小学数学教材内容的整合与改造

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1、智慧笑话智慧笑话田彬田彬小学数学教材内容的整合与改造小学数学教材内容的整合与改造广州市越秀区教师进修学校 张敏铃2013.7.16【案例案例1：统计方法的优化：统计方法的优化】【案例案例1：统计方法的优化：统计方法的优化】师：信封里面有正方形、三角形、圆的三种图形的师：信封里面有正方形、三角形、圆的三种图形的“宝宝宝宝”，我报图形，我报图形的名称，请你们用自己喜欢的方法进行记录。的名称，请你们用自己喜欢的方法进行记录。生生1：生生2：三角形、圆、圆、正方形、圆、正方形、正方形、三角形、三角形、：三角形、圆、圆、正方形、圆、正方形、正方形、三角形、三角形、三角形三角形生生3：、生生4： ： ：

2、师：你喜欢哪种的记录方法？师：你喜欢哪种的记录方法？生：我喜欢用生：我喜欢用“”“”来表示，我觉得这种方法快。来表示，我觉得这种方法快。师：师：“”“”方法记录既清楚又方便，今后我们就用这种方法。方法记录既清楚又方便，今后我们就用这种方法。假如你现在假如你现在是学生，你是学生，你能感受到能感受到“”的优的优越性吗？越性吗？优点：优点： 让学生用自己喜欢的方法记让学生用自己喜欢的方法记录，而且还让学生对几种方法进行了比较录，而且还让学生对几种方法进行了比较和选择；课堂上出现了文字、符号、和选择；课堂上出现了文字、符号、“”“”等各种低、高层次的记录方法，教等各种低、高层次的记录方法，教师还强调了

3、画师还强调了画“”“”方法的简捷。方法的简捷。思考：思考： 学生进行方法的比较仅凭借学生进行方法的比较仅凭借直观感觉，外部形式进行的判断，没有进直观感觉，外部形式进行的判断，没有进行深入思考和亲身体验，教师小结语强行行深入思考和亲身体验，教师小结语强行让学生认同画让学生认同画“”“”的方法，这样的教教的方法，这样的教教材能让学生心悦诚服吗？材能让学生心悦诚服吗？【案例案例1：统计方法的优化：统计方法的优化】师：信封里装有正方形、三角形、圆的三种图形师：信封里装有正方形、三角形、圆的三种图形“宝宝宝宝”，你想知道什么呀？，你想知道什么呀？生生1：我想知道里面有几个三角形。：我想知道里面有几个三角

4、形。生生2：我想知道里面有几个正方形。：我想知道里面有几个正方形。生生3：我想知道里面有正方形、三角形和圆各有多少个。：我想知道里面有正方形、三角形和圆各有多少个。师：用什么方法能知道正方形、三角形、圆各有多少个？师：用什么方法能知道正方形、三角形、圆各有多少个？生生1：把信封里面的图形倒出来，数数。：把信封里面的图形倒出来，数数。生生2：把它们分开一堆一堆的，再数一数就知道了。：把它们分开一堆一堆的，再数一数就知道了。师：怎么数能又快又准？师：怎么数能又快又准？（教师意图是启发学生找一人报图形名称，全班记录。）（教师意图是启发学生找一人报图形名称，全班记录。）生生1：我先数正方形有多少个？：

5、我先数正方形有多少个？生生2：我先数圆有多少个？：我先数圆有多少个？学生拿出信封，小组自己数开了，然后汇报个数。学生拿出信封，小组自己数开了，然后汇报个数。师：大家数得很准确，那么除了先分类再数出个数的方法外，还有什么方法？师：大家数得很准确，那么除了先分类再数出个数的方法外，还有什么方法？学生讨论许久，仍然没有结果。学生讨论许久，仍然没有结果。师：如果我来报名称，你用师：如果我来报名称，你用“”“”来记录会不会方便很多呢？来记录会不会方便很多呢？学生在下面嘟囔，不方便。学生在下面嘟囔，不方便。【案例案例1：统计方法的优化：统计方法的优化】为什么学为什么学生不能理生不能理解教师的解教师的意图？

6、意图？优点：优点： 教师创设了信封里有三种图宝宝，教师创设了信封里有三种图宝宝，并让学生说出并让学生说出“想知道什么想知道什么”的思维发散的问题的思维发散的问题情境，给学生创造了充分的自由想象和思考的空情境，给学生创造了充分的自由想象和思考的空间，学生很自然地就提出了想知道正方形、三角间，学生很自然地就提出了想知道正方形、三角形和圆形三种图形宝宝有多少个的数学问题。形和圆形三种图形宝宝有多少个的数学问题。问题：问题： 当教师提出当教师提出“用什么方法能知道信用什么方法能知道信封里面装的正方形、三角形和圆各有多少个封里面装的正方形、三角形和圆各有多少个”的的问题时，学生立即想到了分类数一数的方法

7、而对问题时，学生立即想到了分类数一数的方法而对于课本上介绍的于课本上介绍的“一个学生报图形名称其余学生一个学生报图形名称其余学生进行记录进行记录”的方法却想不出来。这是因为学生在的方法却想不出来。这是因为学生在一年级上学期已经学习过分类的相关知识，对不一年级上学期已经学习过分类的相关知识，对不同的图形混合在一起，学生可以自发地调动已有同的图形混合在一起，学生可以自发地调动已有的知识和学习经验，产生先分类再分别逐类地数的知识和学习经验，产生先分类再分别逐类地数出个数的意识。由于上面活动牵扯的时间太长，出个数的意识。由于上面活动牵扯的时间太长，教师只得自圆其说。教师只得自圆其说。教师播放课件：三种

8、图形从教师播放课件：三种图形从“图形屋图形屋”里飞出来。里飞出来。师：每种图形各有多少个？你是怎么数出来的？师：每种图形各有多少个？你是怎么数出来的？生生1：正方形有：正方形有5个，圆有个，圆有8个，是在心里数的。个，是在心里数的。生生2：我用纸记录的。：我用纸记录的。师：你为什么用纸记录的？师：你为什么用纸记录的？生生2：我怕数不清楚。：我怕数不清楚。师：他这种方法挺好的，不会数漏数错。我们一师：他这种方法挺好的，不会数漏数错。我们一起用这种方法记一记，好吗？起用这种方法记一记，好吗？【案例案例1：统计方法的优化：统计方法的优化】教师第二次播放课件，学生用纸记录。教师第二次播放课件，学生用纸

9、记录。生生1：生生2： 生生3：三角形、圆、圆、正方形、圆、正方形、正方形、三角形、三角形、三：三角形、圆、圆、正方形、圆、正方形、正方形、三角形、三角形、三角形角形生生4： 丨丨丨丨丨丨丨丨 丨丨丨丨丨丨 丨丨丨丨丨丨师：你认为哪种记录方法慢？师：你认为哪种记录方法慢？生齐答：第三种生齐答：第三种师：在其他方法中，你喜欢哪一种？为什么？师：在其他方法中，你喜欢哪一种？为什么？生生5：我喜欢第二个，因为他排得很整齐，第一种要好长时间才能数出来。：我喜欢第二个，因为他排得很整齐，第一种要好长时间才能数出来。生生6：第一种方法好，老师说一个，他就画一个。：第一种方法好，老师说一个，他就画一个。教师

10、第三次播放，教师故意加快播放速度，教师第三次播放，教师故意加快播放速度，结果只有用生结果只有用生4方法的同学记录了下来。方法的同学记录了下来。师问刚才生师问刚才生1、2，你们觉得自己的方法怎么，你们觉得自己的方法怎么样？样？两生不语。你愿意用生两生不语。你愿意用生4的方法尝试一下吗？的方法尝试一下吗？第四次播放，速度更快，生第四次播放，速度更快，生1和生和生2都记录下都记录下来，他们兴奋地：记下来了。来，他们兴奋地：记下来了。师：如果不是用竖线代表图形，还可以用什师：如果不是用竖线代表图形，还可以用什么来代替？么来代替？生：可以用点点。生：可以用点点。思考：你认为教师怎样让学生体会到统计方思考

11、：你认为教师怎样让学生体会到统计方法的优越性？法的优越性？第第1次播放：学生脑子直观记忆，不容易记准，次播放：学生脑子直观记忆，不容易记准，学生发现脑子硬性记忆的弊端。学生发现脑子硬性记忆的弊端。第第2次播放：学生用笔记录，方法不同：图形次播放：学生用笔记录，方法不同：图形记录、符号记录、简便记录。效果迥异，记录、符号记录、简便记录。效果迥异，有的学生没有完全记录下来。有的学生没有完全记录下来。第第3次播放：学生发现记录的优劣，产生反思，次播放：学生发现记录的优劣，产生反思，调整方法。调整方法。第第4次播放：统一思想、统一方法次播放：统一思想、统一方法教师舍弃了课本上教师舍弃了课本上“情境创设

