八年级下数学第十二节12

《八年级下数学第十二节12》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级下数学第十二节12（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、19.2 一次函数一次函数教学目标教学目标1. 认识正比例函数、一次函数的意义；理解正比例函数、一次函数图象的性质和特点2. 掌握正比例函数、一次函数解析式特点，会画正比例函数和一次函数的图象3. 理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系4. 掌握一次函数ykxb(k0)的性质，能根据k与b的值说出函数的有关性质. 5. 结合图象体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高数形结合能力6. 能利用所学知识解决相关实际问题教学重点教学重点1. 熟练地作出正比例函数、一次函数的图象2. 一次函数图象特征与解析式的联系规律3. 一次函数图象确定一元一次不等式的解集4. 一次函数与方程、不等式的

2、联系教学难点教学难点1. 一次函数图象特点与解析式的联系规律2. 一次函数k、b的取值和直线位置的关系，数形结合能力正比例函数正比例函数 问题问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km设列车的平均速度为300 km/h考虑以下问题： （1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？ （2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？ （3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km的南京南站？ 分析分析：（1）京沪高铁列车全程运行时间约需1 3183004.4 （

3、h） （2）京沪高铁列车的行程 y 是运行时间 t 的函数，函数解析式为y300t（0t4.4） （3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h的行程，是当t2.5时函数y300t的值，即y3002.5750（km）这时列车尚未到达距始发站1 100km的南京南站 以上我们用函数y300t（0t4.4）对京沪高铁列车的行程问题进行了讨论尽管实际情况可能会与此有一些小的不同，但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间之间的对应规律 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式这些函数解析式有哪些共如果是，请写出函数解析式这些函数解析

4、式有哪些共同特征？同特征？ （1）圆的周长）圆的周长 l 随半径随半径 r 的变化而变化的变化而变化 （2）铁的密度为）铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量，铁块的质量m（单位：（单位：g）随它的体积）随它的体积V（单位：（单位：cm3）的变化而变化）的变化而变化 （3）每个练习本的厚度为）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在，一些练习本摞在一起的总厚度一起的总厚度h（单位：（单位：cm）随练习本的本数）随练习本的本数n的变化而的变化而变化变化 （4）冷冻一个）冷冻一个0 的物体，使它每分下降的物体，使它每分下降2，物体，物体的温度的温度T（单位：（单位：）随冷冻时间）随冷冻时间t

5、（单位：（单位：min）的变化）的变化而变化而变化思考思考 上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为： （1）l2r； （2）m7.8V； （3）h0.5n；（4）T2t 正如函数y300t 一样，上面这些函数都是常数与自变量的积的形式 一般地，形如ykx（k是常数，k0）的函数，叫做正比例函数正比例函数，其中 k 叫做比例系数 练习答案 1. （1）（2）. 2. （1） y4x，是正比例函数； （2） y12x，是正比例函数； （3） y3x，是正比例函数. 例例1 画出下列正比例函数的图象： （1） y2x ，y x （2）y1.5x，y4x. 解解：（1）函数y2x中自变量x可为

6、任意实数下表是y与x的几组对应值x3210123y6420246 如下图，在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点将这些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线它就是函数y2x的图象 用同样的方法，可以得到函数y x的图象（上图）它也是一条经过原点和第三、第一象限的直线. （2）函数y1.5x中自变量x可为任意实数. 下表是y与x的几组对应值x3210123y4.531.501.534.5 如下图，在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线，它就是函数y1.5x的图象 用同样的方法，可以得到函数y4x的图象（下图）它也是一条经过原点和

7、第二、第四象限的直线.你画你画出的函数出的函数y4x的图象，的图象，与图中的相同吗？与图中的相同吗？ 以上4个函数的图象都是经过原点的直线，其中函数 y2x 和 y x 的图象经过第三、第一象限，从左向右上升；函数y1.5x和y4x的图象经过第二、第四象限，从左向右下降 一般地，正比例函数ykx（k是常数，k0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线ykx. 当k0时，直线ykx经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着随着x的增大的增大y也增大也增大；当k0时，直线ykx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着随着x的增大的增大y反而减小反而减小思考思考 经过原点与点（经过原点与点（1，k

