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1、- 1 - / 21二次根式的知识点汇总知识点一:二次根式的概念形如()的式子叫做二次根式。注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件, 如,等是二次根式,而,等都不是二次根式。例 1下列式子, 哪些是二次根式, 哪些不是二次根式:、(x0) 、-、(x0,y 0) 分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“” ;第二,被开方数是正数或0知识点二:取值范围1、二次根式有意义的条件: 由二次根式的意义可知, 当 a0 时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。2、
2、二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a0 时,没有意义。例 2当 x 是多少时,在实数范围内有意义?例 3当 x 是多少时,+在实数范围内有意义?知识点三:二次根式()的非负性()表示 a 的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。注:因为二次根式()表示 a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0 的算术平方根是 0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质, 和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多, 如若,则 a=0,b=0;若,则 a=0,b=0;若,则 a=0,b=0。2331xx04221xyxy31
3、x23x11x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页- 2 - / 21例 4(1)已知 y=+5,求的值 (2)若+=0,求 a2004+b2004的值知识点四:二次根式()的性质 1()文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,. 例 1 计算1 ()22 (3)23 ()24 ()2例 2 在实数范围内分解下列因式:(1)x2-3 (2)x4-4 (3) 2x2-3知识点五:二次根式的性质2文字语言
4、叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注:1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数, 若是正数或 0,则等于 a 本身,即;若 a 是负数,则等于 a 的相反数 -a, 即;2、中的 a 的取值范围可以是任意实数,即不论a 取何值,一定有意义;3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。例 1 化简(1)(2)(3)(4)2x2xxy1a1b325567292( 4)252( 3)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 21 页- 3 - / 21例 2 填空:当 a0 时,=_;当 aa
5、,则 a是什么数?例 3 当 x2,化简-知识点六:与的异同点1、 不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数 a 的算术平方根的平方, 而表示一个实数 a 的平方的算术平方根; 在中, 而中 a 可以是正实数,0, 负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,而2、 相同点:当被开方数都是非负数, 即时,=;时,无意义,而. 知识点七:二次根式的乘除1、 乘法abab(a0,b0)反过来:ab=ab(a0,b0)2、除法ab=ab(a0,b0)反过来,ab=ab(a0,b0)(思考: b 的取值与 a 相同吗?为什么?不相同,因为b 在分母,所以不能为0)例 1计算(1)4(
6、2)(3)(4)例 2 化简(1)(2)(3)(4)例 3判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:(1)(2)=4=4=4=82a2a2a2a2a2(2)x2(1 2 ) x571399271269 161681229x y54( 4)( 9)491242525122525122525123精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 21 页- 4 - / 21例 4计算: (1)(2)(3)(4)例 5化简:(1)(2)(3)(4)例 6已知,且 x 为偶数,求( 1+x)的值3、最简二次根式应满足的条件:(1)被开方数 不含分
7、母或分母中不含二次根式;(2)被开方数中 不含开得尽方的因数或因式(熟记 20 以内数的平方; 因数或因式间是乘积的关系, 当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式,然后再观察各个因式的指数是否是2(或 2 的倍数) ,若是则说明含有能开方的因式,则不满足条件,就不是最简二次根式)例 1把下列二次根式化为最简二次根式(1) ; (2) ; (3) 4、化简最简二次根式的方法:(1) 把被开方数 (或根号下的代数式 )化成积的形式,即分解因式;(2) 化去根号内的分母(或分母中的根号) ,即分母有理化;(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式 )开出来 (此步需要特别注意的是: 开到根号外的时