12、情境创设”、“一人报图形一人报图形名称其他人记录名称其他人记录”等非本质环节，准确把握教学重难等非本质环节，准确把握教学重难点点经历统计方法优化的过程，学生边行边思，经经历统计方法优化的过程，学生边行边思，经历了记录数据方法从无到有、从模糊到清晰、从复杂历了记录数据方法从无到有、从模糊到清晰、从复杂到简捷的数学到简捷的数学“再创造再创造”过程。过程。 把握数学知识的本质是有效进行教材把握数学知识的本质是有效进行教材内容的整合与改造的核心内容的整合与改造的核心【案例案例2：平行四边形面积的导入：平行四边形面积的导入】 导入设计的指导思想：通过创设情境，使学生在解决实际问题中掌握导入设计的指导思想

13、：通过创设情境，使学生在解决实际问题中掌握“转化转化”的数学思想并体会数学的应用价值。的数学思想并体会数学的应用价值。 呈现情境：王奶奶家门前有一块形状如下的地，如何求这块地的面积？呈现情境：王奶奶家门前有一块形状如下的地，如何求这块地的面积？ 没有学生举手。没有学生举手。 师：大家开动小脑筋，仔细观察一下，左边缺一个半圆，右边又多了一个半圆，想师：大家开动小脑筋，仔细观察一下，左边缺一个半圆，右边又多了一个半圆，想想想 办法，移一移，使它变成我们学过的图形容易算？办法，移一移，使它变成我们学过的图形容易算？ 生：老师，我知道了，把右边的半个圆形移到左边那个坑，就是一个长方形了。生：老师，我知

14、道了，把右边的半个圆形移到左边那个坑，就是一个长方形了。 师：哎哟，这孩子真聪明，只要移动一下，就能转化成我们学过的图形。（电脑动师：哎哟，这孩子真聪明，只要移动一下，就能转化成我们学过的图形。（电脑动画画 显示移动过程）显示移动过程） 一生把手举得高高的，老师高兴的说：你还有什么好方法？一生把手举得高高的，老师高兴的说：你还有什么好方法？ 生：老师，这是一块生：老师，这是一块“地地”，您怎么移动啊？怎么，您怎么移动啊？怎么“补补”啊？啊？ 师：这不是真的师：这不是真的“地地”，我们现在是在做，我们现在是在做“数学题数学题” 该生明白了，坐下了。该生明白了，坐下了。李奶奶家门前也有一块地，是这

15、个形状的，怎么求它的面积？李奶奶家门前也有一块地，是这个形状的，怎么求它的面积？没有学生举手，这时，刚才没有学生举手，这时，刚才“找茬找茬”学生举手了，老师万般无奈之下请他回答问题。学生举手了，老师万般无奈之下请他回答问题。生：老师，这块地坑坑洼洼的，您怎么生：老师，这块地坑坑洼洼的，您怎么“补补”啊？啊？老师一听就生气，说道：不是说了吗？这不是真的老师一听就生气，说道：不是说了吗？这不是真的“地地”，我们是在做，我们是在做“数学题数学题”。问题：你怎么看这名“找茬”的学生的疑问？ 假如你正在上课，你怎么处理？第一次第一次“怎么补怎么补”的学生困惑：的学生困惑：没有弄清没有弄清“什么是数学问题

16、？什么是数学问题？”“”“什么是运用数学解决实际问题？什么是运用数学解决实际问题？” 即混淆了即混淆了“数学问题数学问题”与与“实际问题实际问题”生活问题生活问题数学问题数学问题数学方法数学方法转化转化解决解决第二次第二次“怎么补怎么补”的学生困惑：的学生困惑：图形的边界是坑坑洼洼的，没有规则的，用哪图形的边界是坑坑洼洼的，没有规则的，用哪个凸补哪个凹？个凸补哪个凹？ 积分思想积分思想极限思极限思想想研究学生、了解学生是整合和创造教材的保障研究学生、了解学生是整合和创造教材的保障把握数学知识本质把握数学知识本质 +研究学生研究学生 =有效整合与创造教材有效整合与创造教材数学学科本质数学学科本质

17、1.对基本概念的理解对基本概念的理解 主要概念：十进位值制、单位（份）、用字母表示数、四则运算、主要概念：十进位值制、单位（份）、用字母表示数、四则运算、位置、变换、平面图形、统计观念位置、变换、平面图形、统计观念 怎样理解：为什么要学习这一概念？怎样理解：为什么要学习这一概念？ 这一概念的现实原型是什么？这一概念的现实原型是什么？ 这一概念特有的数学内涵、数学符号是这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么？什么？ 能否与其他概念建立能否与其他概念建立“概念网络图概念网络图”案例：乘法的意义、分数意义、方程意义、角的度量案例：乘法的意义、分数意义、方程意义、角的度量【案例案例3：乘法的意义之一：

18、乘法的意义之一】活动活动1：情境中引入乘法：情境中引入乘法师：晚上，小明一家在吃苹果，他们家有爸爸、妈妈、奶奶和小明，每个师：晚上，小明一家在吃苹果，他们家有爸爸、妈妈、奶奶和小明，每个人吃两个苹果，他们一家吃了多少个苹果？（教师板书：爸爸下面贴两人吃两个苹果，他们一家吃了多少个苹果？（教师板书：爸爸下面贴两个苹果的贴画，妈妈、奶奶、小明类同）个苹果的贴画，妈妈、奶奶、小明类同）生生1：用除法。：用除法。生生2：二四得八。：二四得八。师：列式怎么计算？师：列式怎么计算？学生学生3说不清。说不清。生生4：因为有：因为有4个个2，写成，写成42=8生生5：我在外面学过，写乘法时，小（的）数写在前面

19、。：我在外面学过，写乘法时，小（的）数写在前面。师：这就是今天要学习的师：这就是今天要学习的生生6（接着老师的话）：乘法的初步认识。（接着老师的话）：乘法的初步认识。师：（板书：乘法的初步认识，师：（板书：乘法的初步认识，2+2+2+2=8）观察一下，每个加数有什么）观察一下，每个加数有什么特点？特点？生：都是生：都是2。师：每个加数都相同的加法可以用乘法来计算，可以写成师：每个加数都相同的加法可以用乘法来计算，可以写成24=8， “ “ X”叫叫乘号并板书，乘号前、后的数叫因数，记住了吗？再来读一读算式。乘号并板书，乘号前、后的数叫因数，记住了吗？再来读一读算式。（学生再重复一遍（学生再重复

20、一遍“定义定义”并读并读“算式算式”。但不断有学生读做。但不断有学生读做“2乘以乘以4”，教师就不断地纠正为教师就不断地纠正为“2乘乘4”）活动活动2：巩固、强化对：巩固、强化对“乘法意义乘法意义”的理解的理解 要求学生用小棒摆要求学生用小棒摆5个小三角形，并算出用了多少根小棒。（还有学生个小三角形，并算出用了多少根小棒。（还有学生用加法计算）用加法计算）活动活动3：应用：应用“乘法乘法”解决实际问题解决实际问题1买花：玫瑰花买花：玫瑰花10元，合花元，合花8元，文竹元，文竹9元，问一共花了多少元？（元，问一共花了多少元？（10+8+9=27元）元）师：还可以怎么算？能用乘法吗？师：还可以怎么

21、算？能用乘法吗？生：不能，我发现生：不能，我发现“乘法乘法”是每个加数都一样。是每个加数都一样。师：是这样吗？师：是这样吗？生齐答：是生齐答：是2买气球：每个气球买气球：每个气球1元，买元，买12个气球花多少钱？个气球花多少钱？列式：列式： 1+1+1=12（元）与（元）与 12X1=12（元）（元）师：你喜欢哪种列式？为什么？（让学生体会乘法的必要性）师：你喜欢哪种列式？为什么？（让学生体会乘法的必要性）3分糖：分糖：4块块 4块块 4块块 5块块 3块，分了多少糖？怎么算？块，分了多少糖？怎么算？活动活动1：“竞赛竞赛”激发学习愿望激发学习愿望（教师先展示几组小动物们用小棒摆的图形：小鱼、

22、小草、三角形等等。（教师先展示几组小动物们用小棒摆的图形：小鱼、小草、三角形等等。师：听清要求，先在头脑中想好一个图形，在桌子上摆同样的图形，给你们师：听清要求，先在头脑中想好一个图形，在桌子上摆同样的图形，给你们1分分钟时间，看谁摆的个数最多。钟时间，看谁摆的个数最多。（不同学生摆出不同的图形，但仍有个别学生没有按照老师的要求摆同样的图（不同学生摆出不同的图形，但仍有个别学生没有按照老师的要求摆同样的图形）形）师：摆的是什么图形？用了多少根小棒？列式算一算。师：摆的是什么图形？用了多少根小棒？列式算一算。活动活动2：在：在“不平衡不平衡”中引出中引出“乘法乘法”（学生计算）（学生计算）师：你

