2022年乘法原理与加法原理教案

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1、学习必备欢迎下载第十一讲乘法原理与加法原理知识提要理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。加法原理： N= m1m2 mn。乘法原理： N= m1m2 mn。经典例题例 1 小刚从家到学校要经过一座桥，从家到桥时有3 条路可以走，过了桥再到学校时有4条路可以走（如下图） 。小刚从家到学校一共可以有多少种不同的走法？分析与解：把从小刚家到学校的路分为两步。第一步从家到桥， 第二步从桥到学校。 这两步中每一步都不能单独走完从家到学校的路，只有两步合在一起，才能完成。从图中看出从家到学校共有12 种不同的走法：AD AE AF AG BD BE BF BG CD CE CF

2、CG 根据此题，得出如下结论：乘法原理要完成一项任务，由几个步骤实现，第一步有m1种不同的方法；第二步有m2种不同的方法；第n 步有 mn种不同的方法；那么要完成任务共有：N= m1m2mn。例 2 有四张数字卡片，用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？分析与解：用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4 种选择；第二步选取十位上的数字，可以有3 种选择； 第三步选取个位上的数字，可以有 2 种选择。所以可以组成不同的三位数共有：432=24（个）例 3：由数字 1、2、3、4、5、6 可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析与解： 要求奇数，所以个位数字只能取1、3

3、、5 中的一个，有3 种取法；十位数字可以从余下的五个数字中任取一个，有 5 种不同取法； 百位数字还有4种取法； 千位数字只有 3 种取法。由乘法原理，共可组成： 3543 180（个）没有重复数字的四位奇数。家桥学校A B C D G EF 5 8 7 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页学习必备欢迎下载例 4：下图为44 的棋盘，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在棋盘的方格中，并使每行每列只能出现一个棋子。问：共有多少种不同的放法？分析与解 ：四个棋子要一个一个地放，故可看做分四步完成任务，第一步放棋子A

4、，A可以放在16 个方格中的任意一个中，故有16 种不同方法；第二步放棋子B，放 A棋子的一行和一列都不能放B，还剩下9 个方格可以放B，所以 B有 9 种方法；第三步放C，再去掉放 B的行和列，还有4 个方格可以放C，故 C有 4 种放法；最后放D，再去掉C所在的行和列，只剩下一个方格放D了， D只有一种方法，由乘法原理，共有 169 41576（种）不同放法。在解题时应注意加法原理和乘法原理的区别，往往是要综合使用的。例 5 从北京到郑州可以坐飞机，乘火车，还可以乘汽车。一天中有飞机2 班，火车有3 趟，汽车有 5 趟。同一天中从北京到郑州乘坐以上三种交通工具，共有几种不同的走法？分析与解

5、：三种交通工具中的任何一种都可以到达目的地，那么每类交通工具中有几中不同的方法。 （飞机 2 班，火车 3 趟，汽车5 趟）因此，要到达目的地应有235=10 不同的方法。根据此题，得出如下结论：加法原理要完成一种任务有几类办法，在第一类办法中有m1中不同方法；在第二类办法中有m2中不同方法；在第n 类办法中有mn中不同方法。在这些不同的方法中，每一种方法都能独立完成任务，那么完成这一任务共有：N= m1m2 mn。例 6：如图：从甲地到乙地有4 条路可走，从乙地到丙地有2 条路可走，从甲地到丙地有3条路可走。那么，从甲地到丙地共有多少种不同走法？乙甲丙解：从甲地到丙地共有两类不同走法。精选学

6、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页学习必备欢迎下载第一类： 由甲地途径乙地到丙地。这时要分二步走。 第一步， 从甲地到乙地有4 种走法；第二步从乙地到丙地有2 种走法。据乘法原理，从甲地经乙地到丙地共有： 428 种不同走法。第二类：从甲地直接到丙地，有3 种走法。由加法原理，从甲地到丙地若有 8 311 种不同的走法。例 7：有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上标有数字1、2、3、4、5、6，将两个正方体任意放到桌面上，向上一面的两个数字之和为偶数的有多少种情形？解：两个数字之和为偶数，这两个数字的奇偶性必相同，所

