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1、牛顿运动定律的应用牛顿运动定律的应用 等时圆的妙用等时圆的妙用问题问题1：如如图图所示，所示，处处在半径在半径为为R的的竖竖直直圆圆内的内的任一任一光滑光滑细细杆杆OB,一端一端B在在圆圆周上周上,另另一端一端O在在圆圆的最高点的最高点,OB与与竖竖直方向的直方向的夹夹角角为为,质质点点m m沿杆沿杆从从O O点由静止开始下滑点由静止开始下滑, ,求它在杆上运求它在杆上运动动的的时间时间? ?一、等时圆的性质一、等时圆的性质O2RBAO2RBA解解一、等时圆的性质一、等时圆的性质mgFNGyGx质点沿杆下滑所需的时间质点沿杆下滑所需的时间跟杆与竖直方向的夹角跟杆与竖直方向的夹角无关无关, ,仅
2、由半径仅由半径R R决定决定, ,且等且等于质点从圆的最高点于质点从圆的最高点O O到最到最低点低点A A做自由落体运动的时做自由落体运动的时间间, ,这个圆就是重力场中的这个圆就是重力场中的“等时圆等时圆”，这个性质叫这个性质叫做圆的自由弦的做圆的自由弦的等时性等时性。O2RBA 结论：结论：一、等时圆的性质一、等时圆的性质O2RBA问题问题2：若杆时粗糙的，上述规律还成立吗？：若杆时粗糙的，上述规律还成立吗？一、等时圆的性质一、等时圆的性质O2RBAmgGxGyFN解解问题问题3：若杆时粗糙的，上述规律还成立吗？：若杆时粗糙的，上述规律还成立吗？Ff 结论：结论：同理同理,如图所示情形如图
3、所示情形,从圆周上不同点沿光从圆周上不同点沿光滑斜面滑到圆周上的滑斜面滑到圆周上的最低点最低点O,所需的时间所需的时间也相等。也相等。OABC一、等时圆的性质一、等时圆的性质问题问题4:如果像图如果像图 所所示，光滑直杆示，光滑直杆AD、BD、CD、处在竖直、处在竖直平面内，杆的三个端平面内，杆的三个端点均在同一圆周上，点均在同一圆周上，CD杆过圆心，若从杆过圆心，若从A、B、C三点同时三点同时静止释放套在杆上的静止释放套在杆上的小球，则它们滑到小球，则它们滑到D点的时间相等吗？点的时间相等吗？ABDCO一、等时圆的性质一、等时圆的性质等时圆中等时圆中的端点应的端点应是几何空是几何空间中的最间
4、中的最高点或最高点或最低点。低点。 结论：结论：ABDCOtCDtBDtAD一、等时圆的性质一、等时圆的性质问题问题4:例例1:如图所示，在同一竖直平面内固定三根光滑如图所示，在同一竖直平面内固定三根光滑的细杆，细杆的一个端点均在的细杆，细杆的一个端点均在d点，另一端点点，另一端点a、b、c处于同一水平线上，三环分别从处于同一水平线上，三环分别从a、b、c处由静止释放，处由静止释放，t1、t2、t3分别表示各环到分别表示各环到达达d点的时间，下列判断正确的是（点的时间，下列判断正确的是（ ）A.t1=t2=t3 B. t1t2t2t3 D.D.无法比较运动时间的长短无法比较运动时间的长短abc
5、d二、二、“等时圆等时圆”的应的应用用(一一)比较运动快慢比较运动快慢abcdt1t2t3二、二、“等时圆等时圆”的应的应用用(一一)比较运动快慢比较运动快慢例例1例例2:2:如图所示如图所示, ,一倾角为一倾角为的传送带上方的传送带上方P P点为点为原料输入口，在原料输入口，在P P点与传送带之间建立一光滑管点与传送带之间建立一光滑管道道, ,使原料沿管道能在最短时间内到达传送带上使原料沿管道能在最短时间内到达传送带上, ,则管道与竖直方向的夹角则管道与竖直方向的夹角应为多大？应为多大？B BA AP二、二、“等时圆等时圆”的应的应用用(二二)确定运动路径确定运动路径二、二、“等时圆等时圆”