8、候要带绝对值,注意符号问题)5. 有理化因式:一般常见的互为有理化因式有如下几类:与;与;与;与说明:利用有理化因式的特点可以将分母有理化13、同类二次根式:被开方数相同的(最简)二次根式叫同类二次根式。判断是否是同类二次根式时务必 将各个根式都化为最简二次根式。如与知识点八:二次根式的加减1、二次根式的加减法:先把各个二次根式化为最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)进行合并。(合并方法为:将系数相加减,二次根式部分不变),不能合并的直接抄下来。例 1计算( 1)+(2)+例 2计算12331281141664836422649ba2964xy25169xy9966xxx
9、x22541xxx53122442x yx y238x y81881816x64x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 21 页- 5 - / 21(1)3-9+3(2) (+)+(-)例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0,求(+y2)-(x2-5x)的值2、二次根式的混合运算:先计算括号内,再乘方(开方),再乘除,再加减3、二次根式的比较:(1)若,则有; (2)若,则有(3)将两个根式都平方,比较平方后的大小,对应平方前的大小例 4比较 3与4的大小【典型例题】1、概念与性质例 1、下列各式1),其中是二次根式的
10、是 _(填序号)例 2、求下列二次根式中字母的取值范围(1)xx315; (2)22)-(x例 3、 在根式 1) ,最简二次根式是()A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)例 4、已知:的值。求代数式22,211881xyyxxyyxxxy例 5、已知数 a,b,若=ba,则 ()A. abB. ab0,a+b=6,则的值为()AB2 CD例 4、甲、乙两个同学化简时,分别作了如下变形:甲:=;4415ababab22212精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页- 8 - / 21乙:=。其中()A.
11、 甲、乙都正确B. 甲、乙都不正确C. 只有甲正确D. 只有乙正确课堂练习:1. 使式子4x有意义的条件是。2. 当_时,212xx有意义。3. 若11mm有意义,则m的取值范围是。4. 当_x时,21x是二次根式。5. 在实数范围内分解因式:429_,222_xxx。6. 若242xx,则x的取值范围是。7. 已知222xx,则x的取值范围是。8. 化简:2211xxxp的结果是。9. 当15x p时,215_xx。10. 把1aa的根号外的因式移到根号内等于。11. 使等式1111xxxxg成立的条件是。12. 若1ab与24ab互为相反数,则2005_ab。13. 在式子230 ,2,1
12、2 ,20 ,3,1,2xxyyx xxxyfp中,二次根式有()A. 2 个 B. 3个 C. 4个 D. 5个14. 下列各式一定是二次根式的是()A. 7 B. 32m C. 21a D. ab15. 若 23app,则2223aa等于()A. 52a B. 12a C. 25a D. 21a16. 若424Aa,则A()A. 24a B. 22a C. 222a D. 224a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 21 页- 9 - / 2117. 若1a,则31a化简后为()A. 11aa B. 11aaC. 11a
13、a D. 11aa18. 能使等式22xxxx成立的x的取值范围是()A. 2x B. 0x C. 2x f D. 2x19. 计算:222112aa的值是()A. 0 B. 42a C. 24a D. 24a 或 42a21. 若2440xyyy,求xy的值。22. 当a取什么值时,代数式211a取值最小,并求出这个最小值。24. 已知2310xx,求2212xx的值。25. 已知,a b为实数,且1110abb,求20052006ab的值。26. 化简:351 .0,0a bab2 .xyxy3213 .aaa二次根式的乘除1. 当0a,0b p时,3_ab。2. 若22m n和3223m
14、n都是最简二次根式,则_,_mn。3. 计算:23_;369_。4. 计算:483 273_。5. 长方形的宽为3,面积为2 6,则长方形的长约为(精确到 0.01 ) 。6. 下列各式不是最简二次根式的是() A. 21a B. 21x C. 24b D. 0.1y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 21 页- 10 - / 217. 已知0xy f,化简二次根式2yxx的正确结果为() A. y B. y C. y D. y8. 对于所有实数,a b,下列等式总能成立的是() A. 2abab B. 22abab C.
