2022年二项式定理典型例题

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1、学习必备欢迎下载高考数学专题复习二项式定理练习题1. 在二项式nxx421的展开式中， 前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项分析： 本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决解： 二项式的展开式的通项公式为：4324121C21)(CrnrrnrrnrnrxxxT前三项的.2,1 ,0r得系数为：)1(8141C,2121C, 123121nntnttnn，由已知：)1(8112312nnnttt，8n通项公式为1431681,82, 1 ,021CrrrrrTrxT为有理项，故r316是 4 的倍数，.8 ,4 ,0r依次得到有理项为228889448

2、541256121C,83521C,xxTxxTxT说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项 类似地，1003)32(的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值， 得到共有系数和为n32.（1）求103)1()1 (xx展开式中5x的系数；（2）求6)21(xx展开式中的常数项分析： 本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式解： （1）103)1 ()1(xx展开式中的5x可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1 (x展开式中的常数项乘以10)1(

3、x展开式中的5x项，可以得到5510Cx；用3)1(x展开式中的一次项乘以10)1 (x展开式中的4x项可得到54104410C3)C)(3(xxx；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载用3)1 (x中的2x乘以10)1(x展开式中的3x可得到531033102C3C3xxx； 用3)1 (x中的3x项乘以10)1(x展开式中的2x项可得到521022103CC3xxx，合并同类项得5x项为：5521031041051063)CC3CC(xx（2）2121xxxx1251)21(xxxx由121xx展

4、开式的通项公式rrrrrrxxT61212121C1)2(C，可得展开式的常数项为924C612说明： 问题（ 2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决3. 求62)1(xx展开式中5x的系数分析：62)1(xx不是二项式，我们可以通过22)1(1xxxx或)(12xx把它看成二项式展开解： 方法一：6262)1()1(xxxx44256)1(15)1(6)1 (xxxxx其中含5x的项为55145355566C15C6Cxxxx含5x项的系数为6方法二：6262)(1)1(xxxx62524232222)()(6)(15)(20)(15

5、)(61xxxxxxxxxxxx其中含5x的项为555566)4(15)3(20xxxx5x项的系数为6方法 3：本题还可通过把62)1(xx看成 6 个21xx相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x项可由下列几种可能得到5 个因式中取x，一个取1 得到556C x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载3 个因式中取x，一个取2x，两个取1 得到)(CC231336xx1 个因式中取x，两个取2x，三个取1 得到222516)(CCxx合并同类项为5525161336566)CCCC(Cxx，

6、5x项的系数为64.求证： （ 1）1212CC2Cnnnnnnn；（2）)12(11C11C31C21C1210nnnnnnnn分析： 二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值解决这两个小题的关键是通过组合数公式将 等 式 左 边 各 项 变 化 的 等 数 固 定 下 来 ， 从 而 使 用 二 项 式 系 数 性 质nnnnnn2CCCC210解： （1）11C)!()!1()!1()!()!1(!)!( !Cknknnknknnknknknknkk左边111101CCCnnnnnnn11111012)CCC(nnnn

7、nnn右边（2）)!()!1(!)!( !11C11knknknknkkkn11C11)!()!1()!1(11knnknknn左边112111C11C11C11nnnnnnn)12(11)CC(C111112111nnnnnnn右边说明： 本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解 此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理 才 能 完 成 ， 所以 需 仔细 观 察 ，我 们 可 以 看 下面 的 例 子： 求10C2C2C2C22108107910810109的 结 果 仔 细 观 察 可 以 发 现 该 组 合 数 的 式

8、 与10)21(的展开式接近，但要注意：10101099102210110010102C2C2C2CC)21 (10101091092102C2C2C21021)C2C2C210(21101099108210精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载从而可以得到：)13(21C2C2C210101010991082105.利用二项式定理证明：98322nn是 64 的倍数分析： 64 是 8 的平方，问题相当于证明98322nn是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93nnn，将其展

9、开后各项含有k8，与28的倍数联系起来解： 98322nn98)18(98911nnnn9818C8C8C81211111nnnnnnnn981)1(88C8C8211111nnnnnnn2111118C8C8nnnnn64)C8C8(112111nnnnn是 64 的倍数说明： 利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数8.若将10)(zyx展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（） A11B33C55D66 分析：10)(zyx看作二项式10)(zyx展开解： 我们把zyx看成zyx)(，按二项式展开，共有11“项” ，即100101

10、01010)()()(kkkkzyxCzyxzyx这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式kyx10)(展开，不同的乘积kkkzyxC1010)(（10,1,0k）展开后，都不会出现同类项下面，再分别考虑每一个乘积kkkzyxC1010)(（10,1,0k） 其中每一个乘积展开后的项数由kyx10)(决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项故原式展开后的总项数为66191011，应选 D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载9.若nxx21的展开式的常数项为20，求n分

11、析：题中0x，当0x时 ，把三项式nxx21转化为nnxxxx2121； 当0x时，同理nnnxxxx21)1(21 然后写出通项，令含x的幂指数为零，进而解出n解： 当0x时nnxxxx2121，其通项为rnrnrrrnrnrxCxxCT222221)()1()1()(，令022rn，得rn，展开式的常数项为nnnC2)1(；当0x时，nnnxxxx21)1(21，同理可得，展开式的常数项为nnnC2) 1(无论哪一种情况，常数项均为nnnC2) 1(令20)1(2nnnC，以,3,2,1n，逐个代入，得3n10.1031xx的展开式的第3 项小于第4 项，则x的取值范围是 _分析： 首先运