7、以分两大类。第一类：两个数字同奇，第一个正方体有3 种可能， 第二个正方体也有3 种可能， 由乘法原理，共有339 种不同的情形。第二类：是两个数字同偶。也有9 种不同的情况。据加法原理：两个正方体向上一面数字之和为偶数。共有： 9918 种不同的情况。基本训练1. 某校六一班有35 人，六二班有40 人，六三班有37 人。从中选1 人去人民大会堂开会，有多少种选法？2. 某校六一班第一小队有12 人，第二小队有11 人，第三小队有13 人。从每个小队中各选1 人去人民大会堂开会，有多少种选法？3. 某人在小学、初中、高中时分别有两个学校可以选择，那么他共有几种不同的由小学读完高中的不同选择方

8、式？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页学习必备欢迎下载4如图所示，三条平行线上分别有两个点、四个点、三个点，且不在同一直线上的三个点一定不共线，在每条直线上各取一点可以画一个三角形，如三角形BEH ，问可以画多少个不同的三角形？A BC D E FG H M5. 由数字 1、2、3、4、 5、6、7、8 可以组成多少个(1) 三位数？(2) 三位偶数？(3) 没有重复数字的三位偶数？(4) 百位有 8 的没有重复数字的三位数？(5) 百位为 8 的没有重复数字的三位偶数？精选学习资料 - - - - - - - -

9、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页学习必备欢迎下载拓展提高1某个地区的电话号码是八位数，如果首位不是0，其余各位上可以是09 这十个数字中的任意一个，不同数位上的数字可以重复，那么，这个地区可以有多少个电话号码？2两位数中个位数字加十位数字的和是双数，这样的两位数一共有多少个？3某公司买了8 辆汽车，这8 辆汽车的钥匙混装在一个纸袋里，要想把每辆汽车的钥匙挑出来，最多要试多少次？奥赛训练1 超市的一个货架上摆放着10 种不同的蔬菜，另一个货架上摆放着8 种不同的水果。如果妈妈从这两个货架中至少选购一种，最多选购两种，一共有多少种不同的选购方法？2 从 130

10、 这三十个自然数中，选出两个数， 使它们的和大于30，一共有多少中不同的选法？3自然数11000 中， “0”这个数字一共出现了多少次？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页学习必备欢迎下载第十二讲简单的排列与组合知识提要1、理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。加法原理： N= m1m2 mn。乘法原理： N= m1m2 mn。排列：mnp= n （n-1 ） （n-2 ）（ n-m+1） （m n）组合：mnc=mnpmmp2、能够应用加法原理、乘法原理、 排列和组合的概念及计算方法解决一

11、些简单的实际问题。经典例题例 1 有四张数字卡片，用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？分析与解：用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4 种选择；第二步选取十位上的数字，可以有3 种选择； 第三步选取个位上的数字，可以有 2 种选择。所以可以组成不同的三位数共有：432=24（个）排列的公式：mnp= n（ n-1 ） （n-2 ）（ n-m+1） （m n）例如用 5、6、7、8、9 组成没有重复数字的四位数，可以组成多少个？mnp= n （n-1 ） （n-2 ）（ n-m+1） （m n）45p=5(5 1)(5 2)(5 4+1)= 5 432=120 例

12、2 有红、黄、粉、紫和蓝色的花各有很多支，现在用三种颜色的花各一支扎成一束，可以扎成多少不同的束？分析与解：从 n 个不同元素中，任意取出m个元素（ m n） ，组成一组，叫做从n 个不同元素取m个元素的一个组合，所组合的个数，叫做组合数。用符号mnc表示。组合的公式：mnc=mnpmmp排列与组合的区别：排列与元素的顺序有关：例如从 7 个人中选出正副组长，两个人有正、副之分。组合与元素的顺序无关：例如从 7 个人中选出两个人去开会，没有正、副之分。因为所扎成的每一束花，与颜色的排列顺序无关，所以是组合问题。35p33p=（543）（ 3 21）= 60 6= 10 答：一共可以扎成10 种

