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1、第七章：偏微分方程第七章：偏微分方程一、 几个基本概念几个基本概念例：例：1、方程的阶数、方程的阶数方程中出现的最高阶导数的阶数即为方程的阶数方程中出现的最高阶导数的阶数即为方程的阶数一阶一阶二阶二阶2、线性、非线性、拟线性、线性、非线性、拟线性 方程经过有理化并消去分式后，若方程中没有未知函方程经过有理化并消去分式后，若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项，称该方程为线性数及其偏导数的乘积或幂等非线性项，称该方程为线性线性：线性：拟线性：拟线性： 在非线性方程中，如果未知函数的所有最高阶导数在非线性方程中，如果未知函数的所有最高阶导数不是非线性，则称此方程为拟线性不是非线性，则称
2、此方程为拟线性 完全非线性：完全非线性：除拟线性之外的非线性方程除拟线性之外的非线性方程二阶，线性二阶，线性二阶，拟线性二阶，拟线性二阶，完全非线性二阶，完全非线性3、齐次、非齐次、齐次、非齐次 不含有未知函数及其偏导数的项不含有未知函数及其偏导数的项自由项：自由项：自由项为零的方程自由项为零的方程齐次方程：齐次方程： 自由项不为零的方程自由项不为零的方程非齐次方程：非齐次方程： 非齐次非齐次齐齐 次次二、 二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类，设设则二阶线性偏微分方程一般可表示为：则二阶线性偏微分方程一般可表示为： A,B,C,D,E,G,f 都是都是x,y的函数的函数 二阶线性
3、方程的分类二阶线性方程的分类 ：为方程中自变量域内任意一点，为方程中自变量域内任意一点，则分类判别条件如下：则分类判别条件如下：（）若在点）若在点M处有：处有： 则方程在该点处为双曲线型则方程在该点处为双曲线型 例如例如 （）若在点）若在点M处有：处有： 则方程在该点处为抛物线型则方程在该点处为抛物线型 例如例如 波动方程波动方程 热传导方程热传导方程 （）若在点）若在点M处有：处有： 则方程在该点处为椭圆型则方程在该点处为椭圆型 例如例如 例例1 1：判别下列方程的分类：判别下列方程的分类 当当 ，即，即 异号，异号，M点在二、四象限内，点在二、四象限内，该区域内方程是双曲型该区域内方程是双
4、曲型当当 ，即，即 同号，同号，M点在一、三象限内，点在一、三象限内，该区域内方程是椭圆型该区域内方程是椭圆型当当x或或y为零，方程在为零，方程在x或或y轴上是抛物型轴上是抛物型 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 三、三种典型方程的建立三、三种典型方程的建立建立理论模型的原则步骤建立理论模型的原则步骤 抽象出系统的物化模型并简化、假设抽象出系统的物化模型并简化、假设 确定输入、输出变量和模型参数，建立数学模型确定输入、输出变量和模型参数，建立数学模型 模型模型 求解求解 检验和修正所得的模型检验和修正所得的模型 1 1、均匀弦的微小横振动方程的建立、均匀弦的微小横振动方程的建立 设有一根均匀柔软的细弦
5、，张紧后两端固定如图，设有一根均匀柔软的细弦，张紧后两端固定如图，给弦以扰动，使其产生振动。给弦以扰动，使其产生振动。确定弦上各点振动规律，即确定弦上各点振动规律，即 确定位移确定位移 满足的满足的方程。方程。解：取一小微元段解：取一小微元段 ，分析受力情况，分析受力情况x 方向方向：u 方向方向：ABT1T20xxxxu1 12 2G(1)(2)简化假设简化假设 （1）弦是均匀的，所以质量均布，设单位长度弦的质量为）弦是均匀的，所以质量均布，设单位长度弦的质量为 kg/m （5）弦是绝对柔软的，不能抗弯，因此弦上各点张力与该点切）弦是绝对柔软的，不能抗弯，因此弦上各点张力与该点切 线方向一致