23、们说我来写。其中有一学生回答：摆的是师：你们说我来写。其中有一学生回答：摆的是“正方形正方形”，用了，用了4+4+4+（学生边说，教师边写，并不断说：你说慢一点说，我跟不上了，胳膊都写酸（学生边说，教师边写，并不断说：你说慢一点说，我跟不上了，胳膊都写酸了。这名学生说的过程中自己不好意思地笑着说：了。这名学生说的过程中自己不好意思地笑着说：“太多了，太多了。太多了，太多了。”）其他学生不耐烦了：别说了，太罗嗦了，你就告诉老师有几个其他学生不耐烦了：别说了，太罗嗦了，你就告诉老师有几个“4”。学生：学生：16个个“4”【案例案例3 3：乘法的意义之二：乘法的意义之二】但老师还是坚持把但老师还是坚

24、持把16个个“4”全加在一起（并一起数是否是全加在一起（并一起数是否是16个），列出式子。个），列出式子。师：这么多的师：这么多的“4”加在一起，太麻烦了，刚才有的同学也不耐烦了。在数学学加在一起，太麻烦了，刚才有的同学也不耐烦了。在数学学习上，我们怕问题、怕麻烦吗？有了问题想办法解决不就行了？习上，我们怕问题、怕麻烦吗？有了问题想办法解决不就行了？师：刚才某某说师：刚才某某说4加加4再加再加4，把我说糊涂了，但她说了一句话我就明白了，把我说糊涂了，但她说了一句话我就明白了，她说什么了？她说什么了？学生：学生：16个个“4”。师：在数学上，用乘法就能解决师：在数学上，用乘法就能解决“几个几是多

25、少的问题几个几是多少的问题”。引出。引出“乘法乘法”，并，并板书：板书：164（读算式，结合具体问题强调每个因数的意义）（读算式，结合具体问题强调每个因数的意义）活动活动3：多样化的巩固练习：多样化的巩固练习师：把刚才大家摆的式子改写成乘法算式。（事实上，有师：把刚才大家摆的式子改写成乘法算式。（事实上，有4名学生一开始名学生一开始直接就用乘法算式写的）直接就用乘法算式写的）这时有一学生这时有一学生1“质问质问”老师：我列的算式老师：我列的算式“9+12”能改写成乘法算式吗能改写成乘法算式吗？生生2：从结果上看不能写成：从结果上看不能写成912。生生3：（指着写这个算式的学生）你说说你是怎么摆

26、出来的？：（指着写这个算式的学生）你说说你是怎么摆出来的？生生1：我摆一个：我摆一个“坦克坦克”用用12根，一个根，一个“小船小船”用用9根。根。生生2：你怎么不听老师的呢？老师不是让摆同样的图形吗？你摆的是同样：你怎么不听老师的呢？老师不是让摆同样的图形吗？你摆的是同样的图形吗？（生的图形吗？（生1心服口服地坐下。）心服口服地坐下。）师：认识乘法了，谁有问题都可以提。师：认识乘法了，谁有问题都可以提。（学生提出一些问题：（学生提出一些问题：416为什么等于为什么等于64？超过？超过10我就不会算了；加法算式能我就不会算了；加法算式能都改写成乘法算式吗？）都改写成乘法算式吗？）师：我有问题，你

27、们看师：我有问题，你们看“ ” ”与与“+”，有关系吗？，有关系吗？生：生：“ ” ”是是“+”的斜着看，都是的斜着看，都是“变多变多”。生生1：能用加法算的不一定能用乘法算，但能用乘法算的一定能用加法算。（师、：能用加法算的不一定能用乘法算，但能用乘法算的一定能用加法算。（师、生不由自主地为他鼓掌）生不由自主地为他鼓掌）（学生还有发现：象加法（学生还有发现：象加法3+2=2+3一样，乘法也有一样，乘法也有14=41；先算乘除后算加减；先算乘除后算加减等。）等。）活动活动4：进一步强化对：进一步强化对“乘法乘法”的认识的认识 在演示文稿上打出两列算式：一列是加法，一列是乘法，在两在演示文稿上打

28、出两列算式：一列是加法，一列是乘法，在两列算式中寻找好朋友。其中，有一式子是列算式中寻找好朋友。其中，有一式子是“8+8”，“88”，显然这两个不是，显然这两个不是“好朋友好朋友”，老师请学生改一改使他们变成好朋友。，老师请学生改一改使他们变成好朋友。 下课后，有一学生继续和老师交流：下课后，有一学生继续和老师交流：“9+12”能把它改写成能把它改写成“乘法乘法”，9是是3个个3，12是是4个个3，能改写为，能改写为37。问题：两个案例的区别在哪里？问题：两个案例的区别在哪里？案例案例3 3之一：例子之一：例子“一家有一家有4 4口人，每人吃口人，每人吃2 2个苹果，一共吃了几个苹果个苹果，一

29、共吃了几个苹果”。 教师要求学生观察教师要求学生观察“2+2+2+2”2+2+2+2”有什么特点。有什么特点。得出结论：加法算式中每个加数都相同，就可以用乘法来表示：得出结论：加法算式中每个加数都相同，就可以用乘法来表示：24=824=8。分析：分析： 这个例子非常简单，学生没有体会到这个例子非常简单，学生没有体会到“乘法乘法”的必要性；另一方面，的必要性；另一方面，关于关于“乘法乘法”的意义是教师告诉学生的（虽然有观察、发现，但这是形式的意义是教师告诉学生的（虽然有观察、发现，但这是形式上的观察与发现），学生就得记住这个上的观察与发现），学生就得记住这个“事实事实”：相同加数相加可以用乘：相

30、同加数相加可以用乘法。为了强化这个法。为了强化这个“事实事实”，教师就需要举大量的例子：买花、买气球、，教师就需要举大量的例子：买花、买气球、分糖等，让学生辨认能否用乘法去计算。这时学生对分糖等，让学生辨认能否用乘法去计算。这时学生对乘法乘法的理解只处的理解只处于于“事实性水平事实性水平”。（一个典型现象是教师五、六次地纠正。（一个典型现象是教师五、六次地纠正“乘乘”、“乘乘以以”）案例案例3 3之二：教师通过自己设计的活动让学生充分感受、体会到引入之二：教师通过自己设计的活动让学生充分感受、体会到引入“乘法乘法”的必要性。让学生通过活动直观感知、体会相同加数连加，一个一个地的必要性。让学生通

31、过活动直观感知、体会相同加数连加，一个一个地写、算太麻烦了。写、算太麻烦了。 在这个活动中，教师有意识的话语与动作起到非常重要的作用：在这个活动中，教师有意识的话语与动作起到非常重要的作用：“慢慢点说，我写的跟不上了点说，我写的跟不上了”、“你们一起说，要不我听不清了你们一起说，要不我听不清了”、“我的胳我的胳膊都写酸了（并做出动作）膊都写酸了（并做出动作）”。迫使学生自己去。迫使学生自己去“发现发现”：不用说几加几：不用说几加几再加几了，太罗嗦了，你就说有几个再加几了，太罗嗦了，你就说有几个44吧？学生自己创造了一种新的运吧？学生自己创造了一种新的运算：算：“几个几相加用乘法几个几相加用乘法

32、”，教师很自然地引入新的乘法运算与符号表示。，教师很自然地引入新的乘法运算与符号表示。分析：分析： 对乘法本质的揭示，不是教师告诉学生的而是学生自己产生的，给予对乘法本质的揭示，不是教师告诉学生的而是学生自己产生的，给予解决矛盾的需要而产生的。这时学生对解决矛盾的需要而产生的。这时学生对“乘法乘法”的理解达到是的理解达到是“概念性水概念性水平平”，是对概念本质的把握，而这种理解与把握不是教师，是对概念本质的把握，而这种理解与把握不是教师“告之告之”的，而的，而是在冲突、心理不舒服（是在冲突、心理不舒服（“太罗嗦了太罗嗦了”）等状态下，迫切需要产生一种新）等状态下，迫切需要产生一种新的运算方法的

33、情况下引入的。的运算方法的情况下引入的。符号的理解符号的理解 教师引导学生从教师引导学生从“符号符号”上直观比较、综合分析上直观比较、综合分析“乘乘法法”与与“加法加法”有什么关系呢？有的学生的有什么关系呢？有的学生的“创造性创造性”再一次显示再一次显示出来：乘号就是加号斜着看，它们有关系，都是出来：乘号就是加号斜着看，它们有关系，都是“变多变多”。甚至有。甚至有学生说：能用乘法算的一定能用加法算，就是太麻烦；用加法算的学生说：能用乘法算的一定能用加法算，就是太麻烦；用加法算的不一定能用乘法，加数必须一样才能用乘法。不一定能用乘法，加数必须一样才能用乘法。 分析：分析： 能够沟通新学习的知识与

