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1、学习必备欢迎下载二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分基础知识1. 定义： 一般地， 如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数 . 2. 二次函数2axy的性质（1）抛物线2axy的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数2axy的图像与a的符号关系 . 当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（0a. 3. 二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线 . 4. 二 次 函 数cbxaxy2用 配 方 法 可 化 成 ：khxay2的 形
2、 式 ， 其 中abackabh4422，. 5. 二 次 函 数 由 特 殊 到 一 般 ， 可 分 为 以 下 几 种 形 式 ： 2axy； kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2. 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴（或重合）的直线记作hx. 特别地，y轴记作直线0x. 7. 顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）
3、 公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. （2）配方法： 运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式， 得到顶精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载点为 (h,k) ，对称轴是直线hx. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9. 抛物线cbxaxy2中，c
4、ba,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧 . （3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置. 当0x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c） ：0c，抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 10. 几种特殊的二次函
5、数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x（y轴）（0,0 ）kaxy20x（y轴）(0, k) 2hxayhx(h,0) khxay2hx(h,k) cbxaxy2abx2(abacab4422，) 11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载（3） 交点式：已知图像
6、与x轴的交点坐标1x、2x， 通常选用交点式：21xxxxay. 12. 直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). （ 2 ） 与y轴 平 行 的 直 线hx与 抛 物 线cbxaxy2有 且 只 有 一 个 交 点(h,cbhah2). （3）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . （ 4）平行于x轴
7、的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根. （ 5） 一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . （ 6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacba
8、cabxxxxxxxxAB444222122122121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载第二部分典型习题考点 1: 函数的三种形式. 抛物线 yx2 2x2 的顶点坐标是（）A.（2， 2） B.（1， 2） C.（1， 3） D.（ 1， 3）2. 抛物线 y=2(x-3)2的顶点在 () A. 第一象限B. 第二象限C. x 轴上D. y 轴上3抛物线221yx（）的顶点坐标是A （2，1）B （-2，-1）C （-2， 1）D （2，-1）4如图，抛物线2yaxbxc与 x 轴交于点( 1,
9、0)，对称轴为1x，则下列结论中正确的是A0aB当1x时， y 随 x 的增大而增大C0cD3x是一元二次方程20axbxc的一个根5抛物线 y=x2+bx+c，经过 A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_.6.已知抛物线245yxx. （1）直接写出它与x 轴、 y 轴的交点的坐标；（2）用配方法将245yxx化成2()ya xhk的形式7. 已知二次函数y=x2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x -1 0 1 2 3 4 y 8 3 0 -1 0 3 (1) 求该二次函数的解析式； (2) 当 x 为何值时， y 有最小值，最小值是多少？ (3)
10、 若 A （m, y1）,B( m+2, y2) 两点都在该函数的图象上，计算当 m 取何值时，12?yy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载8. 抛物线 y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：x 2 1 0 1 2 y 0 4 4 0 8（1）根据上表填空： 抛物线与x 轴的交点坐标是和； 抛物线经过点(- 3, )； 在对称轴右侧，y 随 x 增大而；（2）试确定抛物线y=ax2+bx+c 的解析式 . 解 : （1）抛物线与 x 轴的交点坐标是和； 抛物线经过点(-
11、 3, )； 在对称轴右侧，y 随 x 增大而. （2）考点 2.a 、b、c 符号问题1、已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列结论正确的是（） ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 ab 0，c0 第 1,2 题图第 3 题图2. 二次函数cbxaxy2的图象如上图所示，则下列结论正确的是（）Aa0，b 0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0， b0，c0 3 已知二次函数yax2bxc 的图象如上图所示，则下列结论中正确的是( )Aa0 Bc0 C042acbD abc0 4. 已知抛物线y=ax2+bx+c 的图象如右图所示，则下列结论正确的是（）Aa+
12、b+c 0 Bb -2a Ca-b+c 0 Dc0；a+b+c 0 a-b+c 0 b2-4ac0 abcbc，且 ab c0，则它的图象可能是图所示的( ) 7二次函数yax2bxc 的图象如图所示，那么 abc，b24ac， 2a b，ab c 四个代数式中，值为正数的有( ) A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个考点 3：二次函数的增减性1. 二次函数y=3x26x+5 ，当 x1 时， y 随 x 的增大而；当 x 2 时,y 随 x 的增大而增大； 当 x 2 时，y 随 x 的增大而减少；则当x1 时,y 的值为。3. 已知二次函数y=x2(m+1)x+1 ， 当 x1 时，
13、y 随 x 的增大而增大， 则 m的取值范围是 . 4. 已知二次函数y=12x2+3x+52的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 且 3x1x20)的图象与x 轴交于点(x1, 0)和(x2, 0), 且 x1x2. （1）求 x2的值 ; （2）求代数式96)3(112121xmxmxmxm的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载考点 7：二次函数与一次函数1. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是()
14、2. 当 b4，那么 AB 的长是() A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m 4. 某大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面111000 的比例图上，跨度AB5 cm，拱高 OC 0. 9 cm，线段 DE表示大桥拱内桥长，DE AB，如图（ 1） 在比例图上，以直线 AB为 x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2） （ 1）求出图（ 2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2） 如果 DE与 AB的距离 OM 0. 45 cm， 求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4 .12，计算结果精确到1 米）
15、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载5. 已知抛物线4)334(2xaaxy与 x 轴交于 A、 B 两点，与y 轴交于点C是否存在实数 a，使得 ABC为直角三角形若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由6. 如图 , 已知抛物线经过坐标原点O 及)0,32(A，其顶点为B( m, 3), C 是 AB 中点，点 E是直线 OC 上的一个动点(点 E 与点 O 不重合 )，点 D 在 y 轴上 , 且 EO=ED . （1）求此抛物线及直线OC 的解析式；（2）当点 E 运动到抛物线上时, 求
16、 BD 的长；（3）连接 AD, 当点 E 运动到何处时， AED 的面积为433，请直接写出此时E 点的坐标 . 解:CBAyxO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载7已知：在如图1 所示的平面直角坐标系xOy 中， A， C 两点的坐标分别为(2,3)A，( , 3)C n（其中 n0） ，点 B 在 x 轴的正半轴上动点P 从点 O 出发，在四边形OABC的边上依次沿OA BC 的顺序向点C 移动，当点P 与点 C 重合时停止运动设点P 移动的路径的长为l， POC 的面积为S，S与 l 的函
17、数关系的图象如图2 所示， 其中四边形 ODEF 是等腰梯形（1）结合以上信息及图2 填空：图2 中的 m= ；（2）求 B，C 两点的坐标及图2 中 OF 的长；（3）在图 1 中，当动点P 恰为经过O，B 两点的抛物线W 的顶点时， 求此抛物线W 的解析式； 若点 Q 在直线1y上方的抛物线W 上，坐标平面内另有一点R，满足以 B，P，Q，R 四点为顶点的四边形是菱形，求点Q 的坐标解： （1）8. 已知：抛物线taxaxy42与 x 轴的一个交点为A（ 1， 0） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载（ 1）求抛物线与x 轴的另一个交点B的坐标；（ 2）D 是抛物线与y 轴的交点， C 是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD 的面积为 9，求此抛物线的解析式；（ 3）E 是第二象限内到x 轴、 y 轴的距离的比为52 的点，如果点 E在（2）中的抛物线上， 且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 APE的周长最小 ?若存在， 求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