13、不同的花束。5 8 7 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页学习必备欢迎下载例 3 从甲地到乙地的铁路沿线连同甲、乙两站共有10 个车站，那么，火车票应有多少种不同票价？分析与解：因为从 A到 B和从 B到 A火车的票价是相同的，所以是组合问题。210p22p=（109）（ 21） = 902 = 45 答：火车票应有45 种不同票价。例 4 平面上共有7 个点（没有3 个点在同一条直线上） ，通过这些点可以画出多少个三角形或四边形？分析与解：通过这些点画三角形和四边形时，这些点没有顺序关系，所以先根据组合公式分

14、别求出三角形和四边形的个数，再根据加法原理把两种的个数相加。37c+47c= (7 6 5) (3 21) + (765 4)(4 32 1) = 35+35 = 70 答: 可以画出 70 个三角形或四边形。例 5 如图。共有多少个平行四边形？分析与解：根据数长方形个数的方法， “长边” 上 8 个点中选两个点的组合乘以宽边上6 个点中两个点的组合。28c26c= (8 7) (21) (6 5) (2 1) =2815 =420 答: 共有 420 个平行四边形。基本训练1. 一次乒乓球比赛，最后有6 名选手进入决赛，如果赛前写出冠、亚军名单，可以写出多少种？2. 在一张纸上有9 个点，没

15、有三个点在一条直线上。通过这些点一共可以画出多少条线段？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页学习必备欢迎下载3. 第三小队共有队员12 人，要选出正、副小队长各一人，选出的结果可以有多少种不同的情况？4. 六一班有40 名同学，现在要选派2 名同学参加国庆活动，共有多少种不同的选法？5.小红有 4 件不同花色的衬衫，有 3 条不同样式的裙子，如果用一件衬衫和一条裙子搭配成一套，一共可以搭配成多少套？6.学校食堂今天中午的主食有：米饭、馒头、花卷和烙饼，炒菜有：炒芹菜、炒肉片、炒三丁、炒豆角和红烧肉。张老师要买一种主食

16、和一种炒菜作为中午饭，张老师可以有多少种不同的买法？拓展提高1. 用 0、1、2、 3、4、5、6 写出没有重复数字的四位数，可以写出多少个？2.用 0、1、2、3、4 写出没有重复数字的两位数、三位数和四位数，一共可以写出多少个？3. 六一班的图书角现在有6 本科技书， 有 8 本故事书， 有 3 本词典， 小刚想借其中的一本，一共可以有多少种不同的借法？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页学习必备欢迎下载4.有 6 名学生和班主任老师照相留念，分成两排，前排 3 人，后排 4 人，班主任要站在前排中间。他们一共有

17、多少种不同的排法？5. 有 7 名学生毕业前照相留念，分成两排，前排3 人，后排 4 人，张刚说： “我不站在后排的边上。” 。他们一共有多少种不同的排法？6. 有 1 克、 2 克、 4 克、 8 克、 16 克的砝码各一个，只选用其中的两个砝码，在天平上能称出多少种不同重量的物体？奥赛训练1. 一张纸上共画有10 个点，其中有3 个点在一条直线上，以这些点为三角形的顶点，一共可以画出多少个三角形？2.有 1 分、 2 分、 5 分、 1 角、 5角和 1 元的硬币各一枚，共可以组成多少种不同币值？. . . . . . . . . . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