34、已经会了的知识之间的本质能够沟通新学习的知识与已经会了的知识之间的本质联系。对乘法的理解达到是联系。对乘法的理解达到是“方法性水平方法性水平” ” 个案的研究个案的研究 “9+12” “9+12”能把它改写成能把它改写成“乘法乘法”，9 9是是3 3个个3 3，1212是是4 4个个3 3，能改写，能改写为为3737。分析：分析： 充分经历教师所设计的一系列活动后，在对充分经历教师所设计的一系列活动后，在对“乘法乘法”有了本质的认识，并对有了本质的认识，并对 “ “乘法乘法”与与“加法加法”的逻辑关系有深刻认的逻辑关系有深刻认识的基础上，创造性地解决了这一难题，他的认知过程不亚于解决识的基础上

35、，创造性地解决了这一难题，他的认知过程不亚于解决“歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想”，是没有教师的引导而自主地创造。乘法的理解，是没有教师的引导而自主地创造。乘法的理解就已经达到就已经达到“主体性水平主体性水平”。 概念的本质理解概念的本质理解事实性水平事实性水平记忆、模仿、提取事实记忆、模仿、提取事实概念性水平概念性水平认知不平衡而产生心理需要，本质理解认知不平衡而产生心理需要，本质理解方法性水平方法性水平沟通新知与原有知识联系与区别沟通新知与原有知识联系与区别主体性水平主体性水平综合运用知识（新旧知识）自主创造、发现综合运用知识（新旧知识）自主创造、发现问题：为什么具有生活原型的概念放在数学书里就

36、变得难以理解？问题：为什么具有生活原型的概念放在数学书里就变得难以理解？ 一方面这是由数学的一方面这是由数学的“学科定义学科定义”导致的，数学的学科定义高导致的，数学的学科定义高度概括、抽象，不符合小学生的思维水平与认知特点；其次是由于教师的不度概括、抽象，不符合小学生的思维水平与认知特点；其次是由于教师的不恰当的教学设计导致的。（例如没有恰当的教学设计导致的。（例如没有“过程过程”的教学，不顾及学生已有的教学，不顾及学生已有“经经验验”和认知发展水平的教学）和认知发展水平的教学）问题：教师不恰当的教学设计是什么问题：教师不恰当的教学设计是什么原因造成的？原因造成的？ 一、是否有追问学科的本质

37、？一、是否有追问学科的本质？ 问题：为什么具有生活原型的概念放在数学书里就变得难以理解？问题：为什么具有生活原型的概念放在数学书里就变得难以理解？ 一方面这是由数学的一方面这是由数学的“学科定义学科定义”导致的，数学的学科定义高度概括、抽象，导致的，数学的学科定义高度概括、抽象，不符不符合小学生的思维水平与认知特点；其次是由于教师的不恰当的教学设计导致的。合小学生的思维水平与认知特点；其次是由于教师的不恰当的教学设计导致的。（例如没有（例如没有“过程过程”的教学，不顾及学生已有的教学，不顾及学生已有“经验经验”和认知发展水平的教学）和认知发展水平的教学）问题：教师不恰当的教学设计是什么问题：教

38、师不恰当的教学设计是什么原因造成的？原因造成的？ 一、是否有追问学科的本质？一、是否有追问学科的本质？ 二、是否真的了解学生？二、是否真的了解学生？ 学生的生活概念是什么？学生的生活概念是什么？ 学生的思维水平与认知特点什么？学生的思维水平与认知特点什么？ 学生已有的知识储备是什么？学生已有的知识储备是什么？ 【案例案例4：分数的意义：分数的意义】分数的符号分数的符号 分数语言分数语言分数理解的两种形式分数理解的两种形式定义入手定义入手:形如形如，a0的数叫做分数。的数叫做分数。动作行为入手：把一个物体或一些物体（即单位动作行为入手：把一个物体或一些物体（即单位“1”）平）平均分成若干份，这样

39、的一份或几份都可以用分数表示。均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数表示。分数的意义（五年级）分数的意义（五年级）1.借助借助“面积面积”的的“部分与整体部分与整体”复习分数。复习分数。（1）用分数表示图中的阴影部分，并说说分）用分数表示图中的阴影部分，并说说分数的意义。数的意义。 （2）归纳：把一个物体平均分成若干份，取）归纳：把一个物体平均分成若干份，取其中一份或几份，用分数表示。其中一份或几份，用分数表示。2.借助借助“集合集合”的的“子集与全集子集与全集”认识分数认识分数（1）呈现）呈现（2）观察：圈住部分的铅笔占全部铅笔的几）观察：圈住部分的铅笔占全部铅笔的几分之几？分之几？（3

40、）新知与复习对比异同，得出平均分的物）新知与复习对比异同，得出平均分的物体不再真正是体不再真正是“1个整体个整体”，而是把几个物，而是把几个物体看做体看做“1个整体个整体”，通常叫做单位，通常叫做单位“1”3.借助借助“数轴数轴”上的点抽象出分数概念。上的点抽象出分数概念。用分数表示直线上的点用分数表示直线上的点分数的意义分数的意义1.一个物体的一个物体的“部分与整体部分与整体”关系关系2.一些物体的一些物体的“子集与全集子集与全集”关系关系3.数轴上的点表示分数的关系数轴上的点表示分数的关系您认为这样的教学有什么好处？您认为这样的教学有什么好处？具体直观具体直观抽象概括，全面、系统地认识分数

41、。抽象概括，全面、系统地认识分数。数学学科本质数学学科本质1.对基本概念的理解对基本概念的理解 主要概念：十进位值制、单位（份）、用字母表示数、四则运算、位置、主要概念：十进位值制、单位（份）、用字母表示数、四则运算、位置、变换、平面图形、统计观念变换、平面图形、统计观念 怎样理解：为什么要学习这一概念？怎样理解：为什么要学习这一概念？ 这一概念的现实原型是什么？这一概念的现实原型是什么？ 这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么？这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么？ 能否与其他概念建立能否与其他概念建立“概念网络图概念网络图”方程的初步认识与代数思维方程的初步认识与代数思维含有未知数含有未

42、知数 x 等式叫方程等式叫方程学习方程的核心意义是渗透方程思想（建模思想、化归思想）学习方程的核心意义是渗透方程思想（建模思想、化归思想）方程学习的难点方程学习的难点1.理解等号的意义理解等号的意义四则运算的等号意义四则运算的等号意义 63+2=18+2=20方程中等号的意义方程中等号的意义 x + 0.5 = 2.5 等号表示计算的结果。等号表示两个等价事件。 x + 0.5 = 2.5 x+0.5=2.5= x+0.5-0.5=2.5-0.5 x=2.5-0.5= x=2 x=2思考：在学生思维中，方程中的等号表示什思考：在学生思维中，方程中的等号表示什么意义？么意义？【案例案例5：方程的

43、意义：方程的意义】1.直接导入，明确等号的作用。直接导入，明确等号的作用。出示等号。师：这是什么符号？出示等号。师：这是什么符号？ 生：等号生：等号师：有什么作用？请举例说明师：有什么作用？请举例说明 生：生：1+2=3师：等号表示计算的结果。师：等号表示计算的结果。1+2还可以等于什么？还可以等于什么？ 生：生：1+2=1+1+1师：多聪明的孩子。师：多聪明的孩子。1+2的结果和的结果和1+1+1的结果相等的结果相等师：等号不仅表示计算结果，还表示等量关系。师：等号不仅表示计算结果，还表示等量关系。设计意图：等号不仅可以表示计算结果，还可以设计意图：等号不仅可以表示计算结果，还可以表示等量关

44、系。表示等量关系。2.借助天平，初识方程的意义。借助天平，初识方程的意义。（1）认识天平。）认识天平。 课件出示天平课件出示天平师：天平指针指着中间表示什么？师：天平指针指着中间表示什么？ 生：左边和右边物体的质量相等生：左边和右边物体的质量相等（2）看图写式，师：你能用数学式子表示这些数量间的关系吗？）看图写式，师：你能用数学式子表示这些数量间的关系吗？A.课件出示图课件出示图1：师：你看到了什么等量关系？师：你看到了什么等量关系？生：一个苹果加一个雪梨的重量等于生：一个苹果加一个雪梨的重量等于3根香蕉的重量根香蕉的重量师：给你一个数量，你能列一个式子吗？师：给你一个数量，你能列一个式子吗？

45、(出示：苹果出示：苹果160克、雪梨克、雪梨200克；每根克；每根香蕉香蕉120克克)生：生：160+200=1203师：等号有表示什么？师：等号有表示什么？生：天平左右两边的重量相等生：天平左右两边的重量相等师：天平左右两边的重量相等，所以用等号连接师：天平左右两边的重量相等，所以用等号连接 B.课件出示图二：师：你看到了什么等量关系？课件出示图二：师：你看到了什么等量关系？出示数量：一个西瓜出示数量：一个西瓜4500克；一个哈密瓜克；一个哈密瓜4000克，一个橙子克，一个橙子300克，一个克，一个雪梨雪梨200克克师：列出式子师：列出式子 生：生：4500=4000+300+200师：有什

