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1、圆锥曲线有关弦的问题圆锥曲线有关弦的问题如果直线l与圆锥曲线C相交于两个不同点A、B，那么线段AB称为圆锥曲线C的一条弦，直线l称为圆锥曲线C的一条割线。一、圆锥曲线的焦点弦一、圆锥曲线的焦点弦过抛物线的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点的纵坐标为这是抛物线焦点弦的一个重要性质。此外，与焦点弦有关的性质还有：过抛物线焦点弦两端的切线的交点在抛物线的准线上：过抛物线焦点弦两端的切线互相垂直；以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切；过抛物线焦点弦两端切线的交点与抛物线焦点的连线和焦点弦互相垂直。椭圆与双曲线的焦点弦也有一些性质，请同学们自己归纳总结。例1、已知抛物线的焦点为F，AB为焦点弦，
2、A，B两点到抛物线准线的射影分别为A，B，求证：xyoFBAAB123证明:如图例2、过椭圆的左焦点作一椭圆的焦点弦AB，求直线AB的倾斜角为多大时，以弦AB为直径的圆过椭圆的右焦点。解：椭圆化为设所求直线y=kx，将y=kx代入椭圆，整理，得再由（1）、（2），得导评:本题若先写出AB为直径的圆的方程,再把坐标代入圆方程,求解过程将比较繁杂.这里运用平面几何知识,选择垂直条件,简化了计算.例3、已知抛物线的两条切线互相垂直,两切点分别为这两切线的交点为M点,求证:xyAAMBFo证明：xyAAMBFo设AA垂直准线,A为垂足，由抛物线性质，知所以三角形AAM和三角形AMF全等。例4、求证等轴
3、双曲线的两条互相垂直的焦点弦长度相等。NMTSoxy证明：（1）若一条焦点弦垂直于x轴，则另一条焦点弦必为实轴，不难算出通径 与实轴都为2。（2）如图，若一条焦点弦倾角为同样另一条焦点弦倾角为例5、椭圆长轴焦距过椭圆左焦点作一条直线交椭圆于M、N两点，问取何值时，|MN|等于椭圆短轴的长。xyMNo解法一：如图，建立直角坐标系，则设直线MN的方程为代入椭圆方程，整理，得解法二：同解法一，设MN中点为D，设M、N、D到左准线的射影分别为M、N、D。xyMNoDMND以下同解法一。 解法三：导评：此题1983年高考（理科）试题。解法一是一般解法，有普遍性，但计算量较大；解法二利用椭圆第二定义，比解
4、法一简化了计算；解法三利用椭圆第一定义结合三角知识，计算量进一步减少，有一定的启发性。二、圆锥曲线一般弦的问题二、圆锥曲线一般弦的问题设AB为圆锥曲线C：的弦,为弦AB的中点,若弦的斜率k存在，则若圆锥曲线C的一组平等弦的斜率为k，则这些平等弦的中点轨迹方程为 2Ax+2Cky+D+Ek=0.设|AB|=l，令例6、已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于求该椭圆的方程。则以线段PQ为直径的圆的方程为与y=x+1联立，求得代入圆的方程，得导评：此题是1991年高考（文科）数学试题。常规解法是用韦达定理结合垂直，两点间距离等关系进行比较繁琐的运算求出含有长、短半轴长为未知数的方程组,而这里利用圆的方程和性质直接得出方程组.例7、如图，定长为3的线段AB的两端点在抛物线上移动，线段AB中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时M点的坐标。xyoMBAF解法一：设线段AB中点M(x,y)到y轴距离为xyoMBACEDNF由（2），相应M点纵坐标解法二、抛物线的焦点为，准线方程为设A、B、M到准线的射影为C、E、D。设线段ME交y轴于N，则当且仅当AB过焦点F时，|MN|最小，因而x最小值可达到。xyoMBACEDNF导评：此题是1987年高考（理科）数学试题。解法一利用平均值定理，不易想到且计算量较大；解法二利用抛物线定义，计算量比较小，值得推广。