18、归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页学习必备欢迎下载第十三讲巧求面积知识提要1、掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形这些直线形图形的特征：2、理解和掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导过程：正方形面积 =边长边长 =a2，长方形面积 =长宽 =ab，平行四边形面积=底高 =ah，三角形面积 =底高 2=2ah梯形面积 =（上底下底）高2=2)(hba经典例题例 1 算出下面每个图形中阴影部分的面积. （已知大正方形边长10 厘米，小正方形边长6厘米）分析与解：（ 610） 6 2 662 （106） 102 =48（平方厘米） =18(平方

19、厘米 ) =80（平方厘米）例 2 小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知大正方形的边长10 厘米，小正方形的边长 6 厘米，求阴影部分的面积。分析与解：方法 1：两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。102+62（ 10102）（ 10+6） 62=38（平方厘米）。方法 2：添加辅助线GB ，三角形 BDG 与三角形GBF的面积之和就等于阴影部分的面积。（10-6 ） 102662=38（厘米2）答：阴影部分的面积是38 平方厘米。图二a h a b h a a h a b a 图三图二图一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

20、纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页学习必备欢迎下载例 3 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形分析与解：方法 1：如下图 1，先将 BC四等分，即BD=DE=EF=EC，连结 AD 、AE 、AF得到四个等积三角形，即 ABD 、 ADE 、 AEF 、 AFC 。方法 2：如下图 2，先将 BC二等分，分点D、连结 AD ，得到两个等积三角形，即ABD与 ADC等积然后取AC 、AB中点 E、F，并连结DE 、DF以而得到四个等积三角形，即ADF 、 BDF 、 DCE 、 ADE等积方法 3：如下图 3，先将 BC四等分， 即 BD等于四分之

21、一BC ，连结 AD，再将 AD三等分，即 AE=EF=FD ，连结 CE 、CF，从而得到四个等积三角形，即ABD 、 CDF 、 CEF 、 ACE等积图 1 图 2 图 3 想一想：你还有其他方法吗？从上面例题得到下面结论：等底等高的两个三角形面积相等底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍例 4 如右图，在梯形ABCD 中， AC与 BD是对角线，其交点O ，求证： AOB与 COD 面积相等分析与解：证明：

22、 ABC与 DBC等底等高，SABC=S DBC 又 SAOB=S ABC SBOC SDOC=S DBC S BOC SAOB=S COD 等量减等量所得的差相等。F E D C B A E F D C B A F E D C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页学习必备欢迎下载例 5 一个三角形的底长5 米，如果底延长1 米，那么面积就增加1.5平方米， ( 如图 ) ，那么原来三角形的面积是多少平方米? 分析与解：方法 1：已知阴影三角形的面积和底，根据三角形面积公式就能求出三角形的高，也就是原三角形

23、的高，又知道原三角形的底，从而求出原三角形的面积。152 1=3（米） 532=7.5 （平方米）答：原来三角形的面积是7.5 平方米。方法 2：已知原三角形的底是阴影三角形的底的5 倍， 所以原三角形的面积就是阴影三角形面积的 5 倍。 155=7.5 （平方米）例 6 如右图，已知在ABC中， BE=3AE ，CD=2AD 若 ADE的面积为 1 平方厘米求三角形ABC的面积分析与解：方法 1：连结 BD ，在 ABD中 BE=3AE， SABD=4S ADE=4 （平方厘米）在 ABC中， CD=2AD ， SABC=3S ABD=3 4=12（平方厘米）方法 2：连结 CE ，如右图所

24、示，在ACE中， CD=2AD ， SACE=3S ADE=3 （平方厘米）在 ABC中， BE=3AE SABC=4S ACE =4 3=12（平方厘米）例 7 如右图， ABCD为平行四边形，EF平行 AC ，如果 ADE的面积为4 平方厘米求三角形CDF的面积分析与解：解：连结AF 、CE， S ADE=S ACE ；SCDF=S ACF ；又 AC与 EF平行， SACE=S ACF ； SADE=S CDF=4 （平方厘米）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 25 页学习必备欢迎下载例 8 如右图，在平行四边形A