46、么特别吗？等号的右边师：有什么特别吗？等号的右边3个数可以吗？个数可以吗？生：可以生：可以小结：不管出现几个数，只要左右两边质量相等就可以用等号。小结：不管出现几个数，只要左右两边质量相等就可以用等号。C.课件出示图三课件出示图三 ：（一：（一个苹果，一个桃子），（三个香蕉）个苹果，一个桃子），（三个香蕉）师：能不能讲出相等关系？师：能不能讲出相等关系？生：一个苹果和一个桃子的重量等于三个香蕉的重量生：一个苹果和一个桃子的重量等于三个香蕉的重量课件出示数量：一个苹果课件出示数量：一个苹果x克，一个桃子克，一个桃子200克；每个香蕉克；每个香蕉120克克师：糟了，不敢列式子了。出现了未知数。师：

47、糟了，不敢列式子了。出现了未知数。生：生：x+200=1203师：师：x+200表示什么？表示什么？师：虽然苹果的重量是未知数，也可以当作已知数。师：虽然苹果的重量是未知数，也可以当作已知数。师：刚才我们表示了左右两边相等的式子，叫等式。师：刚才我们表示了左右两边相等的式子，叫等式。课件同时出示：图课件同时出示：图4： 砝码砝码10、20、50克；方块克；方块25、a、a克。克。图图5： 3个桃子；个桃子；1个桃子、砝码个桃子、砝码100克。克。图图6： 柿子柿子5个；苹果个；苹果4个。个。生独立完成，指名到黑板板演，师巡视生独立完成，指名到黑板板演，师巡视讲评图讲评图4：师：同意吗？有什么特

48、别的地方？师：同意吗？有什么特别的地方？生：未知数在等式的右边生：未知数在等式的右边师：未知数在等号的左边是没有关系，只要找到等量关系就行了。师：未知数在等号的左边是没有关系，只要找到等量关系就行了。 讲评图讲评图5师：桃子不知道，可以用师：桃子不知道，可以用a吗？吗？b呢？呢？师：用什么字母都不重要，只要他们的等量关系相等就可以了。师：用什么字母都不重要，只要他们的等量关系相等就可以了。讲评图讲评图6师：有什么特别的？师：有什么特别的？生：等式两边都出现了未知数生：等式两边都出现了未知数师：师：x表示什么？表示什么？y表示什么？表示什么？生：生：x表示柿子的重量，表示柿子的重量，y表示的重量

49、表示的重量师：两个未知数相同不相同？师：两个未知数相同不相同？生：不相同生：不相同师：表示了什么等量关系？师：表示了什么等量关系？生：生：5个柿子的重量等于个柿子的重量等于4个苹果的重量个苹果的重量板书呈现：板书呈现：（1）160+200=1203（3）x+200=1203（2）4500=4000+300+200（4）10+20+50=25+a+a（5）3a=b+100（6）5x=4yD.小结：小结：观察图观察图1、2：等号右边出现了算式，等号表示天平左右两边物体质量相：等号右边出现了算式，等号表示天平左右两边物体质量相等的关系，即等号的另一个功能是表示等量关系。等的关系，即等号的另一个功能是

50、表示等量关系。观察图观察图36：虽然天平上出现了未知数，但不管未知数在哪边，有多少：虽然天平上出现了未知数，但不管未知数在哪边，有多少个未知数，只要两边相等，就可以用等号连接。个未知数，只要两边相等，就可以用等号连接。3.分析算式：分析算式：（1）相同点：这些算式都有等号，表示天平两边数量相等，数学上称）相同点：这些算式都有等号，表示天平两边数量相等，数学上称这样的式子为等式。这样的式子为等式。（2）不同点：有的含有未知数，有的不含有未知数。）不同点：有的含有未知数，有的不含有未知数。（3）分类：根据异同，请把等式分类。）分类：根据异同，请把等式分类。（4）定义：含有未知数的等式叫方程。）定义

51、：含有未知数的等式叫方程。理解方程是含有未知数的等式，用以表示数量理解方程是含有未知数的等式，用以表示数量间的相等关系。间的相等关系。经历经历“情境描述情境描述语言描述语言描述数学符号描述的数学符号描述的”建模过程。建模过程。方程学习的难点方程学习的难点1.理解等号的意义理解等号的意义2.不愿意用列方程的方法解决问题不愿意用列方程的方法解决问题原因：学生思维主要是算术思维，即运算的原因：学生思维主要是算术思维，即运算的每一步都是具体的数值，未习惯于将未知每一步都是具体的数值，未习惯于将未知数参与到运算中。数参与到运算中。 2.82 + 2 2.82 + 2x = 10.4= 10.4 水果总元

52、数水果总元数 水果总元数水果总元数 字母式表示字母式表示 具体数值表示具体数值表示方程学习的难点方程学习的难点1.理解等号的意义理解等号的意义2.不愿意用列方程的方法解决问题不愿意用列方程的方法解决问题原因原因1：学生思维主要是算术思维，即运算的：学生思维主要是算术思维，即运算的每一步都是具体的数值，未习惯于将未知每一步都是具体的数值，未习惯于将未知数参与到运算中。数参与到运算中。原因原因2：小学阶段问题比较简单，运用算术非：小学阶段问题比较简单，运用算术非常顺利，学生体验不到方程方法的必要性。常顺利，学生体验不到方程方法的必要性。3.学生找不到等量关系。学生找不到等量关系。 练练归纳归纳应用

53、应用例例3您有什么想法？您有什么想法？【案例案例5之一：角的度量之一：角的度量】1、认识量角器、认识量角器师：知道量角要用什么测量工具吗？（生：量角器）师：知道量角要用什么测量工具吗？（生：量角器）师：那现在就让我们拿出量角器，观察量角器上面有什么？看谁的眼睛师：那现在就让我们拿出量角器，观察量角器上面有什么？看谁的眼睛最亮？并把你的发现和同桌小声说一说最亮？并把你的发现和同桌小声说一说 学生小组活动，并汇报。学生小组活动，并汇报。老师用多媒体课件演示，补充并小结归纳：老师用多媒体课件演示，补充并小结归纳： 量角器半圆周上所刻的线就是量角器的刻度线，每量角器半圆周上所刻的线就是量角器的刻度线，

54、每10格上标一个格上标一个数。圆心就是量角器的中心点。外圈刻度（顺时针方向）从数。圆心就是量角器的中心点。外圈刻度（顺时针方向）从0度开始度开始到到180度止，内圆刻度（逆时针方向）也是从度止，内圆刻度（逆时针方向）也是从0度开始到度开始到180度止。再度止。再结合课件展示说出量角器各部分的名称：中心点、结合课件展示说出量角器各部分的名称：中心点、0刻度线、内圈刻刻度线、内圈刻度、外圈刻度、度、外圈刻度、90刻度线等等。并板书：中心点、刻度线等等。并板书：中心点、0刻度线。刻度线。2.2.尝试量角尝试量角 （呈现练习纸，纸上有（呈现练习纸，纸上有4 4个角）师：你们能用量角器量一量个角）师：你

55、们能用量角器量一量1 1的大小吗？的大小吗？ 学生尝试用量角器试着量一量学生尝试用量角器试着量一量1 1，量完后，与同桌交流量法。，量完后，与同桌交流量法。 预设：量角时主要出现的错误有中心与顶点不重合；边线不重合；读错度数预设：量角时主要出现的错误有中心与顶点不重合；边线不重合；读错度数生生1 1：我量的角是：我量的角是120120。生生2 2：肯定不对，：肯定不对，120120是一个钝角，这个角一看就知道是一个锐角，肯定就是错是一个钝角，这个角一看就知道是一个锐角，肯定就是错的。的。师：某某能够从锐角和钝角的意义判断量得对不对，真棒！但是我们观察一下，师：某某能够从锐角和钝角的意义判断量得

56、对不对，真棒！但是我们观察一下，要量角的大小他已想到中心对角的顶点，一条边对要量角的大小他已想到中心对角的顶点，一条边对0 0刻度线，这个思路是正确刻度线，这个思路是正确的，真不简单。角的另一条边对着两个刻度，究竟看哪一圈呢？的，真不简单。角的另一条边对着两个刻度，究竟看哪一圈呢？生生3 3：要看第二圈，要从：要看第二圈，要从0 0开始嘛！开始嘛！师：说得真好！起点师：说得真好！起点0 0刻度线在内圈读内刻度，起点刻度线在内圈读内刻度，起点0 0刻度线在外圈读外圈刻度，刻度线在外圈读外圈刻度，我们要感谢这个同学，他的错误提醒了我们从我们要感谢这个同学，他的错误提醒了我们从0 0开始度量角的度数

57、。开始度量角的度数。3.3.课件演示量角，教师引导学生总结步骤并简单板书关键词。课件演示量角，教师引导学生总结步骤并简单板书关键词。 一放一放 量角器的中心与角的顶点重合；量角器的中心与角的顶点重合； 二移二移 量角器的量角器的0 0刻度线与角的一条边重合；刻度线与角的一条边重合； 三看三看 看角的另一条边所对的量角器的刻度是几，注意看角的另一条边所对的量角器的刻度是几，注意0 0刻度线在内圈读内圈刻度，刻度线在内圈读内圈刻度，0 0刻度线在外圈读外圈刻度。刻度线在外圈读外圈刻度。【设计意图设计意图】本环节通过自主探究认识量角器后再尝试量角，从尝试体验中掌握了本环节通过自主探究认识量角器后再尝

