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1、学习好资料欢迎下载2015 年春季人教版中考数学锐角三角函数与圆综合训练题1、如图， D 为 O 上一点，点C 在直径 BA 的延长线上，CDA= CBD（1）求证： CD2=CA ?CB；（2）求证： CD 是 O 的切线；（3）过点 B 作 O 的切线交CD 的延长线于点E，若 BC=12，tanCDA=，求 BE 的长2、如图， AD 是 ABC 的角平分线，以点C 为圆心， CD 为半径作圆交BC 的延长线于点E，交 AD 于点 F，交 AE于点 M，且 B= CAE ，EF：FD=4：3（1）求证：点F 是 AD 的中点；（2）求 cosAED 的值；（3）如果 BD=10 ，求半径
2、CD 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习好资料欢迎下载3、如图11，PB 为 O 的切线， B 为切点，直线PO 交 O 于点 E，F，过点 B 作 PO 的垂线BA，垂足为点D，交O 于点 A，延长 AO 与 O 交于点 C，连接 BC，AF（1）求证：直线PA 为 O 的切线；（2）试探究线段EF，OD，OP 之间的等量关系，并加以证明；（3）若 BC6，tan F12，求 cosACB的值和线段PE的长4、如图， AB 是 O 的直径，弦CDAB 于 H，过 CD 延长线上一点E 作 O 的切线交AB
3、的延长线于F切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K（1）求证： KE=GE ；（2）若2KG=KD GE，试判断AC 与 EF 的位置关系，并说明理由；（3） 在（ 2）的条件下，若sinE=35，AK=2 3，求 FG 的长5、如图 11，AB是 O的弦， D是半径 OA的中点，过D作 CD OA交弦 AB于点 E，交 O于 F，且 CE=CB 。（ 1）求证： BC O 是的切线；（2）连接AF、 BF，求 ABF 的度数；（ 3）如果CD=15 ，BE=10，sinA=135，求 O 的半径。参考答案：1 图 11 A C B D E F O P 精选学习资料 - - - - - -
4、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习好资料欢迎下载.考点 ：分析：（1）通过相似三角形（ ADC DBC ）的对应边成比例来证得结论；（ 2）如图，连接OD欲证明CD 是 O 的切线，只需证明CDOA 即可；（ 3）通过相似三角形EBC ODC 的对应边成比例列出关于BE 的方程，通过解方程来求线段BE 的长度即可解答：（1）证明：CDA= CBD ， C=C， ADC DBC ，=，即 CD2=CA ?CB；（ 2）证明：如图，连接OD AB 是 O 的直径， ADB=90 ， 1+3=90 OA=OD ， 2=3， 1+2=90 又 CDA= CB
5、D，即 4=1， 4+2=90 ，即 CDO=90 ， ODOA又 OA 是 O 的半径， CD 是 O 的切线；（ 3）解：如图，连接OE EB、CD 均为 O 的切线， ED=EB ，OEDB ， ABD+ DBE=90 ， OEB+DBE=90 ， ABD= OEB， CDA= OEB而 tanCDA=， tanOEB=， RtCDORt CBE，=， CD=8，在 RtCBE 中，设 BE=x ，（ x+8）2=x2+122，解得 x=5即 BE 的长为 52、相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形（1）由 AD 是ABC 的角平分线，B=CAE ，易证得 ADE=
6、 DAE ，即可得ED=EA ，又由 ED 是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EFAD ，由三线合一的知识，即可判定点F是 AD 的中点；（2）首先连接DM ，设 EF=4k，df=3k ，然后由勾股定理求得ED 的长，继而求得DM 与 ME 的长，由余弦的定义，即可求得答案；（3）易证得 AEC BEA ，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2=k?（10+5k） ，解此方程即可求得答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习好资料欢迎下载（1）证明： AD 是ABC 的角平分线， 1=2， AD
7、E= 1+B， DAE= 2+3，且 B=3， ADE= DAE ，ED=EA ，ED 为 O 直径， DFE=90 ，EFAD ，点 F 是 AD 的中点；（2）解：连接DM ，设 EF=4k，df=3k ，则 ED=5k，AD ?EF=AE?DM，DM=k，ME=k，cosAED=；（3）解： B=3， AEC 为公共角， AEC BEA ，AE：BE=CE ：AE，AE2=CE?BE，（ 5k）2=k?（10+5k） ，k0，k=2，CD=k=53【解析】（1）要证PA 是 O 的切线，只要连接OB，再证 PAO PBO90 即可 （2）OD，OP 分别是RtOAD ，RtOPA 的边，
