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1、名师总结优秀知识点二项式定理一、二项式定理:nnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba110(Nn)等号右边的多项式叫做nba的二项展开式,其中各项的系数knC)3, 2, 1 ,0(nk叫做二项式系数。对二项式定理的理解:(1)二项展开式有1n项(2)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1 到 0;字母b按升幂排列,从第一项开始,次数由0 逐项加 1 到n(3)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的实数ba,,等式都成立,通过对ba,取不同的 特 殊 值 , 可 为 某 些 问 题 的 解 决 带 来 方 便 。 在 定 理 中 假 设xba,1, 则nnnknknnnnnx
2、CxCxCxCx101(Nn)(4)要注意二项式定理的双向功能:一方面可将二项式nba展开,得到一个多项式;另一方面,也可将展开式合并成二项式nba二、二项展开式的通项:kknknkbaCT1二项展开式的通项kknknkbaCT1)3 ,2, 1 ,0(nk是二项展开式的第1k项,它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有广泛应用对通项kknknkbaCT1)3,2, 1 ,0(nk的理解:(1)字母b的次数和组合数的上标相同(2)a与b的次数之和为n(3)在通项公式中共
3、含有1,kTknba这 5 个元素,知道4 个元素便可求第5 个元素精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页名师总结优秀知识点例 1nnnnnnCCCC1321393等于()An4B。n43C。134nD.314n例 2 (1)求7(12 )x的展开式的第四项的系数;(2)求91()xx的展开式中3x的系数及二项式系数三、二项展开式系数的性质:对称性:在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即,22110knnknnnnnnnnnnCCCCCCCC增减性与最大值:在二项式展开式中,二项式系数先增后减,
4、且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大,即n偶数:2maxnnknCC;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并最大,即2121maxnnnnknCCC二项展开式的各系数的和等于n2,令1a,1b即nnnnnnCCC2)11 (10; 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 和 与 偶 数 项 的 二 项 式 系 数 和 相 等 , 令1a,1b即131202nnnnnCCCC例题: 写出11)(yx的展开式中:(1)二项式系数最大的项;(2)项的系数绝对值最大的项;(3)项的系数最大的项和系数最小的项;(4)二项式系数的和;(5)各项系数的和精选学习资
5、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页名师总结优秀知识点四、多项式的展开式及展开式中的特定项(1)求多项式nnaaa)(21的展开式,可以把其中几项结合转化为二项式,再利用二项式定理展开。例题: 求多项式322)21(xx的展开式(2)求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项,可以先写出各个二项式的通项再分析。例题: 求52)1()1(xx的展开式中3x的系数例题:(1)如果在nxx421的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有理项。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
6、 - - -第 3 页,共 11 页名师总结优秀知识点(2)求321xx的展开式的常数项。【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时,常用通项公式,用待定系数法确定k五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值,赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定例题: 已知7270127(12 )xaa xa xa x,求:(1)127aaa;(2)1357aaaa;(3)017|aaa. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页名师总结优秀知识点六、二项式定理的应用:1、二项式定理还应用与以下几方面:(1)进行近似计算(
7、2)证明某些整除性问题或求余数(3)证明有关的等式和不等式。如证明:Nnnnn, 322取nn112的展开式中的四项即可。2、各种问题的常用处理方法(1)近似计算的处理方法当 n 不是很大, |x| 比较小时可以用展开式的前几项求nx)1 (的近似值。例题:6)05.1(的计算结果精确到0.01 的近似值是()A1.23 B1.24 C1.33 D 1.34 (2)整除性问题或求余数的处理方法解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式用二项式定理处理整除问题,通常把幂的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式,再利用二项式定理展开,这里的k通常为1,若k为其他数,则需对幂的底数k再次构造
