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1、二章波函数与薛定谔方程 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、波函数一、波函数1、平面波是描述具有确定能量（）和动量（）的粒子的波函数： 2、一般F0,在外力场中，势能 , 满足薛定谔方程和边界条件称为波函数2.1波函数的统计解释波函数的统计解释二、波函数的物理意义二、波函数的物理意义统计解释统计解释1、经典波表示 2、量子力学的波函数 不表示任何具体物理量3、 表示在时刻t位置 附近单位体积内发现粒子的几率（probalitily),及t时刻在 附
2、近发现粒子的几率密度 4、波函数表示微观体系的量子态（状态、态）， 不仅可以告诉我们在 位置测量出粒子的几率，还可以描写体系的各种性质，测量其他物理量的可能值，及取这些值的几率三、波函数的归一化1、以波函数 描写粒子的状态，t时刻（x,y,z）位置波函数强度 以dw(x,y,z,t)表示在（x x+dx,y y+dy,z dz )位置找到粒子的几率 T时刻在(x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率密度由波函数的统计解释：2、波函数的归一化：成为归一化常数，：成为归一化常数，将其归一化解:令以归一化波函数为归一化：3、任意相因子4，自由粒子波函数不可归一化 例：2.2 态迭加原理波函数的统计
3、解释态迭加原理一、量子力学的基本原理之一 态迭加原理1、实验规律：由于测量时会扰动，微观态各种可能值以一定几率出现，如 x 2-2.5 3-3.5 4-4.5 5-5.5 w 10% 20% 40% 20%波粒二象性2、测量物理量x及其几率可以由波函数求出如 3、为什么会有许多可能值，并以确定几率出现? 源于波的迭加性。回顾经典波的惠更斯原理：在空间某点p处，t时刻的波的振幅有前一时刻波上各点传出的光波的相干迭加决定。经典波的干涉，若 为一列波， 为一列波，则 也是一个可能的波动状态4、态迭加原理如果 和 是体系的可能状态，则它们的线性迭加 也是这个体系的一个可能状态，而且当粒子处于 和 的线
4、性迭加态时，粒子是既处于 态，也处于 态 5、状态迭加、状态迭加干涉项干涉项6、态迭加原理的一般形式当 为体系的可能状态时，他们的线性迭加 也是体系的一个可能状态。当体系处于 态时，体系部分的处于 态之中 经典力学经典力学：已知力 F 及 x0、v0，质点的状态变化由牛顿运动方程求出 当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。 所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。 量子力学量子力学：微观粒子的运动状态由波函数来描写，状 态随时间的变化遵循着一定的规律1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提
5、出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。2.3 薛定薛定谔方程方程一、薛定谔方程的引入一、薛定谔方程的引入下面用一个简单的办法来引进这个方程。应强调的是：薛定谔方程是量子力学最基本的方程，其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。实际上应该认为它是量子力学的一个基本假定，并不能从什么更根本的假定来证明它。它的正确性，归根结底，只能靠实验来检验下面，首先讨论自由粒子，其能量与动量的关系是 (1)和波矢 （ ），由下式给出 是粒子质量，按照德布罗意关系，与粒子运动相联系的波的角频率 ， (2) 或者说，与具有一定能量E和动量 的粒子相联系的是平面单色波。 (3) 由(3)
6、式可得利用(1)式，可以得出即： (4) 是一个单色平面波 。注意：方程(4)中 而描述自由粒子的一般状态的波函数，具有波包的形式，即为许多单色平面波的叠加。 (5) 式中： ，不难证明 0可见，如果 是波包，仍满足方程(4)，所以方程(4)是自由粒子波函数满足的方程。值得注意的是：如果在经典的能量动量关系(1)中，作如下替换： ， (6)然后作用于波函数上，就可得到方程(4). 其次，我们进一步考虑在势场 中运动的粒子，按照经典粒子的能量关系式 (7) 对于上式作替换(6)，然后作用于波函数上，即得：(8) 这就是薛定谔波动方程。它揭示了微观世界中物质运动的基本规律，是量子力学的基本假设之一