25、BCD 中，直线CF交 AB于 E，交 DA延长线于F，若 SADE=1 ，求 BEF的面积分析与解：解：连结AC ， AB/CD， SADE=S ACE 又 AD/BC， SACF=S ABF 而 SACF=S ACE+S AEF ，SABF=S BEF+S AEF SACE=S BEF SBEF=S ADE=1 基本训练1选择题 （有且只有一个正确答案）：（1）如下左图，在ABC中， D是 BC中点， E是 AD中点，连结BE 、 CE ，那么与 ABE等积的三角形一共有_个（A）0 个 （B）1 个（C）2 个 （D）3 个（2）如上右图，在平行四边形ABCD中， EF平行 AC ，连结

26、 BE 、AE 、CF 、 BF那么与 BEC等积的三角形一共有_个（A）0 个 （B）1 个（C）2 个 （D）3 个（3）如下左图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有_对（A）0 对 （B）1 对（C）2 对 （D）3 对（4）如上右图，是一个长方形花坛，阴影部分是草地，空地是四块同样的菱形，那么草地与空地面积之比是_（A）11 （B）11.1 （C）11.2 （D）11.4 2填空题：（1）如下左图， A、B两点是长方形长和宽的中点，那么阴影部分面积占长方形面积的_（2）如上右图，平行四边形ABCD的面积是 40 平方厘米，图中阴影部分的面积是_精选学习资料 -

27、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 25 页学习必备欢迎下载（3）如下左图，正方形ABCD 的面积为1 平方厘米， SBEG SCEG=2 1，SCFG SDFG=1 1，那么这四个小三角形面积之和_（4） 如上右图， 在 ABC中， EF平行 BC ， AB=3AE ， 那么三角形甲、 乙、丙面积的连比是_拓展提高1. 如图 1，在边长为6 厘米的正方形内有一个三角形BEF ，已知线段AE=3厘米， DF=2厘米，求阴影部分的面积是多少？2. 左下图是一块长方形草地，长方形的长是160 米，宽是102 米。中间有两条道路，一条是长方形，

28、 一条是平行四边形，那么有草部分的面积等于多少平方米？3. 如图，梯形的下底为8 厘米，高为4 厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？4. 如图，四边形ABCD 是长方形， A、D、E、F在同一条直线上。AB 7，BC5，DG 3。求 DE的长。A G E D C B F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页学习必备欢迎下载5. 如图，正方形 ABCD与长方形AEFG 重叠放在一起， 已知 AB=4厘米，BE=3厘米，AE=5厘米。请你计算出长方形AEFG的面积。6. 如图，三角形ABC的面积是144 平方厘米， BD

29、 18 厘米， DC 6 厘米， AE 10 厘米， EC 5 厘米。求三角形ADE的面积。奥赛训练1. 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形。A E C D B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 25 页学习必备欢迎下载第十四讲用等量代换求面积知识提要一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理， 后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽

30、的关系明朗化，找到解题思路。经典例题例 1 两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。分析与解：阴影部分是一个高为3 厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形 DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等， 即阴影部分与直角梯形OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC 的面积。直角梯形OEFC的下底和高已知,所以求出上底即可。上底 OC ：10-3=7 （厘米），面积：（7+10） 2 2=17（平方厘米）。答：阴影部分的面积是17 平方厘米。例 2 在右图中， 平

31、行四边形ABCD 的边 BC长 10 厘米， 直角三角形ECB的直角边 EC长 8 厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大 10 厘米2，求平行四边形ABCD的面积。分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10 厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10 厘米2，所以平行四边形ABCD 的面积等于：1082+10=50（平方厘米）。答：平行四边形ABCD 的面积是50 平方厘米。例 3 在下图中， AB=8厘米， CD=4厘米， BC=6厘米，三角形AFB比三角形 EFD的面积大18 厘米2。求