58、试量角，从尝试体验中掌握了量角的方法，而且还成功突破如何选择内外刻度这一难点。叶圣陶先生说：量角的方法，而且还成功突破如何选择内外刻度这一难点。叶圣陶先生说：“教教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。”所以我认为探究体验知识是最好的所以我认为探究体验知识是最好的教育，只有学生真心感悟，亲身经历体验到的东西才能最终沉淀到他们的内心深教育，只有学生真心感悟，亲身经历体验到的东西才能最终沉淀到他们的内心深处。处。【案例案例5 5之二：角的度量方法之二：角的度量方法】1.认识量角器认识量角器师：我们先不去研究到底有多少度，看到这个量角器，这么复杂你有什么问题吗？

59、师：我们先不去研究到底有多少度，看到这个量角器，这么复杂你有什么问题吗？生生1：两圈数字到底看哪圈数字：两圈数字到底看哪圈数字生生2：角是尖尖的直直的，量角器怎么是圆圆的。：角是尖尖的直直的，量角器怎么是圆圆的。师：还有其它问题吗？（学生思考）虽然没有人回答，但大家都在思考师：还有其它问题吗？（学生思考）虽然没有人回答，但大家都在思考生生3：外面一圈是什么用的？：外面一圈是什么用的？生生4：为什么左边是外圈大，右边是内圈大。：为什么左边是外圈大，右边是内圈大。（1）师：我们来讨论第二个同学的问题，量用器是用来量角的，能在量角器上找到角）师：我们来讨论第二个同学的问题，量用器是用来量角的，能在量

60、角器上找到角吗？吗？生：不能，因为那里虽然有一条是直的，但另外一条是弯的。生：不能，因为那里虽然有一条是直的，但另外一条是弯的。师：角是两条射线师：角是两条射线。那量角器上有没有角，角在哪儿？。那量角器上有没有角，角在哪儿？生：这里有一个角，这个角是生：这里有一个角，这个角是90角角师：大家注意这个角的顶点在哪里？这个角的顶点就是量角师：大家注意这个角的顶点在哪里？这个角的顶点就是量角器的中心，这一条边是器的中心，这一条边是0，我们就叫他，我们就叫他0度刻度线。另外一条度刻度线。另外一条呢呢?（90度刻度线）度刻度线） （2）师：在纸量角器上画出一个）师：在纸量角器上画出一个90度的角。想一想

61、，顶点的哪里？画长画短有关系吗？度的角。想一想，顶点的哪里？画长画短有关系吗？ 1234（3）师：在第二个纸量角器上画一个）师：在第二个纸量角器上画一个60度的角。尽可能与同学画得不一样。度的角。尽可能与同学画得不一样。 (展示两个作品展示两个作品左右两边的角）左右两边的角）师：相同的是师：相同的是60度，什么不一样度，什么不一样生生1：位置不一样：位置不一样生生2：边画的地方不同。：边画的地方不同。生生3：边长不同：边长不同生生4：两条边所夹的角的方向不同。：两条边所夹的角的方向不同。师：对，也就是开口方向不同。我们还发现这里是外圈是师：对，也就是开口方向不同。我们还发现这里是外圈是60度，

62、而另一个是度，而另一个是内圈是内圈是60度。度。现在你们知道内圈和外圈有什么用了吗？现在你们知道内圈和外圈有什么用了吗？生：左边就是内圈，右边就读外圈。生：左边就是内圈，右边就读外圈。师：说得直好，其实我们也可以不用去记左边右边，这里有一条师：说得直好，其实我们也可以不用去记左边右边，这里有一条0刻度线。我刻度线。我们知道们知道0就是就是对，就是表示开始，我们只要记住从对，就是表示开始，我们只要记住从0这里开始了。这里开始了。（4）师：在第三个纸量角器上画上一度的角。）师：在第三个纸量角器上画上一度的角。师：太难了是吗？这里有没有标出师：太难了是吗？这里有没有标出1度呢？其实从边开始的一小格就

63、是度呢？其实从边开始的一小格就是1度的角。度的角。师：能找到多少个师：能找到多少个1度多的角？试着画一个度多的角？试着画一个1的角的角师：相互欣赏一下别人的角，你觉得画师：相互欣赏一下别人的角，你觉得画1的角怎么样？的角怎么样？生：太难画了。生：太难画了。生：太窄了。生：太窄了。师：想想看，量角器上有多少个师：想想看，量角器上有多少个1的角？的角？生：生：180个个 师：对，全世界就是这样规定的，把一个半圆平均分成师：对，全世界就是这样规定的，把一个半圆平均分成180份，每一份份，每一份所对应的的角就是所对应的的角就是1的角。的角。（5）师：现在在第四个纸量角器上画一个）师：现在在第四个纸量角

64、器上画一个157度的角。度的角。 展示作品。展示作品。2、运用量角器量角。、运用量角器量角。（1）师：现在，请大家看看真正的量角器，你看到了什么？）师：现在，请大家看看真正的量角器，你看到了什么？生生:0刻度线刻度线生：中心生：中心生：两圈刻度生：两圈刻度师：刚才我们在纸量角器上画了角，现在看到真正的量角器，不画角你就看不到角？师：刚才我们在纸量角器上画了角，现在看到真正的量角器，不画角你就看不到角？ 从量角器上你能看到角吗？从量角器上你能看到角吗？生齐答：能生齐答：能（2）师：有一双数学的眼睛，我们就能在量角器上看到若干个大小不同的角，那么怎）师：有一双数学的眼睛，我们就能在量角器上看到若干

65、个大小不同的角，那么怎么用量角器来量角呢？想一想，试着量出么用量角器来量角呢？想一想，试着量出1是多少度？是多少度？生量，有的说是生量，有的说是130，大部分人说，大部分人说50师：小组交流一下，师：小组交流一下，1怎么量？怎么量？交流后，师：有人说是交流后，师：有人说是130，怎么回事？，怎么回事？一学生到讲台前摆放量角器。师（满意地点点头）：你发现刚才她把量角器一学生到讲台前摆放量角器。师（满意地点点头）：你发现刚才她把量角器放在角上的时候注意了什么？放在角上的时候注意了什么？生生1:1和量角器上的角重合了。和量角器上的角重合了。生生2：角的顶点和量角器的中心点重合。：角的顶点和量角器的中

66、心点重合。生生3:0刻度线与一条边重合。刻度线与一条边重合。生生4：还有一条边和量角器上的边重合。：还有一条边和量角器上的边重合。师：听大家这么一说，我觉得：量角其实就是把量角器上的角和要量的角重师：听大家这么一说，我觉得：量角其实就是把量角器上的角和要量的角重合，一边与合，一边与50刻度线重合，另一边与刻度线重合，另一边与0刻度线重合，这两个重合，应该先刻度线重合，这两个重合，应该先重合哪一个？重合哪一个？生：生：0刻度线刻度线师：刚才有人说师：刚才有人说50，有人说，有人说130，到底是，到底是50还是还是130呢？呢？生：生：50师：为什么是师：为什么是50呢？呢？生：因为从右边的生：因

67、为从右边的0刻度线开始的。刻度线开始的。师：这句话说得多好！师：这句话说得多好！问题问题1：两个教学案例有什么不同？：两个教学案例有什么不同？问题问题2:在实际教学中，你愿意采用哪种？在实际教学中，你愿意采用哪种？产生困惑：产生困惑： 角的度量角的度量一课我的困惑是：它的教学难点是什么？为什么会有这样一课我的困惑是：它的教学难点是什么？为什么会有这样的难点？量角器的结构很复杂。量角之前先要认识量角器，那认识量角器的的难点？量角器的结构很复杂。量角之前先要认识量角器，那认识量角器的什么呢？怎么认识量角器？教学中简要概括出了什么呢？怎么认识量角器？教学中简要概括出了“二合一看二合一看”等要点，为什

68、等要点，为什么学生还是不会量角？么学生还是不会量角？查阅书籍，思考消化：查阅书籍，思考消化： 度量线段与度量角作为以数量来刻画特征是具有一致性。尺子上有刻度，度量线段与度量角作为以数量来刻画特征是具有一致性。尺子上有刻度，从从0 0端点起，到某一个刻度端点之间的长度就是线段的度量，其本质就是尺子端点起，到某一个刻度端点之间的长度就是线段的度量，其本质就是尺子中的线段与要度量的线段完全重合。角的度量本质也是要度量的中的线段与要度量的线段完全重合。角的度量本质也是要度量的“角角”与量与量角器上角器上“标准角标准角”完全重合。但学生理解这两种不同量的度量时其难度不一完全重合。但学生理解这两种不同量的

