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1、一、指数的性质(一)整数指数幂1整数指数幂概念:annaaaa个)(Nn010aa10,nnaanNa2整数指数幂的运算性质: (1),mnm naaam nZ(2),nmmnaam nZ(3)nnnababnZ其中mnmnm naaaaa,1nnnnnnaaa babbb3a的n次方根的概念一般地,如果一个数的n次方等于aNnn, 1,那么这个数叫做a的n次方根,即:若axn,则x叫做a的n次方根,Nnn, 1例如: 27 的 3 次方根3273,27的 3 次方根3273,32 的 5 次方根2325,32的 5 次方根2325说明:若n是奇数,则a的n次方根记作na; 若0a则0na,
2、若oa则0na;若n是偶数,且0a则a的正的n次方根记作na,a的负的n次方根,记作:na;(例如:8 的平方根22816 的 4 次方根2164)若n是偶数,且0a则na没意义,即负数没有偶次方根;Nnnn, 10000n;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页式子na叫根式,n叫根指数,a叫被开方数。nnaa4a的n次方根的性质一般地,若n是奇数,则aann;若n是偶数,则00aaaaaann5例题分析:例 1求下列各式的值:( 1)338( 2)210( 3)443( 4)baba2解:略。例 2已知,0baNn
3、n, 1,化简:nnnnbaba解:当n是奇数时,原式ababa2)()(当n是偶数时,原式abaabbaba2)()(|所以,nnnnbaba22anan为奇数为偶数例 3计算:407407解:40740752)25()25(22例 4求值:54925解:54925425254549252)(4526225252154152)(二)分数指数幂1分数指数幂:10510250aaaa12312430aaaa即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式;如果幂的运算性质(2)nkknaa对分数指数幂也适用,例如: 若0a,则3223233aaa,4554544aaa, 2323
4、aa4545aa即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。规定: (1)正数的正分数指数幂的意义是0,1mnmnaaam nNn;(2)正数的负分数指数幂的意义是110,1mnmnmnaam nNnaa2分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页即10, ,rsrsa aaar sQ20, ,srrsaaar sQ30,0,rrraba babrQ说明: (1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用;(2) 0 的正分数指数
5、幂等于0,0 的负分数指数幂没意义。3例题分析:例 1 用分数指数幂的形式表示下列各式ao:2aa,332aa,a a. 解:2aa=11522222aaaa;332aa=211333aaa;a a=1113322224a aaa 例 2计算下列各式的值(式中字母都是正数)(1)211511336622263a ba ba b;(2)83184m n;解( 1)211511336622263a ba ba b=21111 532623 6263ab=044aba;(2)83184m n=883184mn=2233mm nn例 3计算下列各式:( 1)3451255(2)2320aaaa解: (
6、1)3451255=231324555=213134245555=5512455=512455 5;(2)232aaa=526562132aaaa a(三)综合应用例 1化简:11555xxx.解:11555xxx=15(1525)x=131 5x=3155x.例 2化简:)()(41412121yxyx.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页解:11112244()()xyxy111111444444()()()xyxyxy1144xy评述:此题注重了分子、 分母指数间的联系,即21241)(xx,由此联想到平方差公
7、式的特点,进而使问题得到解决。例 3已知13xx,求下列各式的值: (1)1122xx; (2)3322xx.解: (1)11222()xxQ1111222222()2()xx xx112xx325,11225xx,又由13xx得0x,11220xx,所以11225xx.(2) (法一)3322xx113322)()xx(11111122222222()()() xxxx xx11122()()1xxxx5(31)2 5,(法二)33222()()xx3333222222()()2xxxx332xx而33xx122()(1)xxxx112()()3xxxx23(33)1833222()20xx
8、,又由130xx得0x,33220xx,所以3322202 5xx. 二、指数函数1指数函数定义:一般地,函数xya(0a且1a)叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R2指数函数xya在底数1a及01a这两种情况下的图象和性质:1a01a图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页性质(1)定义域:R(2)值域:(0,)(3)过点(0,1),即0x时1y(4)在R上是增函数( 4)在R上是减函数例 1求下列函数的定义域、值域:(1)1218xy(2)11( )2xy(3)3xy( 4)1(0,1)1xxayaaa解