6、。线方向一致。（2）弦的细小的，自重相比于张力显得很小，可以忽略。）弦的细小的，自重相比于张力显得很小，可以忽略。（3 3）振动方向与弦长方向相垂直，且振动保持在一固定平面内）振动方向与弦长方向相垂直，且振动保持在一固定平面内 （4 4）振动是微小的，即弦上各点位移及弦的弯曲斜率很小）振动是微小的，即弦上各点位移及弦的弯曲斜率很小 微元段的质量：微元段的质量：G = 0x 方向无运动，即：方向无运动，即：无外力的均匀弦微小横振动方程无外力的均匀弦微小横振动方程 齐次一维波动方程齐次一维波动方程x 方向方向：u 方向方向：ABT1T20xxxxu1 12 2F(x,t)x 方向方向：u 方向方向
7、：假设振动过程中，假设振动过程中，除了张力外，除了张力外，还有其它外力作用，还有其它外力作用，设单位长度弦上的横向外力为设单位长度弦上的横向外力为弦的强迫振动方程弦的强迫振动方程 非齐次一维波动方程非齐次一维波动方程2、热传导方程、热传导方程一根长为一根长为l的的均匀细杆均匀细杆侧面是绝热，横截面积足够小以至侧面是绝热，横截面积足够小以至在任何时刻都可以把断面上所有点的温度看作是相同。在任何时刻都可以把断面上所有点的温度看作是相同。 设杆的截面积为设杆的截面积为S，比热为，比热为C，导热系数为，导热系数为k，密度为，密度为。 试确定温度分布函数试确定温度分布函数 满足的方程。满足的方程。 x=
8、0x=lxx+x0热量衡算：输入输出产生累计热量衡算：输入输出产生累计一维热传导方程一维热传导方程: : x处输入的热速率处输入的热速率: : xx处输出的热速率处输出的热速率: : 微元段累计的热速率微元段累计的热速率: : 一维热传导方程一维热传导方程一维波动方程一维波动方程（无外力）（无外力）（有外力）（有外力）（无内热源）（无内热源） 三维热传导方程三维热传导方程 若物体内部有一个热流，若物体内部有一个热流，T(x,y,z,t)其分布函数为其分布函数为M(x,y,z)3、稳态方程（拉普拉斯方程）、稳态方程（拉普拉斯方程）热传导持续进行下去，如果达到稳定状态，温度的空间热传导持续进行下去
9、，如果达到稳定状态，温度的空间分布不再变动，即分布不再变动，即 则方程则方程变为变为稳态浓度分布方程稳态浓度分布方程 稳态温度分布方程稳态温度分布方程 三种典型方程三种典型方程是方程是方程其中其中f 是任意函数是任意函数 ,如如的通解的通解可以验证可以验证对于方程：对于方程：可以验证可以验证为其通解为其通解泛定方程泛定方程暂停：休息暂停：休息四、定解条件和定解问题四、定解条件和定解问题1、初始条件、初始条件（I.C.)： 初始时刻的状态初始时刻的状态 （一）定解条件（一）定解条件例例1 对于弦的微小横振动问题，假设初始速度为零，对于弦的微小横振动问题，假设初始速度为零， 初始位移符合正弦函数初
10、始位移符合正弦函数 初始条件给定的是整个系统的状态，而不是某个局部初始条件给定的是整个系统的状态，而不是某个局部（如入口、出口等）的状态。（如入口、出口等）的状态。特别注意：特别注意： 应是位置坐标的函数。应是位置坐标的函数。 （1）第一类边界条件）第一类边界条件已知函数已知函数直接给出未知函数直接给出未知函数 在边界在边界 上的值上的值 （狄里赫利（狄里赫利（DirichletDirichlet） 例例2 一根弦长为一根弦长为l ，两端固定进行微小横振动，两端固定进行微小横振动 ，建立，建立其边界条件。其边界条件。2 2、边界条件（、边界条件（B.C.B.C.） 例例3 细杆导热问题中，杆长
