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1、学习好资料欢迎下载2015 年春季人教版中考数学锐角三角函数与圆综合训练题1、如图, D 为 O 上一点,点C 在直径 BA 的延长线上,CDA= CBD(1)求证: CD2=CA ?CB;(2)求证: CD 是 O 的切线;(3)过点 B 作 O 的切线交CD 的延长线于点E,若 BC=12,tanCDA=,求 BE 的长2、如图, AD 是 ABC 的角平分线,以点C 为圆心, CD 为半径作圆交BC 的延长线于点E,交 AD 于点 F,交 AE于点 M,且 B= CAE ,EF:FD=4:3(1)求证:点F 是 AD 的中点;(2)求 cosAED 的值;(3)如果 BD=10 ,求半径
2、CD 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页学习好资料欢迎下载3、如图11,PB 为 O 的切线, B 为切点,直线PO 交 O 于点 E,F,过点 B 作 PO 的垂线BA,垂足为点D,交O 于点 A,延长 AO 与 O 交于点 C,连接 BC,AF(1)求证:直线PA 为 O 的切线;(2)试探究线段EF,OD,OP 之间的等量关系,并加以证明;(3)若 BC6,tan F12,求 cosACB的值和线段PE的长4、如图, AB 是 O 的直径,弦CDAB 于 H,过 CD 延长线上一点E 作 O 的切线交AB
3、的延长线于F切点为 G,连接 AG 交 CD 于 K(1)求证: KE=GE ;(2)若2KG=KD GE,试判断AC 与 EF 的位置关系,并说明理由;(3) 在( 2)的条件下,若sinE=35,AK=2 3,求 FG 的长5、如图 11,AB是 O的弦, D是半径 OA的中点,过D作 CD OA交弦 AB于点 E,交 O于 F,且 CE=CB 。( 1)求证: BC O 是的切线;(2)连接AF、 BF,求 ABF 的度数;( 3)如果CD=15 ,BE=10,sinA=135,求 O 的半径。参考答案:1 图 11 A C B D E F O P 精选学习资料 - - - - - -
4、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页学习好资料欢迎下载.考点 :分析:(1)通过相似三角形( ADC DBC )的对应边成比例来证得结论;( 2)如图,连接OD欲证明CD 是 O 的切线,只需证明CDOA 即可;( 3)通过相似三角形EBC ODC 的对应边成比例列出关于BE 的方程,通过解方程来求线段BE 的长度即可解答:(1)证明:CDA= CBD , C=C, ADC DBC ,=,即 CD2=CA ?CB;( 2)证明:如图,连接OD AB 是 O 的直径, ADB=90 , 1+3=90 OA=OD , 2=3, 1+2=90 又 CDA= CB
5、D,即 4=1, 4+2=90 ,即 CDO=90 , ODOA又 OA 是 O 的半径, CD 是 O 的切线;( 3)解:如图,连接OE EB、CD 均为 O 的切线, ED=EB ,OEDB , ABD+ DBE=90 , OEB+DBE=90 , ABD= OEB, CDA= OEB而 tanCDA=, tanOEB=, RtCDORt CBE,=, CD=8,在 RtCBE 中,设 BE=x ,( x+8)2=x2+122,解得 x=5即 BE 的长为 52、相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;解直角三角形(1)由 AD 是ABC 的角平分线,B=CAE ,易证得 ADE=
6、 DAE ,即可得ED=EA ,又由 ED 是直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得EFAD ,由三线合一的知识,即可判定点F是 AD 的中点;(2)首先连接DM ,设 EF=4k,df=3k ,然后由勾股定理求得ED 的长,继而求得DM 与 ME 的长,由余弦的定义,即可求得答案;(3)易证得 AEC BEA ,然后由相似三角形的对应边成比例,可得方程:(5k)2=k?(10+5k) ,解此方程即可求得答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页学习好资料欢迎下载(1)证明: AD 是ABC 的角平分线, 1=2, AD
7、E= 1+B, DAE= 2+3,且 B=3, ADE= DAE ,ED=EA ,ED 为 O 直径, DFE=90 ,EFAD ,点 F 是 AD 的中点;(2)解:连接DM ,设 EF=4k,df=3k ,则 ED=5k,AD ?EF=AE?DM,DM=k,ME=k,cosAED=;(3)解: B=3, AEC 为公共角, AEC BEA ,AE:BE=CE :AE,AE2=CE?BE,( 5k)2=k?(10+5k) ,k0,k=2,CD=k=53【解析】(1)要证PA 是 O 的切线,只要连接OB,再证 PAO PBO90 即可 (2)OD,OP 分别是RtOAD ,RtOPA 的边,