8、和或差的形式再展开,只考虑后面(或者是某项)一、二项就可以了要注意余数的范围, 对给定的整数)0(,bba, 有确定的一对整数q和r, 满足rbqa,其中b为除数,r为余数,br,0,利用二项式定理展开变形后,若剩余部分是负数,要注意转换成正数例题: 求632013除以 7 所得的余数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页名师总结优秀知识点例题:若n为奇数,则777712211nnnnnnnCCC被 9 除得的余数是()A0 B。2 C。7 D.8 例题: 当Nn且n1,求证3)11(2nn【思维点拨】这类是二项式定理
9、的应用问题,它的取舍根据题目而定综 合 测 试精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页名师总结优秀知识点一、选择题:本大题共12 个小题,每小题5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1在103x的展开式中,6x的系数为()A610C27B410C27C610C9D410C92 已知a4b,0ba,nba的展开式按a 的降幂排列, 其中第 n 项与第 n+1 项相等,那么正整数n 等于()A4 B9 C10 D 11 3已知(naa)132的展开式的第三项与第二项的系数的比为112,则 n
10、 是()A10 B11 C12 D 1345310被 8 除的余数是()A1 B2 C3 D 7 5 (1.05)6的计算结果精确到0.01 的近似值是()A1.23 B1.24 C1.33 D 1.34 6二项式n4x1x2(nN)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开式有理项的项数是()A1 B2 C3 D4 7设 (3x31+x21)n展开式的各项系数之和为t,其二项式系数之和为h,若 t+h=2 72,则展开式的 x2项的系数是()A21B1 C2 D 38在62)1(xx的展开式中5x的系数为()A4 B5 C6 D 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名
11、师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页名师总结优秀知识点9nxx)(5131展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项的系数中最大的值是()A330 B462 C680 D 790 1054)1()1(xx的展开式中,4x的系数为()A 40 B10 C40 D 45 11二项式 (1+sinx)n的展开式中,末尾两项的系数之和为7,且系数最大的一项的值为25,则 x 在0,2内的值为()A6或3B6或65C3或32 D3或6512在 (1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中 ,含 x4项的系数是等差数列an=3n 5 的()A第 2 项B第 11 项C
12、第 20 项D第 24 项二、填空题:本大题满分16 分,每小题4 分,各题只要求直接写出结果. 1392)21(xx展开式中9x的系数是. 14若44104xaxaa3x2,则2312420aaaaa的值为 _. 15若32()nxx的展开式中只有第6项的系数最大,则展开式中的常数项是. 16对于二项式 (1-x)1999,有下列四个命题:展开式中T1000= C19991000x999;展开式中非常数项的系数和是1;展开式中系数最大的项是第1000 项和第 1001 项;当 x=2000 时, (1-x)1999除以 2000 的余数是1精选学习资料 - - - - - - - - - 名
13、师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页名师总结优秀知识点其中正确命题的序号是_ (把你认为正确的命题序号都填上)三、解答题:本大题满分74 分. 17 (12 分)若nxx)1(66展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列()求 n 的值;()此展开式中是否有常数项,为什么?18 (12 分)已知 (124x)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项式系数最大的项的系数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页名师总结优秀知识点19 (12 分)是否存在等差数列na,使nnn1n
14、2n31n20n12nCaCaCaCa对任意*Nn都成立?若存在,求出数列na的通项公式;若不存在,请说明理由20 (12 分)某地现有耕地100000 亩,规划 10 年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少亩(精确到1 亩)?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页名师总结优秀知识点21. (12 分)设 f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、nN),若其展开式中,关于x 的一次项系数为11,试问: m、n 取何值时, f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值,并求出这个最小值. 22 (14 分)规定!)1()1(mmxxxCmx,其中 xR,m 是正整数,且10xC,这是组合数mnC(n、m 是正整数,且mn)的一种推广(1) 求315C的值;(2) 设 x,当 x 为何值时,213)(xxCC取得最小值?(3) 组合数的两个性质;mnnmnCC.mnmnmnCCC11. 是否都能推广到mxC(xR,m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页