32、ED的长。分析与解：求 ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18 厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB 后，其差不变，所以梯形 ABCD 比三角形 ECB的面积大 18 厘米2。也就是说， 只要求出梯形ABCD 的面积， 就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。梯形 ABCD 面积：（ 8+4） 62=36（厘米2） 三角形 ECB面积： 36-18=18 （厘米2）EC ：1826=6（厘米） ED：6-4=2 （厘米）答： ED长 2 厘米。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

33、纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页学习必备欢迎下载例 4 如下图， ABCD是 74 的长方形， DEFG 是 102 的长方形，求三角形 BCO与三角形 EFO的面积之差。分析与解：直接求出三角形BCO 与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。方法 1：连结 B， E（见下左图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO ，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。SBEC ： 4（ 107） 2=6 SBEF ： 2（ 107） 2

34、=3 差： 6 3=3 图 1 图 2 图 3 图 4 方法 2：连结 C，F（见上右图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO ，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。S BCF ： 4（ 107） 2=6 S ECF ： 2（ 107） 2=3 差： 63=3 方法 3：延长 BC交 GF于 H （见左下图）。三角形BCO 与三角形EFO都加上梯形COFH ，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形 CEFH的面积之差。S BHF ：（ 4+2）（ 107） 2=9 矩形： 2（ 10 7）=6 差： 96=3 方法 4：延长 AB ，FE交于 H （见上右图）。

35、三角形BCO 与三角形EFO都加上梯形BHEO ，则原来的问题转化为求矩形BHEC 与直角三角形BHF的面积之差。矩形： 4（ 10 7）=12 S BHF ：（ 107）（ 4+2） 2=9 差： 129=3 例 6 左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4 厘米，求三角形ABC的面积。分析与解：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD （见上右图），可以看出，三角形 ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分， 所以去掉这个公共部分，根据

36、差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积。442=8（厘米2）答：三角形ABC的面积是8 平方厘米。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页学习必备欢迎下载基本训练1. 如右图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。2. 在右图的三角形中，D， E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。3. 图中，矩形ABCD 的边 AB为 4 厘米， BC为 6 厘米，三角形 ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求

37、ED的长。4. 如图中， CA=AB=4 厘米，三角形ABE比三角形 CDE的面积大2 厘米2，求 CD的长。5. 如图，平行四边形ABCD的面积是 120 平方厘米， BE 3AE ，BF2DF 。求三角形DEF的面积。A F E D C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页学习必备欢迎下载拓展提高1. 如图， ABCD 是梯形，对角线AC和 BD相交于 O ，三角形ABD的面积是12 平方厘米，三角形 ADB的面积比三角形COD 的面积少15 平方厘米。求梯形ABCD 的面积。2. 如图，四边形ABCD是边

38、长 12 厘米的正方形，E、F 分别是 BC和 CD的中点， DE和 BF相交于 O。求四边形ABOD 的面积。奥赛训练1. 如图， ABC中， AD ：DB=2 ：1，BE ：EC=3 ：1，CF：FA=4：1，那么 DEF是 ABC的面积的几分之几？CEFDBAA O D C B A O F E D C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页学习必备欢迎下载第十五讲用长方形图巧解题知识提要用长方形图来表示数量关系，可以使抽象的数量更加形象、具体，可以帮助我们分析解答应用题，这一讲我们就来学习画长方形图解应用题

39、的方法。经典例题1、用长方形图巧计算例 1 计算： 1999 2105-1993 2108 分析与解：计算时如果硬算就会感到比较复杂，但如果我们把它放在一个长方形图中，就会使计算简便。从图中可知：两个长方形的面积差就等于两个涂色部分的小长方形面积的差。所以： 19992105-1993 2108 =（1999-1993 ） 2105- （2108-2105 ） 1993 =62105-3 1993 =12630-5979 =6651例 2 计算：10241641321161814121分析与解：计算时可引用正方形图来分析：10241641321161814121=1-10241=1024102

