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1、第 32 练直线与圆锥曲线的综合问题题型分析 高考展望 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题,从近几年的高考试题来看,除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外,在填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高, 但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中,主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题,有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来;对于方程的求解,不要无视轨迹的求解形式,后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查,探索类和存在性问题考查的概率也很高. 常考题型精析题型一直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用
2、例 1(1)(2015 福建改编 )已知椭圆 E:x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线 l:3x4y0 交椭圆 E 于 A,B 两点 .假设 AFBF4,点 M 到直线 l 的距离不小于45,则椭圆 E 的离心率的取值范围是_. (2)设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x24y2b21 (b0),其离心率为22. 求椭圆M 的方程;假设直线l 过点 P(0,4),则直线l 何时与椭圆M 相交?点评对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题,一是利用方程的根的判别式来确定,但一定要注意,利用判别式的前提是二次项系数不为零;二是利用图形来处理和理解;三是直线过定点位置
3、不同,导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页变式训练1已知椭圆 C:x2a2y2b2 1(ab0)的焦距为4,且过点P(2,3). (1)求椭圆 C 的方程;(2)设 Q(x0,y0)(x0y00)为椭圆 C 上一点,过点Q 作 x 轴的垂线,垂足为E.取点 A(0,22),连结 AE,过点 A 作 AE 的垂线交x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点?并说明理由. 题型二直线与圆锥曲线的弦的问题例
4、 2设椭圆 C:x2a2y2b21 (ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,且焦距为6,点 P 是椭圆短轴的一个端点,PF1F2的周长为16. (1)求椭圆 C 的方程;(2)求过点 (3,0)且斜率为45的直线 l 被椭圆 C 所截得的线段中点的坐标. 点评直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程,弦长,弦的位置确定,弦中点坐标轨迹等问题,解决这些问题的总体思路是设相关量,找等量关系,利用几何性质列方程(组),不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系,使问题解决. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页变式训练2在平
5、面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为 2,离心率为22. (1)求椭圆 C 的方程;(2)A,B 为椭圆 C 上满足 AOB 的面积为64的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线OE 交椭圆 C 于点 P.设OPtOE,求实数t 的值 . 高考题型精练1.(2015北京)已知椭圆C:x23y23,过点 D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C 交于 A,B 两点,直线AE 与直线 x3 交于点 M. (1)求椭圆 C 的离心率;(2)假设 AB 垂直于 x 轴,求直线BM 的斜率;(3)试判断直线BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由. 精选
6、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页2.如图,已知抛物线C 的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1). (1)求抛物线C 的方程;(2)过点 F 作直线交抛物线C 于 A,B 两点 .假设直线AO、BO 分别交直线 l:y x2 于 M、N 两点,求MN 的最小值 . 3.(2015南京模拟 )已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c0)到直线 l:xy20 的距离为322.设 P 为直线 l 上的点, 过点 P 作抛物线C 的两条切线PA,PB,其中 A,B 为切点 . (1)求抛物线C 的方程;(2)当点