12、用通项公式写出展开式的第3 项和第 4 项，再根据题设列出不等式即可解： 使1031xx有意义，必须0x；依题意，有43TT，即3373102382101)(1)(xxCxxC31123891012910xx（0x） 解得5648980x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载x的取值范围是5648980xx应填：5648980x11.已知nxx) 1(2log的展开式中有连续三项的系数之比为321，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x的值解 ： 设 连 续 三 项 是 第k、1k、2k项

13、（Nk且1k）， 则 有32111knknknCCC，即321!)1)(1(!)(! )1)(1(!knknknknknkn321)1(1)(1)1)(1kkknkknkn32)() 1(21132)()1(21)1)()(knkknkknkkkknknknk14n，5k所求连续三项为第5、6、7三项又由已知，1122log1314xxC即82logxx两边取以2为底的对数，3)(log22x，3log2x，32x，或32x说明： 当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解12.nx)21(的展开式中第6项与第7项的系数相等，

14、求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项分析： 根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性；确定二项式系数最大的项解：556)2( xCTn，667)2( xCTn，依题意有8226655nCCnn8)21(x的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(xxCT设第1r项系数最大，则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载65222211881188rCCCCrrrrrrrr5r或6r（8,2,1,0r） 系娄最大的项为：561792xT，671792xT说明： (1)求二项式系数最大的项，根

15、据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得13.设nmxxxf)1()1()(Nnm,)，若其展开式中关于x的一次项的系数和为11，问nm ,为何值时，含2x项的系数取最小值？并求这个最小值分析： 根据已知条件得到2x的系数关于n的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题解：1111mnCCnm211)(21222222nmnnmmCCnm499)211(55112211022nnnmnNn，5n或6，6m或5时，2

16、x项系数最小，最小值为25说明： 二次函数499)211(2xy的对称轴方程为211x，即5.5x，由于5、6距5 .5等距离， 且对Nn，5、6距5. 5最近，所以499)211(2n的最小值在5n或6n处取得14.若0166777)13(axaxaxax，求(1) 721aaa；(2) 7531aaaa； (3) 6420aaaa解： (1)令0x，则10a，令1x，则128270167aaaa129721aaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载(2)令1x，则701234567)4(aaaaa

17、aaa由2得：825641282177531）（aaaa(3)由2得：6420aaaa210123456701234567）（）（aaaaaaaaaaaaaaaa8128)4(128217说明： （1）本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法这是一种重要的方法，它适用于恒等式(2)一般地，对于多项式nnnxaxaxaaqpxxg2210)()(，)(xg的各项的系数和为)1(g：)(xg的奇数项的系数和为)1() 1(21gg)(xg的偶数项的系数和为)1() 1(21gg18.在52)23(xx的展开式中x的系数为（） A160B240C 360D 800 分析： 本题考查二项式定理的通项公

18、式的运用应想办法将三项式转化为二项式求解解法 1：由52522)3()23(xxxx，得kkkkxxCT2)3(5251kkkxxC525)3(2再一次使用通项公式得，rkrrkkkrxCCT21055132，这里50k，kr50令1210rk，即92rk所以1r，4k，由此得到x的系数为24032445C解法 2：由5552)2()1()23(xxxx，知5)1(x的展开式中x的系数为45C，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载常数项为1，5)2(x的展开式中x的系数为4452C，常数项为52因此原

19、式中x的系数为24022445545CC解法 3：将52)23(xx看作5个三项式相乘，展开式中x的系数就是从其中一个三项式中取x3的系数3，从另外4个三项式中取常数项相乘所得的积，即2402344415CC应选 B19.已知92xxa的展开式中3x的系数为49，常数a的值为 _分析： 利用二项式的通项公式解： 在92xxa的展开式中，通项公式为rrrrxxaCT299192329921) 1(rrrrrxaC根据题设，3923r，所以8r代入通项公式，得39169axT根据题意，49169a，所以4a应填：420.若Nn，求证明：3724332nn能被64整除分析： 考虑先将323n拆成与8

20、的倍数有关的和式，再用二项式定理展开解：3724332nn37243322nn3724931nn3724)18(31nn37248888311112111101nCCCCCnnnnnnnnnn372418) 1(8883121111nnCCnnnnn3724)98(88883211121111nnCCCnnnnnnn3724)98(3888831132121112nnCCCnnnnnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载648886433212111nnnnnCC，18n，2118nnC，3218n

21、nC，均为自然数，上式各项均为64的整数倍原式能被64整除说明： 用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷21.已知nxx)3(232的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项分析： 先由条件列方程求出n (1)需考虑二项式系数的性质；(2)需列不等式确定r解： 令1x得展开式的各项系数之和为nn22)31 (，而展开式的二项式系数的和为nnnnnnCCCC2210，有992222nn5n(1)5n，故展开式共有6，其中二项式系数

22、最大的项为第三、第四两项62233225390)3()(xxxCT，32232232354270)3()(xxxCT(2)设展开式中第1r项的系数最大341052532513)3()(rrrrrrrxCxxCT，故有115511553333rrrrrrrrCCCC即.1351,613rrrr解得2927rNr，4r，即展开式中第5项的系数最大32642132455405)3()(xxxCT说明：展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同 前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几个r，这时还必须算出相应项的系数后再比较大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载22. 求二项式 (a2b)4 的展开式 . 解：根据二项式定理得(a2b)4=C04a4+C14a3( 2b)+C24a2(2b)2+C34a(2b)3+C4 4(2b)4 =a48a3b+24a2b232ab3+16b4. . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页