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1、第二版第二版第第1 1章章 极限与延续极限与延续 函数极限的概念 函数极限的性函数极限的性质与与计算算 函数的延函数的延续性性 极限存在准那么与两个重要极限极限存在准那么与两个重要极限 数列极限l 数列的概念数列的概念l 数列极限的概念数列极限的概念l 数列极限的性数列极限的性质1.1 1.1 数列极限数列极限无限！无限！ 再没有其它的再没有其它的问题 希希尔伯特伯特 如此深化地打如此深化地打动过人人类的心灵的心灵. . 极限概念是从常量到极限概念是从常量到变量量,从有限到无限从有限到无限, 即从初等数学即从初等数学过渡到高等数学的关渡到高等数学的关键. 极限的思想源极限的思想源远流流长.“割
2、之弥割之弥细，所失，所失弥少，割之又割，弥少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么与那么与圆周合体周合体而无所失矣而无所失矣例例 割割圆术刘刘 徽徽一、两个实例一、两个实例( (三世纪三世纪) )正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积以极限的以极限的记法即法即截丈问题截丈问题例例“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭第第n天截下的杖天截下的杖长总和和为庄子庄子( (约公元前公元前355275355275年年) )定定义按照自然数的按照自然数的顺序序陈列的一列数列的一列数简记为通通项, 或者普通或者普通项.二、数列的概念二、数
3、列的概念称为数列称为数列.如如或或1数列也可看作自数列也可看作自变量量为正整数正整数 n的函数，的函数， 整整标函数或下函数或下标函数。函数。阐明明(2) 在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,注注 不可将这串点连成曲线.onxn 1 2 3 4那么数列的几何意那么数列的几何意义是是平面上一串分平面上一串分别的点的点. . 三、数列极限的定三、数列极限的定义请察看以下数列察看以下数列l 数列极限的直数列极限的直观定定义例如例如可以看出，可以看出， 当当 n 无限增大无限增大时，无限接近无限接近 101x“ 1 是它的极限是它的极限. 无限增大无限增大 无
4、限接近无限接近越来越大越来越大, 即即 如如只需只需项号号 n 满足足要使要使只需只需项号号 n 满足足就有就有而要使而要使 故只需故只需项号号 n 满足足 普通地，当取恣意小的正数普通地，当取恣意小的正数 ，都能，都能阐明明可以找到可以找到这样的的项号号 N, 只需位于只需位于N 项以后的以后的一切一切项即即现实上就上就用量化方式说清了用量化方式说清了 无限接近无限接近 a .都满足都满足,定定义( (数列极限的数列极限的 数量化定义数量化定义) )恒有恒有设设 为一数列，为一数列，假假设存在定数存在定数 a,那么称那么称 a 为数为数列列的极限，的极限， 或称数列或称数列 收敛于收敛于 a
5、, 并记为并记为或或记为假假设不存在不存在这样的定数的定数 a, 那么说数列那么说数列 没没或说数列或说数列 发散，发散， 也说也说 不存在不存在.有极限有极限, 定定定定义义中关中关中关中关键键字的意字的意字的意字的意义义: :描写描写 与与 a 可以无限接近的程度可以无限接近的程度,(1)正数正数 “恣意恣意给定，定， “可以恣意小；可以恣意小；被被满足的足的时辰，辰，指明指明对给定的正数定的正数 ，(2)正整数正整数N = N( ) “N 不独一、不独一、“N依依 而定、而定、“N 可大不可小可大不可小.(3) 绝对值不等式不等式 那么阐明那么阐明 与与a可以无限接近可以无限接近.即当即
6、当 n N 以后，一切的点以后，一切的点 都将落在都将落在内，内，而此区而此区间外至多只需有限外至多只需有限个点即个点即的几何意义的几何意义:(4)例例分析分析对于对于要使要使设设证明证明:即要使即要使于是只需取于是只需取有以上的推有以上的推导全便成立全便成立,(先先设q不不为零零)证恒有恒有假假设 q = 0, 结论成立成立 ;(无妨取无妨取 0 1), 使得使得根据定根据定义 普通情况普通情况: 例例 设证求求证:对于对于于是于是分析分析定理定理1(1(极限的独一性极限的独一性) )假假设数列收数列收敛，那么它的极限独一，那么它的极限独一.证反反证法法. 假假设同同时有有且且a N，l数列
7、数列 的子列的子列 关于子列的脚关于子列的脚标有三点有三点规定定: :(2) 子列的序号不是子列的序号不是 ,而是而是 k ,表示表示在子列是第在子列是第 k 项项, 是原序列的第是原序列的第 项项;(1) 子列序号构成的数列子列序号构成的数列是严厉单调是严厉单调上升的，上升的，定理定理5 (5 (收收敛数列与其子序列数列与其子序列间的关系的关系)*)*假设假设那么那么证由由于是有于是有 定理中的定理中的 结论仍成立结论仍成立. 由定理由定理5可以得出可以得出 原数列不收原数列不收敛, 但可以有收但可以有收敛的子列，如的子列，如于不同的极限于不同的极限, 那么一定原数列那么一定原数列 发散发散. 假设假设 有一个子列发散有一个子列发散, 或有两个子列收敛或有两个子列收敛