7、P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线AB 的方程;(3)当点 P 在直线 l 上移动时,求AF BF 的最小值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页4.已知点 A,B 是抛物线C:y22px (p0)上不同的两点,点D 在抛物线C 的准线 l 上,且焦点 F 到直线 xy 20 的距离为3 22. (1)求抛物线C 的方程;(2)现给出以下三个论断:直线 AB 过焦点 F;直线 AD 过原点 O; 直线 BD 平行于 x 轴. 请你以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题,并
8、加以证明 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页答案精析第 32 练直线与圆锥曲线的综合问题常考题型典例剖析例 1(1)0,32解析设左焦点为F0,连结 F0A,F0B,则四边形 AFBF0为平行四边形. AFBF4,AFAF0 4,a2. 设 M(0, b),则|304b|32 424b545,1b2. 离心率 ecac2a2a2b2a24b240,32. (2)解因为椭圆M 的离心率为22,所以4b24222,得 b2 2. 所以椭圆M 的方程为x24y221. ()过点 P(0,4)的直线 l 垂直于 x 轴
9、时,直线l 与椭圆 M 相交 . ( )过点 P(0,4)的直线 l 与 x 轴不垂直时,可设直线l 的方程为ykxykx4,x24y22 1,消去 y,得 (1 2k2)x216kx280. 因为直线l 与椭圆 M 相交,所以 (16k)24(12k2)2816(2k27)0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页解得 k142. 综上,当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为,142142, 时,直线 l 与椭圆 M 相交 . 变式训练1解(1)由已知条件得椭圆C 的焦点为F1( 2,0), F2(2,0
10、),PF1222 3942221,PF2222 3942221,2aPF1PF242,则 a22. b2a2c24,因此椭圆C 的方程为x28y24 1. (2)设 D(x1,0),DA(x1,22),EA (x0,22);由DAEA,得 DA EA0,则 G(x1,0) x1x080,则 x18x0,kQGy0x0x1y0x08x0x0y0x208,直线 QG 的方程为 yx0y0x208x8x0y0x208(x0x8),又x208y2041,y204 1x20812(8x20),可得 y28x202 x208(x0x8),将代入x28y241 整理得 8x216x0x 8x200, (16
11、x0)2464x200,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点. 例 2解(1)设椭圆的半焦距为c,则由题意,可得2c6,2a2c 16,解得a5,c 3,所以 b2a2c2523216. 故所求椭圆C 的方程为x225y2161. (2)方法一过点 (3,0)且斜率为45的直线 l 的方程为y45(x 3),将之代入C 的方程,得x225x3225 1,即 x2 3x80. 因为点 (3,0) 在椭圆内,设直线l 与椭圆 C 的交点为A(x1, y1),B(x2,y2),因为
12、 x1x23,所以线段AB 中点的横坐标为x1x2232,纵坐标为45(323)65. 故所求线段的中点坐标为32,65. 方法二过点 (3,0)且斜率为45的直线l 的方程为y45(x3),因为 (3,0)在椭圆内,所以直线l与椭圆有两个交点,设两交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),中点 M 的坐标为 (x0,y0),则有x2125y21161,x2225y22161, 由 ,得x1x2x1x225y1y2y1y216,即16x025y045.又 y045(x03), 所以x032,y065.故所求线段的中点坐标为32,65. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名
13、师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页变式训练2解(1)设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0),则c2a2b2,ca22,2b2,解得 a2,b1,故椭圆 C 的方程为x22y2 1. (2) 当 A, B 两点关于 x 轴对称时,设直线 AB的方程为 x m, 由题意得2m0 或 0m0,所以 t 2或 t233. 当 A,B 两点关于x 轴不对称时,设直线AB 的方程为ykxn,由ykx n,x22y21得(12k2)x24knx2n220. 设 A(x1, y1),B(x2,y2),由 16k2n24(12k2)(2n22)0 得 1 2k2n2. 此时
14、 x1x24kn1 2k2,x1x22n2212k2,y1y2k(x1x2) 2n2n12k2. 所以 AB1k2x1 x224x1x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页22 1 k212k2n212k2 2. 又点 O 到直线 AB 的距离 d|n|1 k2. 所以 SAOB12d AB122 2 1k212k2n212k2 2|n|1k2. 212k2 n212k2 2 |n|64. 令 r12k2代入上式得: 3r216n2r16n40. 解得 r4n2或 r43n2,即 12k24n2或 12k243n2.