69、度量时其难度不一样，因为角的大小是一种二维特征，和长度的一维特性有着较大的差异。样，因为角的大小是一种二维特征，和长度的一维特性有着较大的差异。 但是学生拿着量角器手足无措的样子，原来学生找不但是学生拿着量角器手足无措的样子，原来学生找不到量角器的上的到量角器的上的“角角”！学生意识不到在量角器上！学生意识不到在量角器上“描角描角”（描出角（描出角的顶点、两条边）的重要作用，而且学生所使用的量角器千奇百怪，的顶点、两条边）的重要作用，而且学生所使用的量角器千奇百怪，尤其是中部镂空的量角器，很难在其上准确找到尤其是中部镂空的量角器，很难在其上准确找到“角角”，我大胆地想：，我大胆地想：能让学生先

70、在量角器上画角再量角吗？进而，我再追问：量角的本质能让学生先在量角器上画角再量角吗？进而，我再追问：量角的本质是什么？重合。如果学生在量角器上清晰地找到角了，量角的问题就是什么？重合。如果学生在量角器上清晰地找到角了，量角的问题就能迎刃而解。因此，我决定不惜时间让学生在能迎刃而解。因此，我决定不惜时间让学生在“纸上量角器纸上量角器”上画角，上画角，使他们看到量角器上的隐藏使他们看到量角器上的隐藏“角角”。 接着，看到了量角器上的接着，看到了量角器上的“角角”，但不知道，但不知道怎样才能使量角器上的怎样才能使量角器上的“角角”与所度量的角重合。与所度量的角重合。 。“二合一二合一看看”等要诀，看

71、似简洁，颇得要领，其实这是我们成人的偏好，等要诀，看似简洁，颇得要领，其实这是我们成人的偏好，对孩子来说却是不得要领的，要孩子们想象出这四个字背后的对孩子来说却是不得要领的，要孩子们想象出这四个字背后的内涵是挺难的。因为孩子们是以形象思维为主，老师抽象概括内涵是挺难的。因为孩子们是以形象思维为主，老师抽象概括出的词语反而增加学习的难度，老师附加的认知负荷挤占和压出的词语反而增加学习的难度，老师附加的认知负荷挤占和压缩了学生生成的认知负荷。只有能让学生整体把握量角与其他缩了学生生成的认知负荷。只有能让学生整体把握量角与其他度量方法本质一样，即度量方法本质一样，即“量角就是把量角器上的角重叠在要量

72、量角就是把量角器上的角重叠在要量的角上的角上”，才能为学生的量角操作提供表象支持！，才能为学生的量角操作提供表象支持！聆听了教师的思考笔记，您有什么想说的？聆听了教师的思考笔记，您有什么想说的？技能的背后是对数学概念的理解技能的背后是对数学概念的理解技能是按照某种步骤或程序进行的操作活动或内部思维活动，技技能是按照某种步骤或程序进行的操作活动或内部思维活动，技能可以分为操作技能和认知技能（思维技能）。数学基本技能都离不能可以分为操作技能和认知技能（思维技能）。数学基本技能都离不开思维的参与，一旦有思维的参与掌握技能就不能单纯地依靠模仿、开思维的参与，一旦有思维的参与掌握技能就不能单纯地依靠模仿

73、、练习和背诵。像练习和背诵。像“角的度量角的度量”这样的操作技能背后都以理解相关这样的操作技能背后都以理解相关“核核心概念心概念”为支撑点，把度量的方法与为什么这样度量的道理融合在一为支撑点，把度量的方法与为什么这样度量的道理融合在一起。起。数学学科本质数学学科本质1.对基本概念的理解对基本概念的理解 主要概念：十进位值制、单位（份）、用字母表示数、四则运算、主要概念：十进位值制、单位（份）、用字母表示数、四则运算、位置、变换、平面图形、统计观念位置、变换、平面图形、统计观念2.对数学思想方法的把握对数学思想方法的把握 重要思想方法：重要思想方法： 分类思想、转化思想、数形结合思想、一一对应思

74、想、函数思想、分类思想、转化思想、数形结合思想、一一对应思想、函数思想、 方程思想、集合思想、符号化思想、类比法、不完全归纳法方程思想、集合思想、符号化思想、类比法、不完全归纳法 数形结合思想数形结合思想 “ “数数”与与“形形”是数学研究的两个基本对象，利用是数学研究的两个基本对象，利用“数形数形结合结合”方法能使方法能使“数数”与与“形形”统一起来，借助于统一起来，借助于“形形”的直观来理的直观来理解抽象的解抽象的“数数”，运用，运用“数数”与与“式式”来细致入微地刻画来细致入微地刻画“形形”的特的特征，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利有效解决问题征，直观与抽象相互配合，取长补短，从

75、而顺利有效解决问题“数形结合数形结合”思想在小学数学教学中的渗透思想在小学数学教学中的渗透1.利用利用“数尺数尺”“”“数线数线”或或“数轴数轴”感知感知“数数与形与形”的结合。的结合。数，有规律、有方向地排列。将数与点建立一一对应关系。数，有规律、有方向地排列。将数与点建立一一对应关系。加法，在数轴上继续向右数，或看作向右平移若干个单位。加法，在数轴上继续向右数，或看作向右平移若干个单位。减法，在数轴上先找到被减数，再向左数，或者看作向左平移若干个减法，在数轴上先找到被减数，再向左数，或者看作向左平移若干个单位。单位。乘法，在数轴上几个几个地向右数。乘法，在数轴上几个几个地向右数。除法，在数

76、轴上先找到被除数，然后向左几个几个地数，恰好数到除法，在数轴上先找到被除数，然后向左几个几个地数，恰好数到0，就是除尽，数了几次，商就是几，当不能恰好数到就是除尽，数了几次，商就是几，当不能恰好数到0，就产生，就产生“余数余数”，数轴是理解，数轴是理解“有余数除法有余数除法”的形象化载体。的形象化载体。【案例案例6：20及及20以内数的认识以内数的认识】1.数出数出10根小棒，扎成一捆当做根小棒，扎成一捆当做“1个十个十”。 2.摆出摆出1捆和捆和2根小棒，说说表示数字根小棒，说说表示数字“几几” 10 10个一个一 1 1个十个十1 21 23.看小棒图说出看小棒图说出12是怎样组成的。是怎

77、样组成的。 1 2 1 2 1 1个十个十 2 2个一个一4.4.呈现计数器，明确计数器右边起第呈现计数器，明确计数器右边起第1 1位是个位，第二位是十位。数位是个位，第二位是十位。数“12”12”怎样在计数器上表示？为什么可以这样表示？怎样在计数器上表示？为什么可以这样表示？ 1 21 25.用小棒摆出用小棒摆出11，在计数器上拔出，在计数器上拔出11，然后写出，然后写出11。设问：数设问：数“11”有两个有两个1，表示的意义一样吗？为什么？，表示的意义一样吗？为什么？ 6.6.计数器拨珠，计数器拨珠，1919再添上再添上1 1颗珠子是多少？怎样拨珠？怎样写？颗珠子是多少？怎样拨珠？怎样写？

78、 数数2020怎样用小棒表示？它是由什么组成的？在计数器上怎样拨珠？怎样用小棒表示？它是由什么组成的？在计数器上怎样拨珠？“数形结合数形结合”思想在小学数学教学中的渗透思想在小学数学教学中的渗透1.利用利用“数尺数尺”“”“数线数线”或或“数轴数轴”感知感知“数数与形与形”的结合。的结合。2.借助线段图直观形象地理解抽象的数量关系。借助线段图直观形象地理解抽象的数量关系。题目：去年小东和小丽还一样高，今年小东长了题目：去年小东和小丽还一样高，今年小东长了1515厘米，小丽长了厘米，小丽长了7 7厘米，现在小东比小丽高厘米，现在小东比小丽高1/201/20。今年小丽身高多少厘米？。今年小丽身高多

79、少厘米？将复杂的解题过程化繁为简，较好地帮助学生理清数量之间的将复杂的解题过程化繁为简，较好地帮助学生理清数量之间的关系，进一步明确和拓宽解题思路。关系，进一步明确和拓宽解题思路。“数形结合数形结合”思想在小学数学教学中的渗透思想在小学数学教学中的渗透1.利用利用“数尺数尺”“”“数线数线”或或“数轴数轴”感知感知“数数与形与形”的结合。的结合。2.借助线段图直观形象地理解抽象的数量关系。借助线段图直观形象地理解抽象的数量关系。3.借助于借助于“面积模型面积模型”理解分数及其运算，理解分数及其运算，“数数”与与“形形”的再一次结合。的再一次结合。“数形结合数形结合”思想在小学数学教学中的渗透思

