mb+mc= m(a+b+c) ，ma+mb+mc 分解成两个
19、因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是 ma+mb+mc除以 m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。5、公式法：（1）平方差公式把整式乘法的平方差公式(a+b)(ab)=a2b2反过来，就得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页到a2b2=(a+b)(ab) ，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。（ 2）完全平方式定义：我们把形如a2+2ab+b2和a2-2ab+b2 这样的式子叫做完全平方式。（3）完全平方式：利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因
20、式分解。把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2；(ab)2=a22ab+b2反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2；a22ab+b2= (ab)2。即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方。6、十字相乘法对于二次项系数为l 的二次三项式,2qpxx寻找满足： ab=q，a+b=p 的 a，b，如有，则);)(2bxaxqpxx对于一般的二次三项式),0(2acbxax寻找满足：2,1,2, 112212121,ccaabcacacccaaa的，如有，则).)(22112cxacxacbxax二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
