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1、优秀学习资料欢迎下载长沙市一中20XX 届第三次模拟试卷理科数学一选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 函数21xy的定义域是()A0),B1),C(0),D(1),2有下列四个命题,其中真命题是()A2,nnnRB,nmm nmRRC2,nmmnRRD2,nnnR3 已知三棱柱的三视图如下图所示,其中俯视图为正三角形,则该三棱柱的体积为()A12 3B27 3C36 3D6 4函数 f(x)=ln | (0)1(0)xxxx的图象大致是()5已知ABP 的顶点 A、B 分别为双曲线22:1169xyC的左、右焦点,顶点P
2、 在双曲线C上,则|sinsin|sinABP的值等于A74B4 77C45D546我市某机构调查小学生课业负担的情况,设平均每人每天做作业时间为x(单位:分钟 ),按时间分下列四种情况统计:030 分钟; 3060 分钟; 6090 分钟; 90 分钟及90 分钟以上, 有 1 000 名小学生参加了此项调查,下图是此次调查的流程图,已知输出的结果是 600,则平均每天做作业时间在060 分钟内的学生的频率是( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页优秀学习资料欢迎下载A0.20 B0.40 C0.60 D0.8
3、0 7已知 0a1,0b1,则函数2( )log2 log8abf xxbxa的图象恒在x 轴上方的概率为()A14B34C13D238已知 f(x) 是 R 上的偶函数, 当 x0 时, f (x)= 1222xx,又 a 是函数 g (x) =2ln(1)xx的正零点,则f( 2) ,f(a) ,f(1.5)的大上关系是()A(1.5)( )( 2)ff afB( 2)(1.5)( )fff aC( )(1.5)( 2)f affD(1.5)( 2)( )fff a二、填空题(本大题共7 小题,每小题5 分,共 35 分,把答案填在答题卡对应题号后的横线上)9用 0.618 法确定的试点,
4、则经过次试验后,存优范围缩小为原来的0.6184 倍10在等差数列an 中,若 a2+a4+a6+a8+a10=80,则7812aa的值为11已知复数1231 2 ,1,34zi zi zi,它们在复平面上所对应的点分别为A,B,C,若( ,)OC OA OB R,则 的值是12在极坐标系中,和极轴垂直相交的直线l 与圆4相交于 A、B 两点,若 |AB|=4 ,则直线 l 的极坐标方程为13在计算机的运行过程中,常常要进行二进制数与十进制数的转换与运算如:十进制数8 转换成二进制是1000,记作 8(10)=1000(2) ;二进制数111 转换成十进制数是7,记作111(2)=7(10)
5、二进制的四则运算,如:11( 2)+101(2)=1000(2) ,请计算: 11( 2)111(2)+1111(2)= (2) 14,xx且0R不等式1| |5| 1xax恒成立,则实数a 的取值范围是15设集合M=1 ,2,3, 4,5,6,对于 ai,biM,记iiiaeb且iiab,由所有ie组成的集合设为: A=e1 ,e2, ek ,则 k 的值为;设集合 B=1Aiiiie |e,ee,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页优秀学习资料欢迎下载对任意 eiA,jeB,则ijee的概率为三、解答题(本大题共
6、6 小题,共75 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16 (本大题满分12 分)上海世博会在游客入园参观的试运营阶段,为了解每个入口的通行速度,在一号入口处随机抽取甲、乙两名安检人员在一小时内完成游客入园人数的8 次记录,记录人数的茎叶图如下:(1)现在从甲、乙两人中选一人担任客流高峰阶段的安检员, 从统计学的角度考虑,你认为选派哪位安检员参加合适?请说明理由;(2)若将频率视为概率,甲安检员在正式开园的一个工作日的 4 小时内 ,每个单位小时段安检人数高于80 人的次数记为,求的分布列及数学期望E17 (本大题满分12 分)已知函数f (x) = 2sin23cos21,.4xxxR
7、(1)若函数h (x) = f (x + t) 的图象关于点,06对称,且t(0,),求 t 的值;(2)设 p:x,42,q:|f (x) m| 3,若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页优秀学习资料欢迎下载18 (本大题满分12 分)如图 1 所示,圆 O 的直径 AB = 6 ,C 为圆周上一点,BC = 3过 C作圆的切线l,过 A 作 l 的垂线 AD ,AD 与直线 l、圆 O 分别交于点D、 E(1)求 DAC 的大小及线段AE 的长;(2)如图 2
8、所示 ,将 ACD 沿 AC 折起,点D 折至点P处,且使得ACP 所在平面与圆O 所在平面垂直,连结BP,求二面角P ABC 大小的余弦值图 2 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页优秀学习资料欢迎下载19 (本小题满分13 分) 20XX 年我国西南地区遭受特大旱灾,某地政府决定兴修水利,某灌渠的横截面设计方案如图所示,横截面边界AOB 设计为抛物线型,渠宽 AB 为 2m,渠深 OC 为 1.5m,正常灌溉时水面EF 距 AB为 0.5m(1)求水面EF 的宽度;(2)为了使灌渠流量加大,将此水渠的横截