7、。二二、薛定谔方程的讨论薛定谔方程的讨论 1、要求、对粒子的所有状态成立，波动方程系数不能含有状态参量，如 x, p, L 2、定域的几率守恒、定域的几率守恒薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程。在非相对论（低能）情况下，实物粒子（ ）没有产生和湮 湮灭的现象，所以在随时间演化的过程中，粒子数目保持不变（即粒子数守恒）。 对于一个粒子来说，在全空间中找到它的几率之总和应 不随时间改变，即 (9) 下面我们就利用薛定谔方程来证明这个结论。对(8)式取复共轭，（注意到 ）得 (10) (11) (12) 令： (13) (14) (15) 上式左边代表：在闭区域 中找到粒子的总几率（或粒 子数）
8、在单位时间内的增量。 而右边（注意负号）表示：单位时间内通过 的封闭表 公式(12)或(15)是几率（粒子数）守恒的积分表示式。而由(11)式可得其微分表达式： (16) 这种形式与流体力学中的连续性方程相同。 应该强调：这里的几率守恒具有定域的性质。当粒子在空间某地的几率减小了，必然在另外一些地方的几率增加了（使总几率不变），并且伴随着有什么东西在流动来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。3、波函数必须是薛定谔方程的解，但并非所有解都有波函数必须是薛定谔方程的解，但并非所有解都有物理意义物理意义2.4 2.4 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 一、不含时间的薛定谔方程以下讨论一个极为重要的
9、特殊情况：假设势能U不显含时间t（经典力学中，在这种势场中的粒子的机械能是守恒量）此时，薛定谔方程(8)可以用分离变量法求其解，令特解为 (17) 代入薛定谔方程中，可得：(18) 上式右边E是即不依赖与t，也不依赖与 的常数，于是 (19) (20) (21)(22)形式如(21)式的波函数所描述的态，称为定态。方程(22)称为不含时间的薛定谔方程或定态薛定谔方程。 为能量本征函数。薛定谔方程更普遍的表达式为(23)其中 是体系的哈密顿算符。当不显含t时，薛定谔方程为(24)(1).粒子的几率密度 及几率流 ，显然不随时间改变。 (2).任何力学量（不显含t）的平均值，不随时间变化。 (3)
10、.任何力学量（不显含t）取各种可能测量值（本征值）的几率分别也不随时间改变。 二、定态薛定谔方程二、定态薛定谔方程1、定态的特征：2.5 2.5 一维无限深势阱一维无限深势阱 设势能一、一维定态问题中粒子感受沿一个方向(x)变化的势场U(x),它也是由三维问题分离变量出来的问题。由于势能U(x)不显含时间t，于是可得系统的定态薛定谔方程： (1)对本问题有：(2)(3)根据波函数应满足连续性和有限性的条件(4)(6)(7)(5)(8)(9)(10)由上两式得注意：A，B不能同时为零(11)量子化的能量公式(a)解(12)(b)解(13)(14)(15)二、束缚态二、束缚态三、一维无限深方势阱中
11、粒子的能级、波函数和几率密度对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的几率是不同的。 经典理论中，处于无限深方势阱中粒子的能量为连续值，粒子在阱内运动不受限制，各处概率相等。 随着能级的升高，几率密度的峰值增多，当 时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。 从以上分析可知：对于无限深势阱来说，粒子只能在势阱U=0的区域能运动。四、讨论：补充：解题技巧2.6 线性谐振子线性谐振子线性谐振子是许多实际问题的一级近似，简谐振动是许多复杂运动的成分，可以分解为一系列简谐振动的合成一、求解一维线性谐振子的薛定谔方程1、其薛定谔方程为：、其薛定谔方程为：(1)整理得：
12、(2)(2)式变为：(3)作变量代换，使自变量无量纲化(5)(4)(6)(6)为一复系数常微分方程2、方程、方程(6)的渐进解的渐进解(9)(8)(7)渐进解可设一般解将(9)代入(6)得厄密方程(9)3、解厄密方程、解厄密方程(11)(10)(12)递推关系(13)(14)线性谐振子能级公式(15)厄密函数(16)(17)(19)(20)(18)(21)二、物理意义二、物理意义2、几率密度3、能级讨论：4、基态波函数2.7 势垒贯穿（隧道效应）势垒贯穿（隧道效应）一、方势垒的穿透 粒子从无限远处来，受势垒散射后又到无限远处去，粒子能量事先知道。波函数在不远处不为零，体系能量可取任意值，构成连续谱（散射态，不是束缚态）。(1)（方势垒）1、方势垒(2)(3)这是入射粒子流密度为：入射波：(4)(5)(6)(7)变换为：(8)(9)(11)(10)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19) 隧道效应是经典力学所无法解释的，因为按经典力学计算结果，在势垒区，粒子的动能小于零，动量是虚数。由于微观粒子的波动性，微观粒子遵守“不确定关系”，粒子的坐标x和动量P不可能同时具有确定的值，自然作为坐标函数的势能和作为动量函数的动能当然也不能同时具有确定的值。因此，对微观粒子而言，“总能量等于势能和动能之和”这一概念不再具有明确的意义。(20)(21)