8、而这两个三角形相似且这两边不是对应边,所以可证得OA2OD OP,再将EF2OA 代入即可得出EF,OD,OP 之间的等量关系 (3)利用tanF12,得出 AD ,OD 之间的关系,据此设未知数后,根据 AD BD, OD12BC3,AO OCOFFDOF,将 AB ,AC 也表达成含未知数的代数式,再在RtABC中运用勾股定理构建方程求解【答案】 解:( 1)证明:如下图,连接OB,PB是 O 的切线, PBO90 OAOB,BA PO于 D, ADBD, POA POB又 POPO, PAO PBO PAO PBO90直线PA为 O 的切线A C B D E F O P 精选学习资料 -
9、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页学习好资料欢迎下载(2)EF24OD OP证明: PAO PDA90 , OAD AOD90 ,OPA AOP90 OAD OPA OAD OPAODOAOAOP,即 OA2OD OP又 EF2OA, EF2 4OD OP(3) OAOC,ADBD,BC6, OD12BC3设 ADx, tanF12, FD2x,OAOF2x3在 RtAOD 中,由勾股定理,得 (2x 3)2x232解之得, x14,x20(不合题意,舍去)AD4,OA2x35AC是 O 的直径,ABC90 而 AC2OA10,BC
10、6,cosACB61035OA2OD OP,3(PE5) 25PE1034、解析:利用切线的性质和等边对等角可以证明EGK= EKG ,然后根据等角对等边,即可证明第(1)小题;对于第( 2)小题,可以先由等积式得到比例式,然后得到三角形相似,根据角的关系可以判断两条直线的位置关系;对于第( 3)小题,可以先利用方程的思想求出相关线段的长,然后利用三角函数求FG 的长。答案: (1)如下图,连接OG, EG 是 O 的切 线 OG GE OGK+ EGK 90 CD AB OAG+ AKH 90 OG=OA OGK= OAG EGK= AKH= EKG KE=GE ;(2)AC EF 理由如下
11、:2KG=KD GE,GE=KE KGKEKDKG KGD KGE KGD E KGD C E C AC EF (3)在( 2)的条件下,AC EF CAF F, E C sinE=35精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页学习好资料欢迎下载sinC=35,sinF=45,tanE=tanC=34连接 BG,过 G 作 GNAB 于 N,交 O 于 Q 则弧 BQ=弧 BG BGN BAG 设 AH=3k ,则 CH=4k 于是 BH=221616=33CHkkAHk,OG=+25=26BHAHkEG 是切线, CD A
12、B OGF90 FOG+F=E+F FOG=E NG=OGsin FOG=25365k=52kBN=OB-ON=OG-OGcos FOG=25451-=656kkBG=22510+=6kNGBN点评:本题的第(3)小题是一道大型综合题,且运算量较大,属于较难题;但是,前两个小题比较基础,同学们应争取做对。5、【解析】(1)连接 OB ,证 OB BC ,即证 OBE+ EBC=90 。通过OA=OB ,CE=CB , AED= BEC ,可将 OBE 、EBC分别转化为 A、 AED ,结合 CD OA可证 OBE+ EBC=90 ;(2)连接 OF ,由 CD垂直平分OA得 AF=OF=OA
13、,再结合圆心角与圆周角关系易求ABF的度数;,(3)作 CG BE于 G,得 A=ECG ,CG是 BE垂直平分线,由CD=15 ,BE=10 ,sinA=135,可求 EG 、CE 、CG 、DE长度,通过 ADE CGE 可求 AD ,从而计算半径OA 。【答案】( 1)证明:连接OB 。 OA=OB , A=OBE 。 CE=CB , CEB= EBC , AED =EBC , AED = EBC ,又 CD OA A+AED= OBA+ EBC=90 , BC O是的切线;Q N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共
14、7 页学习好资料欢迎下载(2) CD垂直平分OA , OF=AF ,又 OA=OF , OA=OF=AF, O=60 , ABF=30 ;( 3)作CG BE 于 G,则 A= ECG 。 CE=CB , BD=10 , EG=BG=5 , sinECG=sinA=135, CE=13 , CG=12.又CD=15 , DE=2 。 ADE CGE ,EGDECGAD,即5212AD, AD=524, OA=548,即 O的半径是548。【点评】本题将多个知识点结合在一起,问题设计层层递进,梯度鲜明,是一道中档偏上的题,有一定区分度我们必须学会由已知条件寻找相应的定理、性质的基本图形,以及在不能直接根据已知条件解决问题时,要学会运用转化的思想。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页