8、）（）（k 是常数，是常数，k0）的直线是哪）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？为什么？ 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数 ykx（k0）的图象一般地，过原点和点（1，k） （k 是常数，k0）的直线，即正比例函数 ykx（k0）的图象 练习答案 （1）过原点和点（1， ）作直线； （2）过原点和点（1，3）作直线.一次函数一次函数 问题问题2 某登山队大本营所在地的气温为5，海拔每升高1 km气温下降6登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y试用函数解析式表示y与x的关系 分

9、析分析：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加x km时，气温从5减少6x因此y与x的函数解析式为y56x 这个函数也可以写为y6x5 当登山队员由大本营向上登高0.5 km 时，他们所在位置的气温就是当 x0.5 时函数 y6x5 的值，即y60.552（）思考思考 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式这些函数解析式有哪些共同特果是，请写出函数解析式这些函数解析式有哪些共同特征？征？ （1）有人发现，在）有人发现，在2025时蟋蟀每分鸣叫次数时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度与温度t（单位：（单位：）有关，即）有关，

10、即c的值约是的值约是t的的7倍与倍与35的差的差. （2）一种计算成年人标准体重）一种计算成年人标准体重G（单位：（单位：kg）的方）的方法是：以厘米为单位量出身高值法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常数，再减常数105，所得差，所得差是是G的值的值 （3）某城市的市内电话的月收费额）某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包（单位：元）包括月租费括月租费22元和拨打电话元和拨打电话x min的计时费（按的计时费（按0.1元元/min收收取）取） （4）把一个长）把一个长10 cm、宽、宽5 cm的长方形的长减少的长方形的长减少x cm，宽不变，长方形的面积，宽不变，长方形的面积y（单位：（

11、单位：cm2）随）随x的变化而变的变化而变化化. 上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为： （1）c7t35 （20t25）； （2）Gh105； （3）y0.1x22； （4）y5x50 （0x10） 正如函数y6x5一样，上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式 一般地，形如ykxb（k，b是常数，k0）的函数，叫做一次函数一次函数当b0时， ykxb即ykx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 练习答案 1. （1）（4）是一次函数，（1）是正比例函数. 2. k2，b3. 3. （1）v2t，是一次函数； （2）5 m/s. 例例2 画出函数y6x与y6x5的图象

12、 解解：函数y6x与y6x5中，自变量 x 可以是任意实数列表表示几组对应值（计算并填写表中空格）x21012y6x06y6x551 画出函数y6x与y6x5的图象（下图）思考思考 比较上面两个函数的图象的相同点与不同点，填出比较上面两个函数的图象的相同点与不同点，填出你的观察结果：你的观察结果： 这两个函数的图象形状都是这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程，并且倾斜程度度 函数函数 y6x的图象经过原点，函数的图象经过原点，函数y6x5的图象与的图象与y 轴交于点轴交于点 ，即它可以看作由直线，即它可以看作由直线y6x向向 平移平移 个单位长度而得到个单位长度而得到 比较两个函数解析式，你

13、能说出两个函数的图象有比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？上述关系的道理吗？ 联系上面结果，考虑一次函数联系上面结果，考虑一次函数ykxb（k0）的图的图象是什么形状，它与直线象是什么形状，它与直线ykx（k0）有什么关系有什么关系 比较一次函数ykxb（k0）与正比例函数ykx（k0）的解析式，容易得出： 一次函数ykxb（k0）的图象可以由直线ykx平移b个单位长度得到（当b0时，向上平移；当b0时，向下平移）一次函数ykxb（k0）的图象也是一条直线，我们称它为直线ykxb 例例3 画出函数y2x1与y0.5x1的图象. 分析分析：由于一次函数的图象是直线，因此