9、面改造为等腰梯形,受地理条件限制要求渠深不变,不准往回填土,只准挖土,试求截面等腰梯形的下底边长为多大时,才能使所挖的土最少?20 (本小题满分13 分)已知函数f (x) = 2ln ,(1)0.baxx fx(1)若函数f (x) 在其定义域内为单调函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f (x) 的图象在x = 1 处的切线的斜率为0,且11()11nnnafnaa若 a13,求证: ann + 2;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页优秀学习资料欢迎下载若 a1 = 4,试比较1231111211115naa
10、aa与的大小,并说明你的理由21 (本大题满分13 分)已知F1,F2 分别是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点,半焦距为 c,直线2axc与 x 轴的交点为N,满足121122,|2F FNFF F,设 A、B 是上半椭圆上满足NA NB的两点,其中1 1, 5 3(1)求椭圆的方程及直线AB 的斜率 k 的取值范围;(2)过 A、B 两点分别作椭圆的切线,两切线相交于一点P,试问:点P 是否恒在某定直线上运动,请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页优秀学习资料欢迎下载理科数学参考答案1 【解析】
11、 A 由 2x 1 0,求得 x 0 2 【解析】 B 对于选项A,令12n即可验证不正确;对于选项C、选项 D,可令 n= 1 加以验证其不正确,故选B3 【解析】 C 如图将三棱柱还原为直观图,由三视图知,三棱柱的高为4 , 设 底 面 连 长 为a , 则333 ,62aa 故 体 积23643 634V4【解析】B 函数 y=ln|x| (x0) 的图象与函数y=lnx 的图象关于y 轴对称,函数1(0)yxx的图象是反比例函数1yx的图象在每一象限的部分5 【 解 析 】 C 由 题 意 得 : |PB PA|=8, |AB|=216910, 从 而 由 正 弦 定 理 , 得| s
12、i nsi n|4si n5ABP BP APAB6 【解析】 B 由流程图可见,当作业时间X 大于 60 时,S 将会增加1,由此可知S统计的是作业时间为60 分钟以上的学生数量,因此由输出结果为600 知有 600 名学生的作业时间超过 60 分钟,因此作业时间在060 分钟内的学生总数有1000 600=400 名,所以所求频率为 400/1000=0.4. 7 【解析】 D 因为函数图象恒在x 轴上方,则42log32log0baab,01,01,log0,babalog0,ab所以311log,log82aabb,即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
13、- - - - - -第 7 页,共 14 页优秀学习资料欢迎下载12ba则建立关于a,b 的直角坐标系,画出关于a 和 b 的平面区域,如图此时,可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型,由图可知基本事件空间所对应的几何度量( )1S,满足图象在x 轴上方的事件A 所对应的几何度量11202( )3S Aa da所以( )2()()3S AP AS8 【解析】 A 当 a0 时,易知 g(x)为增函数, 而且 g(2)=ln3 1 0,g ( 1.5)=ln2.543lne 1=0,于是由零点存在定理可知在区间(1.5,2)内g(x)存在零点,再由单调性结合 题 意 可 知a 就 为 这个
14、 零 点 , 因 此 有 1.5 a 2 又 当x 0 时 ,直 接 求 导 即 得1( )2 ln 2xfxx,于是当x1 时,我们有2( )2ln 21ln 21ln10fxe,由此可见f(x)在(1,)上单调增,可见必有(1.5)( )(2)ff af,而又由于f(x)为偶函数,所以(1.5)( )( 2)ff af,故选 A9 【解析】 5 次10 【解析】 8 由已知得:21048666()()58016aaaaaaa,又分别设等差数列首项为 a1,公差为d,则78111611116(7 )(5 )82222aaadadada11 【解析】因为点A( 1,2 ),B(1, 1 ),C
15、(3, 4 )所以OC OA OB(3, 4)( 1,2)+(1, 1), 因此324 , 即12, 所以1 12 【解析】cos23由该圆的极坐标方程为4知该圆的半径为4,又直线 l 被该圆截得的弦长|AB| 为4,设该圆圆心为O,则AOB=60 ,极点到直线l 的距离为4cos302 3d,所以直线的极坐标方程为cos2313 【解析】 100100 由题可知,在二进制数中的运算规律是“逢二进一”,所以11( 2) 111(2=10101(2) ,10101(2)+1111(2)=100100(2) 14【 解析】4a6 不等式1| |5|1xax对于一切非零实数x 均成立,可以先求出1|
