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1、优秀学习资料欢迎下载长沙市一中20XX 届第三次模拟试卷理科数学一选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 函数21xy的定义域是（）A0),B1),C(0),D(1),2有下列四个命题，其中真命题是（）A2,nnnRB,nmm nmRRC2,nmmnRRD2,nnnR3 已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）A12 3B27 3C36 3D6 4函数 f（x）=ln | (0)1(0)xxxx的图象大致是（）5已知ABP 的顶点 A、B 分别为双曲线22:1169xyC的左、右焦点，顶点P
2、 在双曲线C上，则|sinsin|sinABP的值等于A74B4 77C45D546我市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间为x(单位：分钟 )，按时间分下列四种情况统计：030 分钟； 3060 分钟； 6090 分钟； 90 分钟及90 分钟以上， 有 1 000 名小学生参加了此项调查，下图是此次调查的流程图，已知输出的结果是 600，则平均每天做作业时间在060 分钟内的学生的频率是( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载A0.20 B0.40 C0.60 D0.8
3、0 7已知 0a1，0b1，则函数2( )log2 log8abf xxbxa的图象恒在x 轴上方的概率为（）A14B34C13D238已知 f(x) 是 R 上的偶函数， 当 x0 时， f (x)= 1222xx，又 a 是函数 g (x) =2ln(1)xx的正零点，则f（ 2） ，f（a） ，f（1.5）的大上关系是（）A(1.5)( )( 2)ff afB( 2)(1.5)( )fff aC( )(1.5)( 2)f affD(1.5)( 2)( )fff a二、填空题（本大题共7 小题，每小题5 分，共 35 分，把答案填在答题卡对应题号后的横线上）9用 0.618 法确定的试点，
4、则经过次试验后，存优范围缩小为原来的0.6184 倍10在等差数列an 中，若 a2+a4+a6+a8+a10=80，则7812aa的值为11已知复数1231 2 ,1,34zi zi zi，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若( ,)OC OA OB R，则 的值是12在极坐标系中，和极轴垂直相交的直线l 与圆4相交于 A、B 两点，若 |AB|=4 ，则直线 l 的极坐标方程为13在计算机的运行过程中，常常要进行二进制数与十进制数的转换与运算如：十进制数8 转换成二进制是1000，记作 8（10）=1000（2） ；二进制数111 转换成十进制数是7，记作111（2）=7（10）
5、二进制的四则运算，如：11（ 2）+101（2）=1000（2） ，请计算： 11（ 2）111（2）+1111（2）= （2） 14,xx且0R不等式1| |5| 1xax恒成立，则实数a 的取值范围是15设集合M=1 ，2，3， 4，5，6，对于 ai，biM，记iiiaeb且iiab，由所有ie组成的集合设为： A=e1 ，e2， ek ，则 k 的值为；设集合 B=1Aiiiie |e,ee，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载对任意 eiA，jeB，则ijee的概率为三、解答题（本大题共
6、6 小题，共75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16 （本大题满分12 分）上海世博会在游客入园参观的试运营阶段，为了解每个入口的通行速度，在一号入口处随机抽取甲、乙两名安检人员在一小时内完成游客入园人数的8 次记录，记录人数的茎叶图如下：（1）现在从甲、乙两人中选一人担任客流高峰阶段的安检员， 从统计学的角度考虑，你认为选派哪位安检员参加合适？请说明理由；（2）若将频率视为概率，甲安检员在正式开园的一个工作日的 4 小时内 ,每个单位小时段安检人数高于80 人的次数记为，求的分布列及数学期望E17 （本大题满分12 分）已知函数f (x) = 2sin23cos21,.4xxxR
7、（1）若函数h (x) = f (x + t) 的图象关于点,06对称，且t(0，)，求 t 的值；（2）设 p：x,42，q：|f (x) m| 3，若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载18 （本大题满分12 分）如图 1 所示，圆 O 的直径 AB = 6 ，C 为圆周上一点，BC = 3过 C作圆的切线l，过 A 作 l 的垂线 AD ，AD 与直线 l、圆 O 分别交于点D、 E（1）求 DAC 的大小及线段AE 的长；（2）如图 2
8、所示 ,将 ACD 沿 AC 折起，点D 折至点P处，且使得ACP 所在平面与圆O 所在平面垂直，连结BP，求二面角P ABC 大小的余弦值图 2 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载19 （本小题满分13 分） 20XX 年我国西南地区遭受特大旱灾，某地政府决定兴修水利，某灌渠的横截面设计方案如图所示，横截面边界AOB 设计为抛物线型，渠宽 AB 为 2m，渠深 OC 为 1.5m，正常灌溉时水面EF 距 AB为 0.5m（1）求水面EF 的宽度；（2）为了使灌渠流量加大，将此水渠的横截