14、只要确定两由于一次函数的图象是直线，因此只要确定两个点就能画出它个点就能画出它. . 解解：列表表示当x0，x1时两个函数的对应值（下表）.x01y2x111y0.5x110.5 过点（0，1）与点（1，1）画出直线y2x1 ；过点（0，1）与点（1，0.5）画出直线y0.5x1.（下图）探究探究 画出函数画出函数yx1，yx1，y2x1，y2x1的的图象由它们联想：一次函数解析式图象由它们联想：一次函数解析式ykxb（k，b是常数，k0）中，中，k的的正负对函数图象有什么影响？正负对函数图象有什么影响？ 观察前面一次函数的图象，可以发现规律： 当k0时，直线ykxb从左向右上升；当k0时，直

15、线ykxb从左向右下降由此可知，一次函数ykxb（k，b是常数，k0）具有如下性质： 当当k 0时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大； 当当k 0时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小 练习答案 1. （ ，0），（0.3），第三、四、一，增大. 2. （1）3条直线平行. （图象略） （2）3条直线平行. （图象略） 2. 图略. （1）都是经过（0，1）的直线； （2）都是经过（0，1）的直线. 例例4 已知一次函数的图象过点（3，5）与（4，9），求这个一次函数的解析式 分析分析：求一次函数求一次函数ykxb的解析式，关键是求出的解析式，关键是求出k，b的值从已知条件可以列出关于

16、的值从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程的二元一次方程组，并求出组，并求出k，b 解解：设这个一次函数的解析式为ykxb 因为ykxb的图象过点（3，5）与（4，9），所以3kb5，4kb9解方程组得k2，b1这个一次函数的解析式为y2x1 像例4这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法待定系数法 由于一次函数ykxb中有k和b两个待定系数，因此用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数）解方程组后就能具体写出一次函数的解析式 例3与例4从两方面说明： 练习答案 1. y x12. 2. T 图象略. 20，

17、0t2，5t10， 2t4.一次函数与方程、不等式一次函数与方程、不等式 方程、不等式与函数之间有着密切的联系下面我们先从函数的角度看解一元一次方程 下面下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这个方程进行解释吗？角度对解这个方程进行解释吗？ （1） 2x13 ；（；（2） 2x10 ； （3） 2x11 思考思考 可以看出，这3个方程的等号左边都是2x1 ，等号右边分别是3，0，1从函数的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y2x1的函数值分别为3，0，1时，求自变量x的值或者说，在直线y2x1上取纵坐标分别为3，0，1的点，看它们的横坐

18、标分别为多少（下图） 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为 axb0（a 0）的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y axb的函数值为0时，求自变量x的值.我们再从函数的角度看解一元一次不等式思考思考 下面下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这的角度对解这3个不等式进行解释吗？个不等式进行解释吗？ （1）3x22；（2） 3x20；（3）3x2 1. 可以看出，这3个不等式的不等号左边都是3x2，而不等号及不等号右边却有不同从函数的角度看，解这 3 个不等式相当于在一次函数y3x2的函数值分别大于 2、小于0、

19、小于1 时，求自变量x的取值范围或者说，在直线y3x2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于1 的点，看它们的横坐标分别满足什么条件（下图） 因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为 axb0 或axb0（a0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数 yaxb 的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围最后，我们从函数的角度看解二元一次方程组 问题问题3 1号探测气球从海拔5 m处出发，以1 m/min的速度上升与此同时，2号探测气球从海拔15 m处出发，以0.5 m/min的速度上升两个气球都上升了1 h （1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升

20、时间x（单位：min）的函数关系； （2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 分析分析：（1）气球上升时间x满足0x60 对于1号气球，y关于x的函数解析式为yx5 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y0.5x15. （2）在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值（0x60），函数yx5和y0.5x15有相同的值 y如能求出这个 x 和 y，则问题得到解决由此容易想到解二元一次方程组yx5 ，y0.5x15 .xy5，0.5xy15.即x20，y25.解得 这就是说，当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m 的高度 我们也可以用

21、一次函数的图象解释上述问题的解答如下图，在同一直角坐标系中，画出一次函数yx5和y0.5x15的图象这两条直线的交点坐标为（20，25），这也说明当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度 一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为yk xb（k，b是常数，k0）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解 由上可知，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解 练习答案 画出函数 y0.3x30 和 y0.4x 的图象，它们的交点为（300，120），这说明通话300min时两种计费方式收费都是120元. 再见！再见！