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1、圆锥曲线知识总结一、椭圆1、定义: 第一定义: 到两定点 F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|) 的点 P的轨迹 ,即:)2(21aPFPF(2a|F1F2) 注意:若)(2121FFPFPF,则动点P的轨迹为线段21FF;若)(2121FFPFPF,则动点P的轨迹无图形. 第二定义: 到定点与到定直线的距离之比为定值e 的点的轨迹 . (0eb0)其中222bac;焦点在 y 轴上的方程:22221yxab(ab0)其中222bac;参数方程:cossinxayb3、几何性质:标准方程22221xyab(ab0)22221yxab(ab0)简图中心O(0,0)O(0,0)顶点(
2、a,0) (0,b) (0,a) ( b,0) 焦点(c,0) 222bac(0,c) 222bac焦距2c|21FF2c|21FF离心率e =ca(0e1) e越接近 1 椭圆越扁;e越接近 0 椭圆越圆;e =ca(0e1) e越接近 1 椭圆越扁;e越接近 0 椭圆越圆;对称轴x 轴, y 轴x 轴, y 轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页xOy范围-axa,-byb -aya,-b xb 准线方程x=a2cy=a2c焦半径aex0aey04、基本概念:焦半径:椭圆的点到焦点的距离焦点弦:过焦点的直线割椭圆所
3、成的相交弦通径:过焦点且垂直于对称轴的相交弦5、直线与椭圆:凡涉及直线与椭圆的问题,通常设出直线与椭圆的方程,将二者联立,消去x 或 y,得到关于 y 或 x 的一元二次方程, 再利用根与系数的关系及根的判别式等知识来解决,需要有较强的综合应用知识解题的能力。二、双曲线1、定义 :第一定义: 到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a|F1F2|) 的点的轨迹,即|PF1|-|PF2|=2a (2a1)即:ePHPF|22、标准方程 :焦点在 x 轴上的方程:22221xyab( a0,b0) ;焦点在 y 轴上的方程:22221yxab( a0,b0) ;3、几何性质 :标准方
4、程22221xyab(a0,b0)22221yxab(a0, b0)简图中心O(0,0)O(0,0)顶点( a,0)(0, a) 焦点(c,0) 222bac(0, c) 222bac焦距2c|21FF2c|21FF2F1FH x 2axcOyP 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页离心率e =ca(e1) e 越大开口就越开阔e =ca(e1) e 越大开口就越开阔范围x a或 x -a ya 或 y-a 准线方程x=a2cy=a2c渐近线y=bax y=abx 焦半径P(x0,y0)在右支上时:|PF1|=ex0+
5、a,|PF2|=ex0-a; P(x0,y0)在左支上时:|PF1|= -ex0-a,|PF2|= -ex0+a; P(x0,y0)在上支上时:|PF1|=ey0+a,|PF2|=ey0-a; P(x0,y0)在下支上时:|PF1|= -ey0-a,|PF2|= -ey0+a; 4、基本概念:等轴双曲线:实轴和虚轴等长的双曲线,即x2-y2=( R, 0):渐近线是y=x,离心率为:2 ;注意;椭圆中:c2=a2-b2, 而在双曲线中 :c2=a2+b2, 焦半径:双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段,叫做双曲线的焦半径焦点弦:过焦点的直线割双曲线所成的相交弦通径:过焦点且垂直于对称轴的相交
6、弦5、直线与双曲线:讨论双曲线与直线的位置关系时通常有两种处理方法:代数法:通常设出直线与双曲线的方程,将二者联立,消去x 或 y,得到关于y 或 x 的一元二次方程,再利用根与系数的关系及根的判别式等知识来解决,数形结合法。注意直线与双曲线有两个交点时,两交点可能在双曲线的一支上,也可能在两支上。三、抛物线1、定义: 在平面内到定点(焦点F)与定直线(准线l)的距离相等的点的轨迹(其中 e=1,注意:定点F 不能在定直线L 上)2、几何性质:pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxOyxOyxOyxO焦点)0 ,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px2py
7、2py范围Ryx,0Ryx,00, yRx0, yRx对称轴x 轴y 轴顶点(0,0 )离心率1e焦半径12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF3、基本概念:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页p 的几何意义:焦参数p 是焦点到准线的距离,故p 为正数; 注意:通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的4、抛物线与直线: (同上双曲线与 椭圆 )四、圆锥曲线的统一定义平面内的动点y)P(x,到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e 0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中
8、定点F(c,0)称为焦点,定直线l 称为准线,正常数e 称为离心率。当 0e1 时,轨迹为椭圆;当 e=1 时,轨迹为抛物线;当 e1 时,轨迹为双曲线。五、常用公式整理1、平面上两点间的距离公式:设),(),(2211yxByxA和则 A 与 B 两点间的距离为:221221)()(yyxxAB2、线段的中点坐标公式:设),(),(2211yxByxA和,线段AB的中点M ()xy,则222121yyyxxx3、点到直线的距离公式:点P00()xy,到直线220(0)AxbycAB的距离是0022|AxBycdAB;4、一元二次方程:,则根与系数的关系是和的两个根是212)0(0xxacbx
9、axacxxabxx21215、弦长公式:2122124)(1|xxxxkAB6、直线的斜率:21212211),(),(2)( tank (1)xxyykyxyx则该直线的斜率和已知直线上的两点坐标为直线的倾斜角其中7、直线的方程(1) 、点斜式:直线l经过点),(000yxP,且斜率为k,其方程是)(00xxkyy(2) 、斜截式:已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为),0(b,其方程是bkxy(3) 、两点式:已知两点),(),(222211yxPxxP其中),(2121yyxx,其方程是121121xxxxyyyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
10、 - - - - -第 4 页,共 5 页(4) 、 截距式: 直线l与x轴的交点为A)0,(a,与y轴的交点为B), 0(b,0,0 ba,其方程是1byax(5) 、一般式:关于yx,的二元一次方程0CByAx(A,B 不同时为0)8、两条直线的平行与垂直:若已知直线方程为111:bxkyl与222:bxkyl则2121/kkll且21bb,12121kkll9、两条平行线间的距离:平行直线1l和2l的一般式方程为1l:01CByAx,2l:02CByAx,则1l2l的距离为2221BACCd10、圆的标准方程:222()()xaybr圆心为b)A(a,半径为r六、典题讲解1、若焦点在x轴
11、上的椭圆1222myx的离心率为21,则 m=() A3B23C38D322、在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为()(A)2(B)22(C) 21(D)423、双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2 倍,则m() A14 B4 C4 D144、抛物线y=4x2上的一点 M 到焦点的距离为1,则点 M 的纵坐标是 ( ) A.1716B.1516C.78D.0 5、抛物线2yx上的点到直线4380xy距离的最小值是() A 43 B75 C85 D 36、2.过抛物线xy42的焦点作直线交抛物线于),(),(2211yxByxA,若621xx
12、,那么AB等于A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 7、 已知椭圆 C的焦点 F1(22,0)和 F2(22,0) ,长轴长6,设直线2xy交椭圆 C于 A、B两点,求线段 AB的中点坐标。8、经过双曲线1322yx的左焦点F1作倾斜角为6的弦 AB ,求(1)线段 AB的长;(2)设 F2为右焦点,求ABF2的周长。9、过抛物线4xy2的焦点 F 的直线 l 交抛物线于A、B 两点,求弦AB 的中点的轨迹方程。10、顶点在坐标原点,焦点在x轴上的抛物线被直线12xy截得的弦长为15,求抛物线的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页