9、面改造为等腰梯形，受地理条件限制要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面等腰梯形的下底边长为多大时，才能使所挖的土最少？20 （本小题满分13 分）已知函数f (x) = 2ln ,(1)0.baxx fx（1）若函数f (x) 在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f (x) 的图象在x = 1 处的切线的斜率为0，且11()11nnnafnaa若 a13，求证： ann + 2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载若 a1 = 4，试比较1231111211115naa
10、aa与的大小，并说明你的理由21 （本大题满分13 分）已知F1，F2 分别是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，半焦距为 c，直线2axc与 x 轴的交点为N，满足121122,|2F FNFF F，设 A、B 是上半椭圆上满足NA NB的两点，其中1 1, 5 3（1）求椭圆的方程及直线AB 的斜率 k 的取值范围；（2）过 A、B 两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P 是否恒在某定直线上运动，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载理科数学参考答案1 【解析】
11、 A 由 2x 1 0，求得 x 0 2 【解析】 B 对于选项A，令12n即可验证不正确；对于选项C、选项 D，可令 n= 1 加以验证其不正确，故选B3 【解析】 C 如图将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4 ， 设 底 面 连 长 为a ， 则333 ,62aa 故 体 积23643 634V4【解析】B 函数 y=ln|x| （x0） 的图象与函数y=lnx 的图象关于y 轴对称，函数1(0)yxx的图象是反比例函数1yx的图象在每一象限的部分5 【 解 析 】 C 由 题 意 得 ： |PB PA|=8， |AB|=216910， 从 而 由 正 弦 定 理 ， 得| s
12、i nsi n|4si n5ABP BP APAB6 【解析】 B 由流程图可见，当作业时间X 大于 60 时，S 将会增加1，由此可知S统计的是作业时间为60 分钟以上的学生数量，因此由输出结果为600 知有 600 名学生的作业时间超过 60 分钟，因此作业时间在060 分钟内的学生总数有1000 600=400 名，所以所求频率为 400/1000=0.4. 7 【解析】 D 因为函数图象恒在x 轴上方，则42log32log0baab，01,01,log0,babalog0,ab所以311log,log82aabb，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
13、- - - - - -第 7 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载12ba则建立关于a，b 的直角坐标系，画出关于a 和 b 的平面区域，如图此时，可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量( )1S，满足图象在x 轴上方的事件A 所对应的几何度量11202( )3S Aa da所以( )2()()3S AP AS8 【解析】 A 当 a0 时，易知 g（x）为增函数， 而且 g（2）=ln3 1 0，g （ 1.5）=ln2.543lne 1=0，于是由零点存在定理可知在区间（1.5，2）内g（x）存在零点，再由单调性结合 题 意 可 知a 就 为 这个
14、 零 点 ， 因 此 有 1.5 a 2 又 当x 0 时 ，直 接 求 导 即 得1( )2 ln 2xfxx，于是当x1 时，我们有2( )2ln 21ln 21ln10fxe，由此可见f（x）在(1,)上单调增，可见必有(1.5)( )(2)ff af，而又由于f（x）为偶函数，所以(1.5)( )( 2)ff af，故选 A9 【解析】 5 次10 【解析】 8 由已知得：21048666()()58016aaaaaaa，又分别设等差数列首项为 a1，公差为d，则78111611116(7 )(5 )82222aaadadada11 【解析】因为点A( 1，2 )，B(1， 1 )，C
15、(3， 4 )所以OC OA OB(3, 4)( 1,2)+(1, 1)， 因此324 ， 即12， 所以1 12 【解析】cos23由该圆的极坐标方程为4知该圆的半径为4，又直线 l 被该圆截得的弦长|AB| 为4，设该圆圆心为O，则AOB=60 ，极点到直线l 的距离为4cos302 3d，所以直线的极坐标方程为cos2313 【解析】 100100 由题可知，在二进制数中的运算规律是“逢二进一”，所以11（ 2） 111（2=10101（2） ，10101（2）+1111（2）=100100（2） 14【 解析】4a6 不等式1| |5|1xax对于一切非零实数x 均成立，可以先求出1|