6、的应的应用用(二二)确定运动路径确定运动路径解：以解：以p p点为等时圆的点为等时圆的最高点，作出等时圆与最高点，作出等时圆与皮带相切，如图所示皮带相切，如图所示, ,设切点为设切点为B,B,圆心为圆心为O,O,连连接接OB,OB,由几何知识可得由几何知识可得A APB BOO二、二、“等时圆等时圆”的应的应用用(二二)确定运动路径确定运动路径例例2例例例例3 3: :如图所示，有一条水渠的底部是半径很大的圆弧，一如图所示，有一条水渠的底部是半径很大的圆弧，一如图所示，有一条水渠的底部是半径很大的圆弧，一如图所示，有一条水渠的底部是半径很大的圆弧，一位同学用下列方法估算该圆弧的半径，所用器材有
7、：光滑位同学用下列方法估算该圆弧的半径，所用器材有：光滑位同学用下列方法估算该圆弧的半径，所用器材有：光滑位同学用下列方法估算该圆弧的半径，所用器材有：光滑小球、秒表和长木板。下面是具体的操作步骤，请将所缺小球、秒表和长木板。下面是具体的操作步骤，请将所缺小球、秒表和长木板。下面是具体的操作步骤，请将所缺小球、秒表和长木板。下面是具体的操作步骤，请将所缺的内容填写在横线上。的内容填写在横线上。的内容填写在横线上。的内容填写在横线上。a.a.用小球找出底部的最低点；用小球找出底部的最低点；用小球找出底部的最低点；用小球找出底部的最低点；b.b.将长木板将长木板将长木板将长木板_C.C.将光滑小球
8、从长木板上端由静止滑下将光滑小球从长木板上端由静止滑下将光滑小球从长木板上端由静止滑下将光滑小球从长木板上端由静止滑下; ;d._d._e.e.求出圆弧半径求出圆弧半径求出圆弧半径求出圆弧半径 R=_R=_二、二、“等时圆等时圆”的应的应用用(三三)测定圆周半径测定圆周半径例例例例3 3a.a.用小球找出底部的最低点；用小球找出底部的最低点；用小球找出底部的最低点；用小球找出底部的最低点；b.b.将长木板将长木板将长木板将长木板_C.C.将光滑小球从长木板上端由静止滑下将光滑小球从长木板上端由静止滑下将光滑小球从长木板上端由静止滑下将光滑小球从长木板上端由静止滑下; ;d._d._e.e.求出
9、圆弧半径求出圆弧半径求出圆弧半径求出圆弧半径 R=_R=_二、二、“等时圆等时圆”的应的应用用(三三)测定圆周半径测定圆周半径放在圆弧上放在圆弧上放在圆弧上放在圆弧上, ,使木板下端放在使木板下端放在使木板下端放在使木板下端放在OO点点点点用秒表测出小球从上端滑到用秒表测出小球从上端滑到用秒表测出小球从上端滑到用秒表测出小球从上端滑到OO点的时间点的时间点的时间点的时间t tAOAOOOA AR RB B二、二、“等时圆等时圆”的应的应用用(三三)测定圆周半径测定圆周半径例例4:如图所示如图所示,在离坡底在离坡底15m的山坡上的山坡上,竖直地竖直地固定长为固定长为15m的直杆的直杆AO,A端与
10、坡底端与坡底B间连有一间连有一纲绳纲绳,一个穿于绳上的小球从一个穿于绳上的小球从A点由静止开始无点由静止开始无摩擦地滑下摩擦地滑下,求其在绳上滑行的时间求其在绳上滑行的时间t(g取取10m/s2).BAO二、二、“等时圆等时圆”的应的应用用(三三)测定圆周半径测定圆周半径例例4:如图所示如图所示如图所示如图所示, ,在离坡底在离坡底在离坡底在离坡底15m15m的山坡上的山坡上的山坡上的山坡上, ,竖直地固定长为竖直地固定长为竖直地固定长为竖直地固定长为15m15m的的的的直杆直杆直杆直杆AO,AAO,A端与坡底端与坡底端与坡底端与坡底B B间连有一纲绳间连有一纲绳间连有一纲绳间连有一纲绳, ,
11、一个穿于绳上的小球从一个穿于绳上的小球从一个穿于绳上的小球从一个穿于绳上的小球从A A点点点点由静止开始无摩擦地滑下由静止开始无摩擦地滑下由静止开始无摩擦地滑下由静止开始无摩擦地滑下, ,求其在绳上滑行的时间求其在绳上滑行的时间求其在绳上滑行的时间求其在绳上滑行的时间t(gt(g取取取取10m/s10m/s2 2). ).BAO小节OOA AB BC COO2R2RB BA A(一一)比较运动快慢比较运动快慢(三三)测定圆周半径测定圆周半径(二二)确定运动路径确定运动路径应用应用(四四)计算运动时间计算运动时间等等时时圆圆性质性质通通过过空空间间任一点任一点A可作无限多个斜面，将若干可作无限多