8、而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得OA2OD OP，再将EF2OA 代入即可得出EF，OD，OP 之间的等量关系 （3）利用tanF12，得出 AD ，OD 之间的关系，据此设未知数后，根据 AD BD， OD12BC3，AO OCOFFDOF，将 AB ，AC 也表达成含未知数的代数式，再在RtABC中运用勾股定理构建方程求解【答案】 解：（ 1）证明：如下图，连接OB，PB是 O 的切线， PBO90 OAOB，BA PO于 D， ADBD， POA POB又 POPO， PAO PBO PAO PBO90直线PA为 O 的切线A C B D E F O P 精选学习资料 -
9、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习好资料欢迎下载（2）EF24OD OP证明： PAO PDA90 ， OAD AOD90 ，OPA AOP90 OAD OPA OAD OPAODOAOAOP，即 OA2OD OP又 EF2OA， EF2 4OD OP（3） OAOC，ADBD，BC6， OD12BC3设 ADx， tanF12， FD2x，OAOF2x3在 RtAOD 中，由勾股定理，得 (2x 3)2x232解之得， x14，x20（不合题意，舍去）AD4，OA2x35AC是 O 的直径，ABC90 而 AC2OA10，BC
10、6，cosACB61035OA2OD OP，3(PE5) 25PE1034、解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明EGK= EKG ，然后根据等角对等边，即可证明第（1）小题；对于第（ 2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（ 3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG 的长。答案： （1）如下图，连接OG， EG 是 O 的切 线 OG GE OGK+ EGK 90 CD AB OAG+ AKH 90 OG=OA OGK= OAG EGK= AKH= EKG KE=GE ；（2）AC EF 理由如下
11、：2KG=KD GE，GE=KE KGKEKDKG KGD KGE KGD E KGD C E C AC EF （3）在（ 2）的条件下，AC EF CAF F， E C sinE=35精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习好资料欢迎下载sinC=35,sinF=45,tanE=tanC=34连接 BG，过 G 作 GNAB 于 N，交 O 于 Q 则弧 BQ=弧 BG BGN BAG 设 AH=3k ，则 CH=4k 于是 BH=221616=33CHkkAHk，OG=+25=26BHAHkEG 是切线， CD A
12、B OGF90 FOG+F=E+F FOG=E NG=OGsin FOG=25365k=52kBN=OB-ON=OG-OGcos FOG=25451-=656kkBG=22510+=6kNGBN点评：本题的第（3）小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题；但是，前两个小题比较基础，同学们应争取做对。5、【解析】（1）连接 OB ，证 OB BC ，即证 OBE+ EBC=90 。通过OA=OB ，CE=CB ， AED= BEC ，可将 OBE 、EBC分别转化为 A、 AED ，结合 CD OA可证 OBE+ EBC=90 ；（2）连接 OF ，由 CD垂直平分OA得 AF=OF=OA
13、，再结合圆心角与圆周角关系易求ABF的度数；，（3）作 CG BE于 G，得 A=ECG ，CG是 BE垂直平分线，由CD=15 ，BE=10 ，sinA=135，可求 EG 、CE 、CG 、DE长度，通过 ADE CGE 可求 AD ，从而计算半径OA 。【答案】（ 1）证明：连接OB 。 OA=OB ， A=OBE 。 CE=CB ， CEB= EBC ， AED =EBC ， AED = EBC ，又 CD OA A+AED= OBA+ EBC=90 ， BC O是的切线；Q N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共
14、7 页学习好资料欢迎下载（2） CD垂直平分OA ， OF=AF ，又 OA=OF ， OA=OF=AF， O=60 ， ABF=30 ；（ 3）作CG BE 于 G，则 A= ECG 。 CE=CB ， BD=10 ， EG=BG=5 ， sinECG=sinA=135， CE=13 ， CG=12.又CD=15 ， DE=2 。 ADE CGE ，EGDECGAD，即5212AD， AD=524， OA=548，即 O的半径是548。【点评】本题将多个知识点结合在一起，问题设计层层递进，梯度鲜明，是一道中档偏上的题，有一定区分度我们必须学会由已知条件寻找相应的定理、性质的基本图形，以及在不能直接根据已知条件解决问题时，要学会运用转化的思想。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