16、xx的最小值，然后利用|5|1a小于这个最小值即可求解a 的取值范围当x0 时，1122xxxx；当 x0 时，11()()2 () ()2xxxx从而1|2xx恒成立，所以不等式1| |5 |1xax对于一切非零实数x 均成立，可转化主|5|12a，即|5| 115146aaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载15 【解析】 11；6121由题意知， ai，bi M，ai bi，首先考虑M 中的二元子集有1，2 ，1， 3， 5，6 ，共 15 个，即为26C=15 个又 aibi，满足jii
17、jaabb的二元子集有：1， 2 ，2，4，3 ，6，这时12iiab，1，3，2 ， 6，这时13iiab， 2 ，3，4，6 ，这时23iiab，共 7 个二元子集故集全A 中的元素个数为k=15 7 +3=11列举 A=1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 52 3 4 5 6 3 5 4 5 5 6,，B=2 ，3，4，5，6，3 5 4 5 5 62 2 3 3 4 5, 131515243546232222222233334455,共 6 对所求概率为：6121p16 【解析】（1）派甲参赛比较合适理由如下：x甲 = 18(702 + 804 + 902 + 8 + 9 + 1
18、+ 2 + 4 + 8 + 3 + 5) = 85 ，18x乙(701 + 804 + 903 + 5 + 0 + 0 + 3 + 5 + 0 + 2 + 5) = 85 ，218s甲(78 85)2+ (79 85)2 + (81 85)2 + (82 85)2 + (84 85)2 + (88 85)2 + (90 85)2 + (92 85)2 + (95 85)2 = 35.5 S乙 2=2222221(7585)(8085)(8585)(9085)(9285)(9585) 8=41 22,xxss甲乙乙甲，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适（6 分）注：本小题的结论及理由均不唯一，如果
19、考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分如派乙参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲检测85 人以上（含85 人）的概率P1 = 38，乙检测 85 人以上（含85 人）的概率241.82PP2P1，派乙参赛比较合适（2）记“甲安检员在一小时内完成安检人数高于80 人”为事件A，63().84P A随机变量的可能取值为0、1、2、3，且B (4 ，34)P (= k) = 4431,44kkkCk = 01，2， 3，4 8 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载所以变量的分布列为
20、：0 1 2 3 4 P 1256122565425610825681256（10 分）E= 434= 3 （12 分）17 【解析】（1）2( )2sin3cos211cos23cos2142f xxxxxsin23cos22sin 2,3xxx（4 分）h (x) = f (x + t) = 2sin (223xt)，h (x) 的图象的对称中心为,026kt，kZ，又已知点,06为 h (x) 的图象的一个对称中心，()23ktkZ，而 t(0，)， t = 5.36或（7 分）（2）若 p成立，即当x,42时，22,363x，f (x) 1，2，由 |f (x) m|3m 3f (x)
21、 m + 3，p 是 q 的充分不必要条件，31,32mm解得 1m4，即 m 的取值范围是 1，4（12 分）18 【解析】（1）连结 OC，则 OCAD ，CB = OB = OC ， COB =EAO = 60 ， CAO = 30 ， RtAEB RtBCA ，CB = AE = 3 （5 分）（2）过 P 作 PHAC 于 H，由于平面PAC平面 O，则 PH平面 O过 H 作 HFAB 于 F，连结 PF，则 PFAB，故 PFH 为二面角PAB C 的平面角（8分）在 RtAPC 中， PH = APsin30 = ACcos30 sin30= 3193 3224，精选学习资料
22、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载AP2 = AH AC 得 AH = 29 34APAC，在 RtAFH 中， FH = AH sin30 =9 38，故 tanPFH = 92 3214.cos.379 38PHPFHPF故 12 分另解：过P 作 PHAC 于 H，则 PH平面 O，过 H 作 HF CB 交 AB 于 F，以 H 为原点， HF、HA 、HP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标则 H (0，0， 0)，A (9 34，0，0)， B (3 34，3，0)，P (0，0
23、，94)从而9 39(,0,),( 3 3,3,0)44APAB，设平面 PAB 的法向量( , , ),nx y z则93930.443( 333 )0yxAP nxzzxAB nxy即令x=1 ，从而(1, 3,3)n，而平面ABC 的法向量为(0,0,1).HP故321cos()77n,HP 12 分19 【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，则A( 1，1.5)，B (1，1.5)，C (0， 1.5)设抛物线方程为x2 = 2py (p 0)， 由点 A ( 1， 1.5)代入方程，得到 1 = 2p1.5，即13p，所以抛物线方程为x2 = 23y，由点E 的纵坐标为1，得到点E