80、想在小学数学教学中的渗透1.利用利用“数尺数尺”“”“数线数线”或或“数轴数轴”感知感知“数数与形与形”的结合。的结合。2.借助线段图直观形象地理解抽象的数量关系。借助线段图直观形象地理解抽象的数量关系。3.借助于借助于“面积模型面积模型”理解分数及其运算，理解分数及其运算，“数数”与与“形形”的再一次结合。的再一次结合。4.渗透渗透“直角坐标直角坐标”思想，初步感知函数关系思想，初步感知函数关系与图像的结合。与图像的结合。研究教材研究教材把握数学学科本质把握数学学科本质寻根问源，准确抓住数学知识寻根问源，准确抓住数学知识本质。本质。形成以概念为核心的数学技能。形成以概念为核心的数学技能。渗透

81、数学思想方法。渗透数学思想方法。研究学生研究学生【案例案例7：算法多样化的苦恼：算法多样化的苦恼】一、背景介绍一、背景介绍 开学初，我们班转进一位名叫王虎的学生，一段时间的学开学初，我们班转进一位名叫王虎的学生，一段时间的学习下来，我认为他在数学学习上的问题主要表现在学习习下来，我认为他在数学学习上的问题主要表现在学习“两位数与一两位数与一位数相加（进位）、两位数减一位数（退位）的口算加减法位数相加（进位）、两位数减一位数（退位）的口算加减法”这部分这部分内容，主要症状：速度慢，处于班级最后，经常出现错误，错误率居内容，主要症状：速度慢，处于班级最后，经常出现错误，错误率居于班级上游，似乎是一

82、个于班级上游，似乎是一个“计算学困生计算学困生”。众所周知，计算是学好数。众所周知，计算是学好数学的基础，一年级的孩子计算能力如此弱，学好数学就比较困难了，学的基础，一年级的孩子计算能力如此弱，学好数学就比较困难了，我不免着急担忧起来。我不免着急担忧起来。 二、过程观察与谈话：二、过程观察与谈话： 那天我把他叫到办公室，原因是他在课堂上算那天我把他叫到办公室，原因是他在课堂上算10题错题错了了6题，于是我静静地侯在一旁看他如何做题：题，于是我静静地侯在一旁看他如何做题： 31-764-4082-983-692-847-9 他在完成他在完成“64-40，47-9，82-9”时，能正确解答，速度适

83、时，能正确解答，速度适中。在完成其他题时，速度稍慢，犹豫了近中。在完成其他题时，速度稍慢，犹豫了近10秒才写下一个答案，而且秒才写下一个答案，而且“83-6”还算错了。于是我让他说说每道题的计算过程，可是在他吞吞还算错了。于是我让他说说每道题的计算过程，可是在他吞吞吐吐的叙述中，我诧异了。我从来没有想过，一个成人看似简单的口算，吐吐的叙述中，我诧异了。我从来没有想过，一个成人看似简单的口算，在孩子的面前竟然运用了那么多不同的方法：在孩子的面前竟然运用了那么多不同的方法：【案例案例7：算法多样化的苦恼：算法多样化的苦恼】47-947-10=3737+1=38方法方法A83-613-6=770+7

84、=7731-731-10=2121+3=24方法方法B92-892-2=9090-6=84方法方法C 为什么他面对不同的试题采用不一样的方法？小虎休息了一会后，我让他为什么他面对不同的试题采用不一样的方法？小虎休息了一会后，我让他再把这再把这1010道题的口算过程重述一遍。这次，除了道题的口算过程重述一遍。这次，除了“减减9”9”的口算题仍用的口算题仍用“减减1010加加1”1”的方法外，其他题目的口算法又发生了变化。好像一个练武者学了许多杂七的方法外，其他题目的口算法又发生了变化。好像一个练武者学了许多杂七杂八的招式，对方一个招式打来，他想了好久才从记忆库中提取一招胡乱应对，杂八的招式，对方

85、一个招式打来，他想了好久才从记忆库中提取一招胡乱应对，而因为犹豫，越慢越紧张，往往导致失败。面对这一情况，我和小虎有了下面而因为犹豫，越慢越紧张，往往导致失败。面对这一情况，我和小虎有了下面的一段对话：的一段对话：“小虎，这么多的口算方法是自己想出来的吗？小虎，这么多的口算方法是自己想出来的吗？” “减减9 9加几加几”的口算方法是自己想出来的，其他都是爷爷、妈妈想出来的。的口算方法是自己想出来的，其他都是爷爷、妈妈想出来的。”“真棒，想出这么多的口算方法。真棒，想出这么多的口算方法。” “ “还有好多种口算方法呢，就是想不起来了。还有好多种口算方法呢，就是想不起来了。”“那么多口算方法，难道

86、老师都要求同学掌握了吗？那么多口算方法，难道老师都要求同学掌握了吗？”“老师没说，老师随便我们选用那种方法。老师没说，老师随便我们选用那种方法。”“小虎，你比较喜欢那种方法？小虎，你比较喜欢那种方法？”“我也不知道。我也不知道。”听了小虎的话，我黯然了。听了小虎的话，我黯然了。 随着新课程的不断推进，老师们的教学观念在逐渐的随着新课程的不断推进，老师们的教学观念在逐渐的转变，教学行为在不断改善，在转变，教学行为在不断改善，在“计算领域计算领域”，按照新课程的标准，按照新课程的标准，老师鼓励学生阐述自己富有个性的算法，追求算法多样化；老师们不老师鼓励学生阐述自己富有个性的算法，追求算法多样化；老

87、师们不要求学生把各种算法都学会，允许学生选择自己喜欢的方法算。然而，要求学生把各种算法都学会，允许学生选择自己喜欢的方法算。然而，老师们没有想到的是，像小虎这样学习能力弱的孩子，他们面对众多老师们没有想到的是，像小虎这样学习能力弱的孩子，他们面对众多的，眼花缭乱的方法，头脑被搅乱了，反映出来的心理状态是茫然的、的，眼花缭乱的方法，头脑被搅乱了，反映出来的心理状态是茫然的、无所适从。无所适从。 三、制定指导计划并实施三、制定指导计划并实施 找到了小虎找到了小虎“计算能力弱计算能力弱”的症状，我开始了训练计划。的症状，我开始了训练计划。 1.了解他所掌握的算法；了解他所掌握的算法；2.帮助他选择合

88、适的算法。帮助他选择合适的算法。 我出了三道题我出了三道题62-8，74-4，52-6，让小虎边算边说口算方法，让小虎边算边说口算方法，每一题尽可能说两种，并让他在容易算的方法上打每一题尽可能说两种，并让他在容易算的方法上打“”“”。后两题他都选。后两题他都选择了类似择了类似B的方法（拆被减数），我似乎摸到了他喜欢的方法，于是加强的方法（拆被减数），我似乎摸到了他喜欢的方法，于是加强语气肯定了他的选择。然后又出了一组题，对他进行了针对性的练习：语气肯定了他的选择。然后又出了一组题，对他进行了针对性的练习： 18-9+2017-9+3016-9+8017-8+1016-8+4016-7+2015

89、-7+8014-7+4018-8+60 小虎做这些题，速度并不快，主要在于小虎做这些题，速度并不快，主要在于20以内两位数减（退位）以内两位数减（退位）不熟练，不熟练， 看来要重点补漏，这组题训练之后，小虎又练习了看来要重点补漏，这组题训练之后，小虎又练习了3题题“63-8，95-7，42-6”，这时，他主动选择了，这时，他主动选择了B的方法。我和小虎一起分析了这种算法的特点，的方法。我和小虎一起分析了这种算法的特点，得出要用好这种方法，关键是熟练掌握得出要用好这种方法，关键是熟练掌握20以内的退位减法的结论，并约定每天以内的退位减法的结论，并约定每天花花10分钟进行练习。分钟进行练习。 一开

90、始练习时，我一般先让他练一开始练习时，我一般先让他练20以内的加减法，再练以内的加减法，再练100以以内的。练习的进程并不是一帆风顺的，小虎有内的。练习的进程并不是一帆风顺的，小虎有“今天头晕，想不出来答案今天头晕，想不出来答案”的的推托，也有推托，也有“我我 要画画呢，来不及练要画画呢，来不及练”的懒惰。可是每逢这时，我便以的懒惰。可是每逢这时，我便以“晚上一个人睡觉都晚上一个人睡觉都不怕，还怕这些算术题不怕，还怕这些算术题”、“今天的速度比昨天提高了三秒今天的速度比昨天提高了三秒”的语言来激励他的语言来激励他的斗志，以的斗志，以“抽数字卡片组成算式抽数字卡片组成算式”等游戏提高他的兴致等游戏提高他的兴致“世上无难事，只世上无难事，只怕有心人怕有心人”，在连续两个星期的坚持中，小虎的计算能力逐步加强，正确率、，在连续两个星期的坚持中，小虎的计算能力逐步加强，正确率、速度有了质的飞跃，达到了班内中等水平，在数学课堂上露出了自信的微笑。速度有了质的飞跃，达到了班内中等水平，在数学课堂上露出了自信的微笑。上述案例，您有什么想法？上述案例，您有什么想法？把握数学知识本质把握数学知识本质有效整合教材有效整合教材创造性地使用教材创造性地使用教材研究学生研究学生