15、 又OPtOE12t(OAOB)12t(x1x2,y1y2) 2knt1 2k2,nt12k2. 又点 P 为椭圆 C 上一点,所以 t2122kn12k22n1 2k22 1,即n212k2t21. 由12k2 4n2或12k243n2,n212k2t21得 t24 或 t243. 又 t0,故 t2 或 t2 33. 经检验,适合题意. 综合 得 t 2 或 t233. 常考题型精练1.解(1)椭圆 C 的标准方程为x23y21,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页所以 a3,b 1,c2. 所以椭圆C 的离心
16、率eca63. (2)因为 AB 过点 D(1,0)且垂直于x 轴,所以可设A(1,y1),B(1, y1),直线 AE 的方程为y1 (1y1)(x2),令 x3,得 M(3,2y1),所以直线BM 的斜率 kBM2y1y1311. (3)直线 BM 与直线 DE 平行,证明如下:当直线 AB 的斜率不存在时,由(2)可知 kBM1. 又因为直线DE 的斜率 kDE10211,所以 BMDE,当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为yk(x 1)(k 1),设 A(x1,y1),B(x2,y2),则直线 AE的方程为y 1y11x12(x2).令 x3,得点 M 3,y1x13x12,由x23
17、y2 3,y k x1 ,得(1 3k2)x26k2x 3k230,所以 x1x26k213k2,x1x23k2 313k2,直线 BM 的斜率 kBMy1x13x12y23x2,因为 kBM1k x11 x13k x21 x12 3x2x123x2x12k1 x1x22 x1x233x2x1 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页k13k2313k212k213k2 33x2x120 所以 kBM1kDE. 所以 BMDE,综上可知,直线BM 与直线 DE 平行 . 2.解(1)由题意可设抛物线C 的方程为x22
18、py(p0),则p21,所以抛物线C 的方程为x24y. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为ykx1. 由y kx1,x24y消去 y,整理得 x24kx40,所以 x1x24k,x1x2 4. 从而 |x1 x2|4k21. 由yy1x1x,y x2,解得点 M 的横坐标xM2x1x1y12x1x1x21484x1. 同理点 N 的横坐标xN84 x2. 所以 MN2|xMxN| 284x184x282x1x2x1x24 x1x21682k21|4k3|. 令 4k3t,t0,则 kt 34. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
19、 - - - - - -第 12 页,共 15 页当 t0 时, MN22 25t26t 122. 当 t0,解得 c1. 所以抛物线C 的方程为x24y. (2)由 y14x2得 y12x,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB 的斜率分别为12x1,12x2,所以切线PA 的方程为yy1x12(xx1),即 yx12xx212y1,即 x1x2y2y10. 同理可得切线PB 的方程为x2x2y 2y20,又点 P(x0,y0)在切线 PA 和 PB 上,所以 x1x0 2y02y10,x2x02y02y2 0,所以 (x1,y1),(x2,y2)为方程 x0x2y02y
20、0 的两组解, 所以直线AB 的方程为x0x2y2y00. (3)由抛物线定义知AFy11,BF y21,所以 AF BF(y11)(y21)y1y2(y1y2) 1,联立方程x0x2y2y00,x24y,消去 x整理得 y2(2y0x20)yy200,所以 y1y2x202y0,y1y2y20,所以 AF BFy1y2(y1y2)1 y20x202y01 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页y20(y0 2)22y012y202y05 2 y012292,所以当 y012时, AF BF 取得最小值,且最小值为9
21、2. 4.解(1)抛物线 C:y22px (p0)的焦点为Fp2, 0 ,依题意得d|p202|23 22,解得 p2,抛物线 C 的方程为y24x. (2) 命题 .假设直线AB 过焦点 F,且直线AD 过原点 O,则直线BD 平行于 x 轴. 设直线 AB 的方程为xty1,A(x1,y1),B(x2,y2),由x ty1,y24x,得 y24ty40,y1y2AD 的方程为yy1x1x,点 D 的坐标为1,y1x1. y1x14y1y214y1y2. 直线 BD 平行于 x 轴. 命题:假设直线AB 过焦点 F,且直线 BD 平行于 x 轴,则直线AD 过原点 O. 设直线 AB 的方程
22、为xty1,A(x1,y1),B(x2,y2),由x ty1y24x,得 y24ty40, y1y2 4,即点 B 的坐标为x2,4y1,直线 BD 平行于 x 轴, D 点的坐标为1,4y1. OA(x1,y1),OD 1,4y1. 由于 x14y1y1(1) y1y10,OAOD,即 A,O,D 三点共线 . 直线 AD 过原点 O. 命题:假设直线AD 过原点 O,且直线 BD 平行于 x 轴,则直线AB 过焦点 F. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页设直线 AD 的方程为 ykx(k0),则点 D 的坐标为 (1, k),直线 BD 平行于 x 轴, yB k. xBk24,即点 B 的坐标为k24, k ,由y kx,y24x,得 k2x24x,xA4k2,yA4k,即点 A 的坐标为4k2,4k. FA4k21,4k,FBk241, k ,4k21 (k)4kk2414kkk4k0. FA FB,即 A,F,B 三点共线 .直线 AB 过焦点 F. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页