11、细杆导热问题中，杆长l，两端分别保持温度，两端分别保持温度T1和和T2 ，建立边界条件。，建立边界条件。（2 2）第二类边界条件）第二类边界条件已知导数已知导数（牛曼（牛曼（NoumannNoumann）条件）条件） 例例4 细杆导热问题中，杆长细杆导热问题中，杆长l，一端绝热，另一端有恒，一端绝热，另一端有恒定热流定热流q输入，试建立边界条件。输入，试建立边界条件。x=0x=l 热流输出怎样？热流输出怎样？（3 3）第三类边界条件）第三类边界条件混合边界条件混合边界条件给出边界上函数值与其法向导数构成的线性关系给出边界上函数值与其法向导数构成的线性关系 （RobinRobin条件）条件） 例
12、例4 细杆导热问题中，杆长细杆导热问题中，杆长l，一端温度为，一端温度为T0，另一端，另一端与温度为与温度为T1的环境进行对流热交换，试建立边界条件。的环境进行对流热交换，试建立边界条件。x=0x=l（4 4）积分）积分微分边界条件微分边界条件 （5）衔接条件）衔接条件内外层壁：内外层壁： （二）定解问题（二）定解问题 初值问题：初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题只有初始条件，没有边界条件的定解问题 边值问题：边值问题： 没有初始条件，只有边界条件的定解问题没有初始条件，只有边界条件的定解问题 混合问题：混合问题： 既有初始条件又有边界条件的定解问题既有初始条件又有边界条件的定解问
13、题 定解问题定解问题 泛定方程（泛定方程（P.D.E) P.D.E) 定解条件定解条件 初始条件（初始条件（B.C.）边界条件边界条件（I.C.）五、线性迭加原理五、线性迭加原理 所谓迭加：即几种不同因素综合作用于系统，产生所谓迭加：即几种不同因素综合作用于系统，产生的效果等于各因素独立作用产生的效果之总和的效果等于各因素独立作用产生的效果之总和 线性迭加原理：线性迭加原理： 则级数则级数 也是该方程之解也是该方程之解 假设函数假设函数是线性齐次微分方程是线性齐次微分方程的特解。的特解。（i=1，2）六、分离变量法六、分离变量法 例例1 1、设两端固定的有界弦微小自由横振动过程，、设两端固定的
14、有界弦微小自由横振动过程， 初始位移为初始位移为(x)，初始速度为，初始速度为（x）解：（解：（1 1）分离变量）分离变量 设设 （1 1） （2 2） （3 3） （4 4） 到到33页页代入方程式（代入方程式（1 1）得）得 分离变量得分离变量得 = =设设 于是可得到两个常微分方程于是可得到两个常微分方程 到到35页页= =+ 对于二阶线性常系数常微分方程：对于二阶线性常系数常微分方程： 先求特征方程的解：先求特征方程的解： 分三种情况分三种情况 （）特征方程的根）特征方程的根r r1 1,r,r2 2为实数时为实数时 复复 习习（）特征方程的根）特征方程的根r r1 1=r=r2 2=
15、r=r为重实数时为重实数时 （）特征方程的根为复数，即）特征方程的根为复数，即 r r1 1=+=+i r r2 2= = - i 返回返回31页页由边界条件式（由边界条件式（2 2）知）知 因为因为 所以只能所以只能 （5 5） （6 6） （）设）设00，则方程式（，则方程式（5 5）通解为）通解为（5 5） 由由 由由 （2 2）解定解问题）解定解问题 解固有值问题解固有值问题 到到37页页解上述线性代数方程组得：解上述线性代数方程组得： 即即 所以所以 （）设）设 =0，方程（，方程（5）通解为）通解为由由 由由 即即 所以所以 （）设）设 00，令令 ，此时通解为此时通解为由由 由由
16、 因为因为B不能为零，所以只能不能为零，所以只能所以所以称为固有值（或本征值）称为固有值（或本征值） -称为固有函数（或本征函数）称为固有函数（或本征函数） （7 7） 返回返回36页页返回返回54页页（3 3）求解不构成本征问题的常微分方程的通解）求解不构成本征问题的常微分方程的通解（6 6） 将将 代入上式代入上式 （8）将式（将式（7 7）与式）与式（8）相乘，得到一组特解相乘，得到一组特解 其中，其中， 是任意常数是任意常数（8）（7）（4 4）应用线性叠加原理求）应用线性叠加原理求（5 5）由傅里叶级数确定系数）由傅里叶级数确定系数（9）暂停：休息暂停：休息复习复习f(x)在在l，l