40、3214181161精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页学习必备欢迎下载2、画长方形图解“平均数”问题例 3 甲种糖每千克8.8 元， 乙种糖每千克7.2 元， 用 5 千克甲种糖与多少千克乙种糖混合后，能使混合糖每千克8.2 元？分析与解：我们画两个长方形来表示甲、乙两种糖的数量、单价和总价。在上图长方形ABED中， AB表示甲种糖有 5 千克， AD表示甲种糖的单价是8.8元，它的面积表示甲种糖的总价；长方形BCGF中， BC表示乙种糖的千克数，CG表示乙种糖每千克7.2 元，它的面积表示乙种糖的总价。 AH

41、、CJ表示两种糖平均后单价 8.2 元。在平均过程中， 甲种糖多出的价钱补给了乙种糖，所以长方形DEIH与 IJGF 的面积是相等的。经过平均，甲种糖单价由8.8 元变为 8.2 元降低了 0.6 元， 所以长方形DEIH 的宽是 0.6 ，它的长是5，因此面积是3。长方形 IJGF 的面积为3，宽为 8.2 7.2=1 ，所以长BC为 31=3。即 5 千克甲种糖与3 千克乙种糖混合后，混合糖每千克8.2 元。例 4 某校有 60 名学生参加区里举行的数学竞赛，平均分是 63 分，其中参赛的男选手平均成绩为 60 分，女同学平均成绩为70 分，那么该校参赛的男同学比女同学多多少人？分析与解：

42、画长方形图来表示题目中的数量关系（如右图） 。长方形 ABCD 的长 AB表示共有60 人参赛，宽 AD表示所有参赛同学的平均成绩63 分，它的面积表示所有参赛选手的总分。长方形AEFG表示所有参赛女生的总分，长方形 EBJI 表示所有参赛男生的总分，这两个长方形的面积和应该也表示全体参赛同学的总分，即与长方形ABCD的面积相等。 图中空白部分是它们公有的，所以阴影长方形（1） 、 （2）面积相等。长方形（ 1） 、 （2）面积相等，它们宽GD ：HI=（7063） ： （6360）=7：3，它们长 AE ：EB=3 ：7，AB长为 10 份， 10 份为 60 人，每份为6010=6（人）

43、，男生比女生多73=4 份，所以男生比女生多64=24（人） 。答：参赛的男同学比女同学多24 人。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 25 页学习必备欢迎下载3、画长方形图解“盈亏问题”例 5 数学奥林匹克学校招收了一批新生，准备把这批新生编成几个班。若每班55 人，则还可以再招 30 名新生；若每班50 人，则还可以再招10 名新生。请问现在招了多少名新生？分析与解：若每班 55人，则还可以再招 30名新生，说明最后一个班只有5530=25 （人） 。若每班 50人，则还可以再招 10名新生，说明最后一个班只有5010

44、=40 （人） 。如下图长方形ABEF来表示按每班50 人，排满若干班的人数，而长方形BCDE 表示剩下的 40 人，这两个长方形的面积之和表示这批新生的总人数；长方形ABHG 表示按每班55人，排满若干班的人数，而长方形 BEIJ 表示剩下的25 人，它们的面积之和也表示这批新生的总人数。因为新生的总人数是固定的，所以图中两个阴影长方形的面积相等。长方形 JCDI 表示 4025=15（人） ；长方形 FEHG 也表示 15 人，它的宽为5550=5（人） ，所以长为155=3。即可以排满共有3 个班。所以共有50340=190（人）。答：现在招了190 名新生。例 6 解放军某部赶往长江干

45、堤支援抗洪。计划每辆汽车乘30 人，剩下3 人随意搭乘在某辆车上。但由于另有紧急任务，调走了一辆汽车，这样只好改为每辆汽车乘坐34 人，剩下 5 人随意搭乘在各辆车上。请问原来有多少辆汽车？共派出多少名解放军战士去抗洪？分析与解：画长方形图来表示数量之间的关系。图中长方形ADGJ的面积表示每车30 人，坐满原有车的人数，DEFG表示剩下的3 人，两个长方形的面积之和表示总人数；长方形 ABLK的面积表示每车34 人，坐满现有车的人数，BCHI 表示剩下的5 人，它们的面积之和也表示总人数； 由于总人数没变， 所以两个面积之和是相等的，除去它们共有的空白部分，两块阴影的面积也是相等的。长方形 B