15、22222abab D. 2abab9.2 3和3 2的大小关系是() A. 2 33 2f B. 2 33 2p C. 2 33 2 D. 不能确定10. 对于二次根式29x,以下说法中不正确的是()A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为 3 11. 计算:1 . 23 232 .53xx33 .540,0aba bab364 .0,0a bab abff21.3 二次根式的加减1. 下列根式中,与3是同类二次根式的是() A. 24 B. 12 C. 32 D. 182. 下面说法正确的是() A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B
16、. 8与80是同类二次根式 C. 2与150不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2 的根式3. 与3a b 不是同类二次根式的是()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页- 11 - / 21 A. 2ab B. ba C. 1ab D. 3ba4. 下列根式中,是最简二次根式的是() A. 0.2b B. 1212ab C. 22xy D. 25ab5. 若12xpp,则224421xxxx化简的结果是() A. 21x B. 21x C. 3 D. -3 6. 若2182102xxxx,则x的值等于()
17、 A. 4 B. 2 C. 2 D. 47. 若3的整数部分为x,小数部分为y,则3xy的值是() A. 3 33 B. 3 C. 1 D. 3 8. 下列式子中正确的是() A. 527 B. 22abab C. axb xabx D. 68343229. 在8,12,18,20中,与2是同类二次根式的是。10. 若最简二次根式125aa与34ba是同类二次根式,则_,_ab。11. 一个三角形的三边长分别为8, 12, 18cmcmcm,则它的周长是 cm。12. 若最简二次根式23412a与22613a是同类二次根式,则_a。13. 已知32,32xy,则33_x yxy。14. 已知3
18、3x,则21_xx。15. 200020013232_g。16. 计算:. 1122 123 1548333. 1485423313. 274 374 33 51. 222212131213精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 21 页- 12 - / 2117. 计算及化简:. 2211aaaa. 2ababababab. xyy xy xxyxyy xy xxy. 2aabbabaabaabbabbab18. 已知:3232,3232xy,求32432232xxyx yx yx y的值。19. 已知:1110aa,求22
19、1aa的值。20. 已知11039322yxxxyx,求的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 21 页- 13 - / 21一、选择题(每题2 分,共 20 分)1. 下列各式中一定是二次根式的是()A. 7B. 32mC. 12xD. 3ab2. 如果52x是二次根式,那么x应满足的条件是()A. 52xB. 52xC. x52D. x523. 当 x=3时,在实数范围内没有意义的是()A. 3xB. 3xC. 23xD. 23x4. 化简二次根式2( 3)6得()A. 36B. 36C. 18 D. 65. 等式(
20、1)(1)11aaaa?成立的条件是()A. 1aB. 1aC. 11aD. 11a6. 下列各式计算正确的是()A. 8 32 316 3?B. 5 35 25 6?C. 4 32 28 6?D. 4 32 28 5?7. 若24(9)Aa,则A等于()A. 23aB. 22(3)aC. 22(9)aD. 29a8. 化简1254等于()A. 152B. 1012C. 52D. 11012精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 21 页- 14 - / 219. 等式11xxxx成立的条件是()A. 0xB. 1xC. 01
21、xD. 0x且1x10. 当3a时,化简22(21)(3)aa的结果是()A. 32aB. 32aC. 4aD. 4a二、填空题(每题3 分,共 24 分)11. 如果11x是二次根式,则x的取值范围是。12. 若0n,则代数式3227m n= 。13. 化简7581= ,0.04 490.25 121= ,55= 。14. 计算12 7543 4827= 。15. 已知1812261884aaa,则a。16. 若26m与234m是同类二次根式,则m= 。17. 2(2)2aa成立的条件是。18. 若 )m nmnmnmn21. 已知5xy,3xy?,计算yxxy的值。(5 分)22. 已知实
22、数, ,a b c满足21 |1|440abcc,求1001003abc的值。(5 分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 21 页- 16 - / 2123. 若521ab,2ab,求代数式(1)(1)ab的值。 (6 分)24. 已知11,32 232 2AB求1111AB的值。(6 分)25. 已知1110aa,求221aa的值。 (6 分)综合、运用、诊断一、填空题11表示二次根式的条件是_12使有意义的x的取值范围是 _13已知,则xy的平方根为 _14当x=2 时, _二、选择题x212xx411yxx2244