17、区间上的傅里叶展开式：区间上的傅里叶展开式：在在0，l区间上的只有余弦项的傅里叶展开式：区间上的只有余弦项的傅里叶展开式：在在0，l区间上的只有正弦项的傅里叶展开式：区间上的只有正弦项的傅里叶展开式：傅里叶展开是基于三角函数的正交性傅里叶展开是基于三角函数的正交性根据正交性可直接确定系数：根据正交性可直接确定系数：0000（10）至此，至此， （9）（）（11）即构成了例）即构成了例1中定解问题的解中定解问题的解（11）总结分离变量求解的关键点总结分离变量求解的关键点1、假设、假设代入代入齐次方程齐次方程进行分离变量；进行分离变量；2、分离、分离齐次边界条件齐次边界条件，组构本征值问题，并求解
18、确定，组构本征值问题，并求解确定 本征值本征函数；本征值本征函数；3、求解另外一个常微分方程；、求解另外一个常微分方程；4、用线性叠加原理写出问题的解；、用线性叠加原理写出问题的解；5、代入初始条件，并用傅里叶展开法确定解中的常数。、代入初始条件，并用傅里叶展开法确定解中的常数。例例 2 2 一维导热问题（第三边值条件）一维导热问题（第三边值条件）长为长为l 的均匀细杆，其侧面（圆弧面）绝热，杆的一的均匀细杆，其侧面（圆弧面）绝热，杆的一端保持在端保持在0状态下，另一端则与温度为状态下，另一端则与温度为0环境介质环境介质进行自由热交换。假设初始时刻温度分布为进行自由热交换。假设初始时刻温度分布
19、为(x)。试。试确定杆上各点温度随时间变化规律。确定杆上各点温度随时间变化规律。 （1）（2）（3）（4）到第到第52页页（1 1）分离变量，设）分离变量，设 代入方程（代入方程（1 1）得：）得： 于是得：于是得： （5 5） （6 6） 比较波动问题得到两个常微分方程比较波动问题得到两个常微分方程 ：返回上一页返回上一页由边界条件式（由边界条件式（2 2）（）（3 3）知）知（2 2） 解本征值问题解本征值问题 （7 7） （8 8） 式（式（5）与式（）与式（7）、式（）、式（8）构成本征值问题）构成本征值问题同前述同样方法讨论本征值同前述同样方法讨论本征值的三种取值情况的三种取值情况
20、经讨论仅当经讨论仅当0时才有非零解时才有非零解 设设 于是方程式（于是方程式（5 5）通解为）通解为 由式（由式（7 7）得）得 由式（由式（8 8）得）得 则则 即即 得本征值得本征值(n =1，2，3 )得本征函数得本征函数（(3(3） 将本征值代入式（将本征值代入式（6 6）并求解）并求解（4 4）由线性迭加原理得定解问题级数形式解）由线性迭加原理得定解问题级数形式解(Cn =BnAn)（5 5）确定系数）确定系数由初始条件由初始条件由本证函数的正交性由本证函数的正交性例例 3 3、求解稳态问题、求解稳态问题 解：（解：（1 1）分离变量）分离变量 设设 （1 1） （2 2） （3 3
21、） 能否用分离变量法能否用分离变量法 求解？求解？ 能！能！代入方程式（代入方程式（1 1）得）得 分离变量得分离变量得 = =设设 于是可得到两个常微分方程于是可得到两个常微分方程 由边界条件（由边界条件（3） （5 5） （6 6） （5 5） （2 2）解本征值问题）解本征值问题 凭经验当凭经验当 000，则方程式（，则方程式（5 5）通解为）通解为由由 由由 解上述线性代数方程组得：解上述线性代数方程组得： 即即 所以所以 （）设）设 =0，方程（，方程（5）通解为）通解为由由 由由 即即 （）设）设 00，令令 ，此时通解为此时通解为由由 由由 所以综合有：所以综合有：-称为固有函数（或本征函数）称为固有函数（或本征函数） （7 7） 返回返回88页页