16、xx的最小值,然后利用|5|1a小于这个最小值即可求解a 的取值范围当x0 时,1122xxxx;当 x0 时,11()()2 () ()2xxxx从而1|2xx恒成立,所以不等式1| |5 |1xax对于一切非零实数x 均成立,可转化主|5|12a,即|5| 115146aaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页优秀学习资料欢迎下载15 【解析】 11;6121由题意知, ai,bi M,ai bi,首先考虑M 中的二元子集有1,2 ,1, 3, 5,6 ,共 15 个,即为26C=15 个又 aibi,满足jii
17、jaabb的二元子集有:1, 2 ,2,4,3 ,6,这时12iiab,1,3,2 , 6,这时13iiab, 2 ,3,4,6 ,这时23iiab,共 7 个二元子集故集全A 中的元素个数为k=15 7 +3=11列举 A=1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 52 3 4 5 6 3 5 4 5 5 6,,B=2 ,3,4,5,6,3 5 4 5 5 62 2 3 3 4 5, 131515243546232222222233334455,共 6 对所求概率为:6121p16 【解析】(1)派甲参赛比较合适理由如下:x甲 = 18(702 + 804 + 902 + 8 + 9 + 1
18、+ 2 + 4 + 8 + 3 + 5) = 85 ,18x乙(701 + 804 + 903 + 5 + 0 + 0 + 3 + 5 + 0 + 2 + 5) = 85 ,218s甲(78 85)2+ (79 85)2 + (81 85)2 + (82 85)2 + (84 85)2 + (88 85)2 + (90 85)2 + (92 85)2 + (95 85)2 = 35.5 S乙 2=2222221(7585)(8085)(8585)(9085)(9285)(9585) 8=41 22,xxss甲乙乙甲,甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适(6 分)注:本小题的结论及理由均不唯一,如果
19、考生能从统计学的角度分析,给出其他合理回答,同样给分如派乙参赛比较合适,理由如下:从统计的角度看,甲检测85 人以上(含85 人)的概率P1 = 38,乙检测 85 人以上(含85 人)的概率241.82PP2P1,派乙参赛比较合适(2)记“甲安检员在一小时内完成安检人数高于80 人”为事件A,63().84P A随机变量的可能取值为0、1、2、3,且B (4 ,34)P (= k) = 4431,44kkkCk = 01,2, 3,4 8 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页优秀学习资料欢迎下载所以变量的分布列为
20、:0 1 2 3 4 P 1256122565425610825681256(10 分)E= 434= 3 (12 分)17 【解析】(1)2( )2sin3cos211cos23cos2142f xxxxxsin23cos22sin 2,3xxx(4 分)h (x) = f (x + t) = 2sin (223xt),h (x) 的图象的对称中心为,026kt,kZ,又已知点,06为 h (x) 的图象的一个对称中心,()23ktkZ,而 t(0,), t = 5.36或(7 分)(2)若 p成立,即当x,42时,22,363x,f (x) 1,2,由 |f (x) m|3m 3f (x)
21、 m + 3,p 是 q 的充分不必要条件,31,32mm解得 1m4,即 m 的取值范围是 1,4(12 分)18 【解析】(1)连结 OC,则 OCAD ,CB = OB = OC , COB =EAO = 60 , CAO = 30 , RtAEB RtBCA ,CB = AE = 3 (5 分)(2)过 P 作 PHAC 于 H,由于平面PAC平面 O,则 PH平面 O过 H 作 HFAB 于 F,连结 PF,则 PFAB,故 PFH 为二面角PAB C 的平面角(8分)在 RtAPC 中, PH = APsin30 = ACcos30 sin30= 3193 3224,精选学习资料
22、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页优秀学习资料欢迎下载AP2 = AH AC 得 AH = 29 34APAC,在 RtAFH 中, FH = AH sin30 =9 38,故 tanPFH = 92 3214.cos.379 38PHPFHPF故 12 分另解:过P 作 PHAC 于 H,则 PH平面 O,过 H 作 HF CB 交 AB 于 F,以 H 为原点, HF、HA 、HP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标则 H (0,0, 0),A (9 34,0,0), B (3 34,3,0),P (0,0
23、,94)从而9 39(,0,),( 3 3,3,0)44APAB,设平面 PAB 的法向量( , , ),nx y z则93930.443( 333 )0yxAP nxzzxAB nxy即令x=1 ,从而(1, 3,3)n,而平面ABC 的法向量为(0,0,1).HP故321cos()77n,HP 12 分19 【解析】(1)建立如图所示的直角坐标系,则A( 1,1.5),B (1,1.5),C (0, 1.5)设抛物线方程为x2 = 2py (p 0), 由点 A ( 1, 1.5)代入方程,得到 1 = 2p1.5,即13p,所以抛物线方程为x2 = 23y,由点E 的纵坐标为1,得到点E