23、121xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 21 页- 17 - / 2115下列各式中,x的取值范围是x2 的是 ( )ABCD16若,则xy的值是 ( )A 7 B 5 C3 D7 三、解答题17计算下列各式:(1)(2)(3)(4)18当a=2,b=1,c=1 时,求代数式的值拓广、探究、思考19已知数a,b,c在数轴上的位置如图所示:化简:的结果是: _20已知ABC的三边长a,b,c均为整数,且a和b满足试求ABC的c边的长综合、运用、诊断一、填空题9定义运算“ ”的运算法则为:则(26)6=_ 10已知矩
24、形的长为,宽为,则面积为 _cm211比较大小:(1)_;(2)_; (3) _二、选择题12若成立,则a,b满足的条件是 ( )Aa0 且b0 Ba0 且b0 Ca0 且b0Da,b异号13把根号外的因式移进根号内,结果等于( )ABCD三、解答题2x21xx21121x022|5|yx;)14. 3(2;)3(22;)32(21.)5. 03(22aacbb242|)(|22bbccaa.09622bba,4xyyxcm52cm1023322534226baba24324111144112精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页
25、,共 21 页- 18 - / 2114计算: (1)_;(2)_;(3)_;(4)_15若 (xy 2)2与互为相反数,求(xy)x的值拓广、探究、思考16化简: (1)_;(2)_综合、运用、诊断一、填空题7化简二次根式:(1)_(2)_(3)_ 8计算下列各式,使得结果的分母中不含有二次根式:(1)_(2)_(3)_(4)_ 9已知则_;_( 结果精确到0001) 二、选择题10已知,则a与b的关系为 ( )Aa=bBab=1 Ca=bDab=1 11下列各式中,最简二次根式是( )ABCD三、解答题12计算: (1)(2)(3)xxy6335222927baa21132212)123(
26、32yx1110)12()12()13()13(628131451x2322yx5,732.13312713a132byx1ba42xba25;3baabab;3212yxybaba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 21 页- 19 - / 2113当时,求和xy2x2y的值拓广、探究、思考14观察规律:并求值(1)_; (2)_;(3)_15试探究与a之间的关系综合、运用、诊断一、填空题12已知二次根式与是同类二次根式,(ab)a的值是 _13与无法合并,这种说法是_的 ( 填“正确”或“错误”) 二、选择题14在下列
27、二次根式中,与是同类二次根式的是( )ABCD三、计算题15161718四、解答题19化简求值:,其中,24,24yx222yxyx,32321,23231, 1212122711011111nn22)( a、abab4ba33832abbab26aa223a3a4a.)15(2822180).272(43)32(21bbabaa1241.21233abbbaabababayyxyxx32414x91y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 21 页- 20 - / 2120当时,求代数式x24x2的值拓广、探究、思考21探究
28、下面的问题:(1) 判断下列各式是否成立?你认为成立的,在括号内画“”,否则画“” ()()()()(2) 你判断完以上各题后,发现了什么规律?请用含有n的式子将规律表示出来,并写出n的取值范围(3) 请你用所学的数学知识说明你在(2) 题中所写式子的正确性综合、运用、诊断一、填空题13(1) 规定运算: (a*b)= ab,其中a,b为实数,则_(2) 设,且b是a的小数部分,则_二、选择题14与的关系是 ( )A互为倒数B互为相反数C相等D乘积是有理式15下列计算正确的是( )ABCD三、解答题16171819321x32232283383315441544245524557)3*7(5a
29、baabaabbaba2)(abbababa22aaa12212212818)212(2.)21()21(20092008.)()(22baba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 21 页- 21 - / 21四、解答题20已知求(1)x2xyy2;(2)x3yxy3的值21已知,求的值拓广、探究、思考22 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们说这两个代数式互为有理化因式 如:与,与互为有理化因式试写下列各式的有理化因式:(1)与_;(2)与_;(3)与 _;(4)与_; (5)与_;(6)与 _23已知求( 精确到 0.01) ,23,23yx25x4)25()549(2xxaa636325yx2mn322233223,732.13,414.12)23(6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 21 页