24、 横坐标为63，所以截面图中水面宽度为2 63m （6 分）（2）设抛物线上一点M23,(0),2ttt因为改造水渠时只准挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M 与抛物线相切的切线挖土图 2 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载由223xy，即232yx，求导得3yx，所以过点M 的切线斜率为3t，切线方程为233 ()2ytt xt，令 y = 0 ，则1231,2222ttxyxt令则，所以截面面积为S = 1213313 2(22)22222xxtt，当且仅当t = 22时等号成
25、立所以截面梯形的下底边长为22m 时，才能使所挖的土最少（13 分）20 【解析】（1） f (1) = a b = 0， a = b， f(x) = 22aaxx要使函数f (x) 在其定义域内为单调函数，则在(0，+)内 f(x) 恒大于或等于零，或恒小于或等于零222( )axaxfxx由( )0fx得221xax而222112xxxx1a由( )0fx得221xax而2201xx0a经验证 a=0 及 a=1 均合题意，故01aa或所求实数a 的取值范围为a1 或 a0（5 分）（2）函数 f (x) 的图象在x = 1 处的切线的斜率为0， f(1) = 0，即 a + a 2 =
26、0，解得 a = 1， f (x) = 211x， an + 1 = f2111.1nnnnnaanaa（7 分）用数学归纳法证明： （i）当 n = 1 时， a13 = 1 + 2，不等式成立； （ii ）假设当n = k 时不等式成立， 即2,kak那么 ak k20， ak + 1 = ak (ak k) + 1 2 (k + 2) + 1 = (k + 3) + k + 2k + 3，也就是说，当n = k + 1 时， ak + 1(k + 1) + 2 根据（ i）和（ ii） ，对于所有n1，有 ann + 2（10 分）由 an + 1 = an (an n) + 1 及，对
27、 k2，有 ak = ak 1 (ak 1 k + 1) + 1 ak 1 (k 1 + 2 k + 1) + 1 = 2ak 1 + 1， ak + 12 (ak 1 + 1) 22 (ak 2 + 1) 23 (ak 3 + 1) 2k 1 (a1 + 1)而11115a，于是当k2 时，111231111111,1111112kknaaaaaa111a211111112122(1)(1).1255522212nnn（13 分）21 【解析】 (1)由于121122,|2F FNFF F，12212222|2,1 | 1,.cFFaNFcabc解得a2=2，b2=1，从而所求椭圆的方程为2
28、212xy（2 分）,NA NBA B N三点共线，而点N 的坐标为（ 2，0） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载设直线 AB 的方程为(2)yk x，其中 k 为直线 AB 的斜率，依条件知k0由22(2),1,2yk xxy消去 x 得221(2)22,yyk即22221420kyykk根据条件可知222421()80,0.kkkk解得20 |2k，依题意取202k（5 分）设1122(,), (,)A x yB xy，则根据韦达定理，得212122242,2121kkyyy ykk又由
29、NA NB，得1122(2,)(2,)xyxy，12122(2),.xxy y从而12122(2),.xxy y从而2222224(1),212.21kykk yk消去2y得22(1)821k令2(1)1 1( ), ,5 3则222111( )(2)1 由于1153，所以( )0 ( )是区间1 1, 5 3上的减函数，从而11()( )()35，即1636( ),35216836,3215k解得21|62k，而2210,262kk故直线 AB 的斜率的取值范围是2 1, 62（9 分）（2）上半椭圆的方程为2112yx，求导可得212 12xyx，且221122111,122yxyx，所以
30、两条切线的斜率分别为1212,22PAPBxxkkyy解法一切线 PA 的方程是1111(),2xyyxxy即2211111222x xxyyyy，又221122xy，从而切线 PA 的方程为11112x xyyy，同理可得切线PB 的方程为22212x xyyy，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载由1112221,21,2x xyyyx xyyy可解得点P 的坐标（ x0，y0）满足210211221021122(),yyxx yx yxxyx yx y再由12122(2),xxy y得12
31、21122112222(),xxx yx yyyyy210212()1,2()yyxyy因此点 P恒在定直线x= 1 上运动 . （13 分）解法二设点 P 的坐标为（ x0，y0） ，则可得切线PA 的方程是1001(),2xyyxxy而点 A（x1，y1）在此切线上，有110101()2xyyxxy即2201011122,x xy yxy又A在椭圆上，01022x xy y有，同理可得020222x xy y根据和可知直线AB 的方程为，0022,x xy y而直线 AB 过定点 N（ 2，0） ，00221xx，因此，点P 恒在直线x= 1 上运动（13 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页