24、 横坐标为63,所以截面图中水面宽度为2 63m (6 分)(2)设抛物线上一点M23,(0),2ttt因为改造水渠时只准挖土,而且要求挖出的土最少,所以只能沿过点M 与抛物线相切的切线挖土图 2 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页优秀学习资料欢迎下载由223xy,即232yx,求导得3yx,所以过点M 的切线斜率为3t,切线方程为233 ()2ytt xt,令 y = 0 ,则1231,2222ttxyxt令则,所以截面面积为S = 1213313 2(22)22222xxtt,当且仅当t = 22时等号成
25、立所以截面梯形的下底边长为22m 时,才能使所挖的土最少(13 分)20 【解析】(1) f (1) = a b = 0, a = b, f(x) = 22aaxx要使函数f (x) 在其定义域内为单调函数,则在(0,+)内 f(x) 恒大于或等于零,或恒小于或等于零222( )axaxfxx由( )0fx得221xax而222112xxxx1a由( )0fx得221xax而2201xx0a经验证 a=0 及 a=1 均合题意,故01aa或所求实数a 的取值范围为a1 或 a0(5 分)(2)函数 f (x) 的图象在x = 1 处的切线的斜率为0, f(1) = 0,即 a + a 2 =
26、0,解得 a = 1, f (x) = 211x, an + 1 = f2111.1nnnnnaanaa(7 分)用数学归纳法证明: (i)当 n = 1 时, a13 = 1 + 2,不等式成立; (ii )假设当n = k 时不等式成立, 即2,kak那么 ak k20, ak + 1 = ak (ak k) + 1 2 (k + 2) + 1 = (k + 3) + k + 2k + 3,也就是说,当n = k + 1 时, ak + 1(k + 1) + 2 根据( i)和( ii) ,对于所有n1,有 ann + 2(10 分)由 an + 1 = an (an n) + 1 及,对
27、 k2,有 ak = ak 1 (ak 1 k + 1) + 1 ak 1 (k 1 + 2 k + 1) + 1 = 2ak 1 + 1, ak + 12 (ak 1 + 1) 22 (ak 2 + 1) 23 (ak 3 + 1) 2k 1 (a1 + 1)而11115a,于是当k2 时,111231111111,1111112kknaaaaaa111a211111112122(1)(1).1255522212nnn(13 分)21 【解析】 (1)由于121122,|2F FNFF F,12212222|2,1 | 1,.cFFaNFcabc解得a2=2,b2=1,从而所求椭圆的方程为2
28、212xy(2 分),NA NBA B N三点共线,而点N 的坐标为( 2,0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页优秀学习资料欢迎下载设直线 AB 的方程为(2)yk x,其中 k 为直线 AB 的斜率,依条件知k0由22(2),1,2yk xxy消去 x 得221(2)22,yyk即22221420kyykk根据条件可知222421()80,0.kkkk解得20 |2k,依题意取202k(5 分)设1122(,), (,)A x yB xy,则根据韦达定理,得212122242,2121kkyyy ykk又由
29、NA NB,得1122(2,)(2,)xyxy,12122(2),.xxy y从而12122(2),.xxy y从而2222224(1),212.21kykk yk消去2y得22(1)821k令2(1)1 1( ), ,5 3则222111( )(2)1 由于1153,所以( )0 ( )是区间1 1, 5 3上的减函数,从而11()( )()35,即1636( ),35216836,3215k解得21|62k,而2210,262kk故直线 AB 的斜率的取值范围是2 1, 62(9 分)(2)上半椭圆的方程为2112yx,求导可得212 12xyx,且221122111,122yxyx,所以
30、两条切线的斜率分别为1212,22PAPBxxkkyy解法一切线 PA 的方程是1111(),2xyyxxy即2211111222x xxyyyy,又221122xy,从而切线 PA 的方程为11112x xyyy,同理可得切线PB 的方程为22212x xyyy,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页优秀学习资料欢迎下载由1112221,21,2x xyyyx xyyy可解得点P 的坐标( x0,y0)满足210211221021122(),yyxx yx yxxyx yx y再由12122(2),xxy y得12
31、21122112222(),xxx yx yyyyy210212()1,2()yyxyy因此点 P恒在定直线x= 1 上运动 . (13 分)解法二设点 P 的坐标为( x0,y0) ,则可得切线PA 的方程是1001(),2xyyxxy而点 A(x1,y1)在此切线上,有110101()2xyyxxy即2201011122,x xy yxy又A在椭圆上,01022x xy y有,同理可得020222x xy y根据和可知直线AB 的方程为,0022,x xy y而直线 AB 过定点 N( 2,0) ,00221xx,因此,点P 恒在直线x= 1 上运动(13 分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页