9、: (1)210xQ12x原函数的定义域是1,2x xR x,令121tx则0,ttR8 (,0)tytR t得0,1yy,所以,原函数的值域是0,1y yy(2)11( )02xQ0x原函数的定义域是0,,令11( )2xt(0)x则01t,ytQ在0,1是增函数01y,所以,原函数的值域是0,1(3)原函数的定义域是R,令tx则0t,3tyQ在,0是增函数,01y,所以,原函数的值域是0,1(4)原函数的定义域是R,由1(0,1)1xxayaaa得11xyay,0xaQ101yy,11y,所以,原函数的值域是1,1说明:求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。例 2当1a时,证明
10、函数11xxaya是奇函数。证明:由10xa得,0x,故函数定义域0x x关于原点对称。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页1()1xxafxa(1)(1)xxxxaaaa11xxaa( )f x()( )fxfx所以,函数11xxaya是奇函数。例 3设a是实数,2( )()21xf xaxR,(1)试证明:对于任意,( )a f x在R为增函数;(2)试确定a的值,使( )f x为奇函数。分析: 此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。(1)证明:设121
11、2,x xR xx,则12()()f xf x1222()()2121xxaa21222121xx12122(22 )(21)(21)xxxx,由于指数函数2xy在R上是增函数,且12xx,所以1222xx即12220xx,又由20x,得1120x,2120x,所以,12()()0f xf x即12()()f xf x因为此结论与a取值无关,所以对于a取任意实数,( )f x在R为增函数。评述:上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性。(2)解:若( )f x为奇函数,则()( )fxf x,即22()2121xxaa变形得:2 222(21)2(21) 22121xx
12、xxxxa,解得:1a,所以,当1a时,( )f x为奇函数。三、对数的性质1对数定义:一般地,如果a(10aa且)的b次幂等于N, 就是Nab,那么数b叫做 a 为底N 的对数,记作bNalog,a 叫做对数的底数,N 叫做真数。即baN,logaNbaNb指数式Nab底数幂指数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页对数式bNalog对数的底数真数对数说明: 1在指数式中幂N 0,在对数式中,真数N 0 (负数与零没有对数)2对任意0a且1a, 都有01alog 10a,同样:log1aa3如果把baN中的b写成lo
13、gaN, 则有logaNaN(对数恒等式) 2对数式与指数式的互换例如:24164log 16221010010log1002124241log 222100.0110log0.012例 1将下列指数式写成对数式:(1)4525;(2)61264;(3)327a;( 4)15.373m解: (1)5log 6254;(2)21log664;(3)3log 27a;(4)13log 5.37m3介绍两种特殊的对数:常用对数:以10 作底10logN写成lg N自然对数:以e作底为无理数,e= 2.71828,logeN写成ln e例 2 (1)计算:9log 27,345log625解:设x9l
14、og 27则27xa,2333x, 32x;令x3 45log625,345625x, 44355x, 5x(2)求x 的值:33log4x;2221log3211xxx解:3441327x;22232121200,2xxxxxxx但必须:2222102113210xxxx,0x舍去,从而2x(3)求底数:3log 35x,7log 28x解:3535353(3)x533x;77888722x, 2x4对数的运算性质:如果a 0 , a 1, M 0 , N 0,那么(1)log ()loglogaaaMNMN;(2)loglog- logaaaMMNN;精选学习资料 - - - - - -
15、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页(3)loglog()naaMnM nR例 3计算:(1)lg1421g18lg7lg37;(2)9lg243lg;(3)2. 1lg10lg38lg27lg解: (1)解法一:18lg7lg37lg214lg2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20;解法二:18lg7lg37lg214lg27lg14lg()lg 7lg183=18)37(714lg2lg10;(2)253lg23lg53lg3lg9lg243lg25;(3)2 .1lg10lg38
16、lg27lg=11332223(lg32lg 2 1)lg(3 )lg 23lg10323 2lg32lg 2 12lg105换底公式:logloglogmamNNa( a 0 , a 1 ;0,1mm) 证明:设logaNx,则xaN,两边取以m为底的对数得:loglogxmmaN,loglogmmxaN,从而得:aNxmmloglog,aNNmmalogloglog说明:两个较为常用的推论:(1)loglog1abba;(2)loglogmnaanbbm(a、0b且均不为1) 证明: (1)1lglglglgloglogbaababba;(2)lglglogloglglgmnnamabnb