46、EFI 的面积表示33 人， 从中减去 5 人， 就是 CEFH 表示的人数为33 5=28 （人） 。长方形 JILK 的面积也表示28 人，它的宽为3430=4，长为 284=7。即表示有7 辆汽车。解放军战士有：34 75=243（人）答：共派出243 名解放军战士。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 25 页学习必备欢迎下载4、画长方形图解“鸡兔同笼”问题例 7“希望小学”100 名师生参加植树活动，共植树175 棵，教师每人植4 棵树，学生每两人植 3 棵树。参加植树的教师和学生各有多少人？分析与解：根据图意我们

47、可以画长方形图来表示数量关系，如下图：AB表示教师人数，BC表示学生人数， AC表示一共有100 人； AD表示教师每人植树4 棵， CG表示学生每人植树棵数，因为每两人植3 棵，所以每人植1.5 棵；两个长方形的面积之和表示共植树175 棵。如图 1，假设师、生每人都植树1.5 棵，延长GF交 AD边于 H， ，长方形 ACGH 的面积表示假设每人都植树1.5 棵时， 100 人植树棵数。长方形 ACGH 表示植树1.5 100=150（棵）长方形 DEFH表示教师多植树175150=25（棵）教师有 25（ 41.5 ） =10（人）学生有 10010=90（人） 。基本训练1. 计算：

48、1234567812335679 2. 某班级一次考试的平均分是80 分，其中及格人数是不及格人数的5 倍，及格同学的平均分是 85 分，那么不及格同学的平均分是多少？3. 在一个停车场上，现有的车辆数恰好是24，其中汽车有4 个轮子，摩托车有3 个轮子，这些车共有86 个轮子，那么，三轮摩托车有多少辆？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 25 页学习必备欢迎下载4. 有一些糖，如果每人分5 块则余 10 块；如果现有的人数增加到原来的1.5 倍，那么每人分 4 块则少 2 块。这些糖共有多少块？5. 水果店运来橘子、苹果

49、和梨一共80 箱，共重1164 千克。每箱橘子重12 千克，每箱苹果重 16 千克，每箱梨重14 千克，已知苹果和梨的箱数相同。运来橘子、苹果和梨各多少箱？6.A、B两地相距650 千米，某车从A第开往 B地，共行了14 小时。已知在平原上每小时行55 千米，在山区每小时行40 千米。汽车在平原和山区各行了几小时？拓展提高1. 某校五年级举行英语竞赛，所有参赛同学的平均成绩是80 分，已知男同学的平均成绩是77 分，女同学的平均成绩是85 分，已知参赛的男同学比女同学多25 人，求该校五年级共有多少名学生参加了英语竞赛？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

50、 - - - -第 24 页，共 25 页学习必备欢迎下载2. 学校规定早晨7:30 到校，小刚从家出来时，看看剩下的时间，心里计算了一下：若每分钟走 60 米，要迟到5分钟；若每分钟走90 米，能提前5 分钟。他想按时到校，请你帮他计算一下，每分钟要走多少米？3. 一只螃蟹有10 只脚，蜻蜓有6 只脚， 2 对翅膀；螳螂有6 只脚， 1 对翅膀。现在有螃蟹、蜻蜓、螳螂共37 只，合计有脚250 只，翅膀 32 对。求螃蟹、蜻蜓、螳螂各有多少只？奥赛训练1. 小明每天早晨6：50 从家出发， 7：20 准时到校。老师要求他每天提早6 分钟到校。如果小明明天早晨还是6： 50 从家出发，那么每分钟必须比往常多走25 米，才能按老师的要求准时到校。问：小明家距学校多少米？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 25 页