12、个斜面，将若干个小物体从点个小物体从点A分分别别沿沿这这些些倾倾角各不相同的光滑角各不相同的光滑斜面同斜面同时时滑下，那么在同一滑下，那么在同一时时刻刻这这些小物体所在些小物体所在位置所构成的面是（位置所构成的面是（ ）A.球面球面 B.抛物面抛物面 C.水平面水平面 D.无法确定无法确定A解析：由解析：由“等时圆等时圆”可知，同一时刻这些小物体可知，同一时刻这些小物体应在同一应在同一“等时圆等时圆”上，所以上，所以A正确。正确。课堂练习课堂练习作业作业1 ：如图如图:，位于竖直平面内的固定光滑圆，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点点，与竖直墙
13、相切于点A，竖直墙上另一点竖直墙上另一点B与与M的连线和水平面的夹角为的连线和水平面的夹角为600，C是圆环轨道的圆心，是圆环轨道的圆心，D是圆环上与是圆环上与M靠得靠得很近的一点（很近的一点（DM远小于远小于CM）。已知在同一时刻：）。已知在同一时刻：a、b两球分别由两球分别由A、B两点两点从静止开始沿光滑倾斜从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到直轨道运动到M点点；c球由球由C点自由下落到点自由下落到M点；点；d球从球从D点静止出发沿圆环运动到点静止出发沿圆环运动到M点。点。则：（则：（ ） A. a球最先到达球最先到达M点点 B. b球最先到达球最先到达M点点C. c球最先到达球最先到达M点点
14、 D. d球最先到达球最先到达M点点ABCDM解析：解析：设圆轨设圆轨道半径道半径为为R，据，据“等等时圆时圆”理理论论c做自由落体运做自由落体运动动 d球球滚滚下是一个下是一个单摆单摆模型，模型，摆长为摆长为R,所以所以c球最先到达球最先到达M点点 ABCDM作作业业2：如如图图所示，在同一所示，在同一竖竖直直线线上有上有A、B两点，两点，相距相距为为h，B点离地高度点离地高度为为H，现现在要在地面上在要在地面上寻寻找一点找一点P，使得从，使得从A、B两点分两点分别别向点向点P安放的光滑安放的光滑木板，木板，满满足物体从静止开始分足物体从静止开始分别别由由A和和B沿木板下沿木板下滑到滑到P点
15、的点的时间时间相等，求相等，求O、P两点之两点之间间的距离的距离ABPHh OABPHhO O1解析：由解析：由“等等时圆时圆”特征可知，当特征可知，当A、B处处于等于等时圆时圆周上且周上且P点点处处于等于等时圆时圆的最低点的最低点时时，即能，即能满满足足题题设设要求要求如如图图所示，此所示，此时时等等时圆时圆的半径的半径为为： 所以所以 作作业业3:如如图图，圆圆柱体的柱体的仓库仓库内有三内有三块长块长度不同度不同的滑板的滑板ao、bo、co，其下端都固定于底部，其下端都固定于底部圆圆心心o，而上端，而上端则搁则搁在在仓库侧仓库侧壁，三壁，三块块滑滑块块与水平面与水平面的的夹夹角依次角依次为
16、为300、450、600。若有三个小孩同。若有三个小孩同时时从从a、b、c处处开始下滑（忽略阻力），开始下滑（忽略阻力），则则 （ ） aObcA. a处处小孩最先到小孩最先到O点点 B. b处处小孩最先到小孩最先到O点点C. c处处小孩最先到小孩最先到O点点 D. a、c处处小孩同小孩同时时到到O点点解析：三解析：三块块滑滑块虽块虽然都从同一然都从同一圆圆柱面上下滑，但柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一三点不可能在同一竖竖直直圆圆周上，所以下周上，所以下滑滑时间时间不一定相等。不一定相等。设圆设圆柱底面半径柱底面半径为为R，则则当当=450时时，t最小，当最小，当=300和和600时时，sin2的的值值相等。相等。 aObcBD正确