17、nbbamam例 4计算:(1)0.21 log35;(2)4492log 3 log 2log32解: (1)原式= 0.251log3log3555151553;(2) 原式= 2345412log452log213log21232例 5已知18log9a,185b,求36log45(用a, b 表示) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页解:18log9a,a2log1218log1818,18log21a,又185b,18log5b,aba22log15log9log36log45log45log181818
18、181836例 6设1643tzyx,求证:yxz2111证明:1643tzyx,6lglg4lglg3lglgtztytx,yttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11例 7若8log 3p,3log 5q,求lg 5解:8log 3p,)5lg1(32lg33lg33log2ppp,又q3lg5lg5log3,)5lg1(33lg5lgpqq,pqpq35lg)31(pqpq3135lg四、对数函数1对数函数的定义:函数xyalog) 10(aa且叫做对数函数。2对数函数的性质:(1)定义域、值域:对数函数xyalog) 10(aa且的定义域为),0(,值域为),((2
19、)图象:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于xy的对称图形,即可获得。同样:也分1a与10a两种情况归纳,以xy2log(图 1)与xy21log(图 2)为例。1 1 2xy2logyxyx(图 1)1 1 1( )2xy12logyxyx(图 2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页(3)对数函数性质列表:图象1a01a性质(1)定义域:(0,)(2)值域:R(3)过点(1,0),即当1x时,0y(4)在( 0,+)上是增函数( 4)在(0,)上是减函数例 1求下列函数
20、的定义域:(1)2logxya;(2))4(logxya;(3))9(log2xya分析:此题主要利用对数函数xyalog的定义域(0,)求解。解: (1)由2x0 得0x,函数2logxya的定义域是0x x;(2)由04x得4x,函数)4(logxya的定义域是4x x;(3)由 9-02x得-33x,函数)9(log2xya的定义域是33xx例 2比较下列各组数中两个值的大小:(1)2log 3.4,2log 8.5;(2)0.3log1.8,0.3log2.7;(3)log 5.1a,log 5.9a. 解: (1)对数函数2logyx在(0,)上是增函数,于是2log 3.42log
21、 8.5;(2)对数函数0.3logyx在(0,)上是减函数,于是0.3log1.80.3log2.7;(3)当1a时,对数函数logayx在(0,)上是增函数,于是log 5.1alog 5.9a,当1oa时,对数函数logayx在(0,)上是减函数,于是log 5.1alog 5.9a例 3比较下列比较下列各组数中两个值的大小:(1)6log 7,7log 6;(2)3log,2log 0.8;(3)0.91.1,1.1log0.9,0.7log0.8;(4)5log 3,6log 3,7log 3解: (1)66log 7log 61,77log 6log 71,6log 77log 6
22、;(2)33loglog 10,22log 0.8log 10,3log2log 0.8(1,0)(1,0)1x1xlogayxlogayx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页(3)0.901.11.11,1.11.1log0.9log10,0.70.70.70log1log0.8log0.71,0.91.10.7log0.81.1log0.9(4)3330log 5log 6log 7,5log 36log 37log 3例 4已知log4log 4mn,比较m,n的大小。解:log4log 4mn,4411lo
23、glogmn,当1m,1n时,得44110loglogmn,44loglognm, 1mn当01m,01n时,得44110loglogmn,44loglognm, 01nm当01m,1n时,得4log0m,40log n,01m,1n, 01mn综上所述,m,n的大小关系为1mn或 01nm或01mn例 5求下列函数的值域:(1)2log (3)yx; (2)22log (3)yx; (3)2log (47)ayxx(0a且1a) 解: (1)令3tx,则2logyt,0t, yR,即函数值域为R(2)令23tx,则03t,2log 3y, 即函数值域为2(,log3(3)令2247(2)33
24、txxx,当1a时,log 3ay, 即值域为log3,)a,当01a时,log 3ay, 即值域为(,log3a例 6判断函数22( )log (1)f xxx的奇偶性。解:21xx恒成立,故( )f x的定义域为(,),22()log (1)fxxx221log1xx222221log(1)xxxx22log1( )xxf x,所以,( )f x为奇函数。例 7求函数2132log (32)yxx的单调区间。解:令223132()24uxxx在3,)2上递增,在3(,2上递减,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页又2320xx,2x或1x,故232uxx在(2,)上递增, 在(,1)上递减,又132logyu为减函数,所以,函数2132log (32)yxx在(2,)上递增,在(,1)上递减。例 8若函数22log ()yxaxa在区间(,13)上是增函数,a的取值范围。解:令2( )ug xxaxa,函数2logyu为减函数,2( )ug xxaxa在区间(,13)上递减,且满足0u,132(13)0ag,解得22 32a,所以,a的取值范围为22 3, 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页