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1、学习必备精品知识点高等数学上册复习要点一、 函数与极限(一) 函数1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);2、 反函数、复合函数、函数的运算;3、 初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数;4、 函数的连续性与间断点;函数)(xf在0x连续)()(lim00xfxfxx第一类:左右极限均存在. 间断点可去间断点、跳跃间断点第二类:左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论 . (二) 极限1、定义1)数列极限axNnNaxnnn, 0lim2)函数极限AxfxxxAxf
2、xx)(0,0, 0)(lim00时,当左极限:)(lim)(00xfxfxx右极限:)(lim)(00xfxfxx)()()(lim000xfxfAxfxx存在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页学习必备精品知识点2、极限存在准则1)夹逼准则:1))(0nnzxynnn2)azynnnnlimlimaxnnlim2)单调有界准则:单调有界数列必有极限. 3、无穷小(大)量1)定义:若0lim则称为无穷小量;若lim则称为无穷大量 . 2)无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th1 )(o; Th
3、2 limlimlim,存在,则(无穷小代换)4、求极限的方法1)单调有界准则;2)夹逼准则;3)极限运算准则及函数连续性;4)两个重要极限:a)1sinlim0xxxb) exxxxxx)11(lim)1(lim105)无穷小代换:(0x)a)xxxxxarctanarcsintansinb)221cos1xxc)xex1(axaxln1)d)xx )1ln((axxaln)1 (log)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页学习必备精品知识点e)xx1)1(二、 导数与微分(一) 导数1、定义:000)()(lim)
4、(0xxxfxfxfxx左导数:000)()(lim)(0xxxfxfxfxx右导数:000)()(lim)(0xxxfxfxfxx函数)(xf在0x点可导)()(00xfxf2、几何意义:)(0xf为曲线)(xfy在点)(,00xfx处的切线的斜率 . 3、可导与连续的关系:4、求导的方法1) 导数定义;2) 基本公式;3) 四则运算;4) 复合函数求导(链式法则) ;5) 隐函数求导数;6) 参数方程求导;7) 对数求导法 . 5、高阶导数1)定义:dxdydxddxyd22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页学习
5、必备精品知识点2)Leibniz 公式:nkknkknnvuCuv0)()()((二) 微分1) 定义:)()()(00xoxAxfxxfy,其中A与x无关. 2) 可微与可导的关系:可微可导,且dxxfxxfdy)()(00三、 微分中值定理与导数的应用(一) 中值定理1、 Rolle 罗尔定理:若函数)(xf满足:1),)(baCxf;2)),()(baDxf;3))()(bfaf;则0)(),(fba使. 2、 Lagrange 拉格朗日中值定理:若函数)(xf满足:1),)(baCxf;2)),()(baDxf;则)()()(),(abfafbfba使. 3、 Cauchy 柯西中值定
6、理:若函数)(),(xFxf满足:1),)(),(baCxFxf;2)),()(),(baDxFxf; 3)),(,0)(baxxF则)()()()()()(),(FfaFbFafbfba使(二) 洛必达法则(三) Taylor 公式(四) 单调性及极值1、单调性判别法:,)(baCxf,),()(baDxf,则若0)(xf,则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页学习必备精品知识点)(xf单调增加;则若0)(xf,则)(xf单调减少 . 2、极值及其判定定理:a)必要条件:)(xf在0x可导,若0x为)(xf的极值点,
7、则0)(0xf. b) 第一充分条件:)(xf在0x的邻域内可导, 且0)(0xf,则若当0xx时,0)(xf,当0xx时,0)(xf,则0x为极大值点;若当0xx时,0)(xf,当0xx时,0)(xf,则0x为极小值点;若在0x的两侧)(xf不变号,则0x不是极值点 . c)第二充分条件:)(xf在0x处二阶可导,且0)(0xf,0)(0xf,则若0)(0xf,则0x为极大值点;若0)(0xf,则0x为极小值点 . 3、凹凸性及其判断,拐点1))(xf在区间I上连续,若2)()()2(,212121xfxfxxfIxx,则称)(xf在区间I上的图形是凹的;若2)()()2(,212121xf
8、xfxxfIxx, 则称)(xf在区间I上的图形是凸的 . 2)判定定理:)(xf在,ba上连续,在),(ba上有一阶、二阶导数,则a) 若0)(),(xfbax,则)(xf在,ba上的图形是凹的;b) 若0)(),(xfbax,则)(xf在,ba上的图形是凸的 . 3)拐点:设)(xfy在区间I上连续,0x是)(xf的内点,如果曲线)(xfy经过点)(,(00xfx时,曲线的凹凸性改变了, 则称点)(,(00xfx为曲线的拐点 . (五) 不等式证明1、利用微分中值定理;2、利用函数单调性;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,
9、共 8 页学习必备精品知识点3、利用极值(最值) . (六) 方程根的讨论1、连续函数的介值定理;2、Rolle 定理;3、函数的单调性;4、极值、最值;5、凹凸性 . (七) 渐近线1、 铅直渐近线:)(limxfax,则ax为一条铅直渐近线;2、 水平渐近线:bxfx)(lim,则by为一条水平渐近线;四、 不定积分(一) 概念和性质1、原函数:在区间I上,若函数)(xF可导,且)()(xfxF,则)(xF称为)(xf的一个原函数 . 2、不定积分:在区间I上,函数)(xf的带有任意常数的原函数称为)(xf在区间I上的不定积分 . 3、基本积分表( P188,13 个公式);4、性质(线性
10、性) . (二) 换元积分法1、 第一类换元法(凑微分) :)()(d)()(xuduufxxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页学习必备精品知识点2、 第 二 类 换 元 法 ( 变 量 代 换 : 三 角 代 换 、 倒 代 换 、 根 式 代 换等 ) :)(1d)()()(xttttfdxxf(三) 分部积分法:vduuvudv(反对幂指三,前U 后 V )(四) 有理函数积分1、 “拆”;2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等). 五、 定积分(一) 概念与性质:1、定义:niiibaxfdxxf10
11、)(lim)(2、性质: (7 条)性质 7 (积分中值定理)函数)(xf在区间,ba上连续,则,ba,使)()(abfdxxfba(平均值:abdxxffba)()()(二) 微积分基本公式( NL 公式)1、变上限积分:设xadttfx)()(,则)()(xfx推广:)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx2、NL 公式:若)(xF为)(xf的一个原函数, 则)()()(aFbFdxxfba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页学习必备精品知识点(三) 换元法和分部积分1、换元法:tttfdxxfbad)()()(2、分部积分法:bababavduuvudv(四) 反常积分1、无穷积分:tatadxxfdxxf)(lim)(bttbdxxfdxxf)(lim)(00)()()(dxxfdxxfdxxf2、瑕积分:btatbadxxfdxxf)(lim)((a 为瑕点)tabtbadxxfdxxf)(lim)((b为瑕点)两个重要的反常积分:1) 1,11,d1ppapxxpap2)1,1,1)()(d)(d1qqqabxbxaxxqbaqbaq精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页