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1、2.1 一元二次方程第2章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.了解一元二次方程的概念;(重点)2.掌握一元二次方程的一般形式,会把一元二次方程化成一 般形式;(重点)3.能根据具体问题的数量关系,建立方程的模型(难点)学习目标导入新课导入新课我们已经学过哪些方程?你能各举一个例子吗?想一想其中“元 ”“次” 指的是什么意思?问题 列出下列问题中关于未知数x的方程: 把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形和 长方形两部分,求正方形的边长.设正方形的边长 为x,可列出方程 xxx3x2+3x=4它是什么方程?为什么?x2+3x=4讲授新课讲授新课一元二次方程的概念一由前面例子得出
2、的方程式可知:概念归纳 方程x2+3x=4的两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,我们把这样的方程叫做一元二次方程.你能找到使x2+3x=4两边相等的x的值吗?能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).想一想观察前面所列方程,说出这个方程与一元一次方程的相同与不同之处.不同相同(1)两边都是整式;(2)只含有一个未知数.一元一次方程未知数的最高次数是1,一元二次方程未知数的最高次数是2一元二次方程的一般形式二问题:想一想下列方程是一元二次方程吗?若是, 指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)3x (1 x ) + 10 = 2( x + 2
3、)(2)5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4. 根据一元二次方程的概念,以上的方程都需要进行整理,使右边为0,再根据左边的式子进行判断.(1) 3x (1 x ) + 10 = 2( x + 2)去括号, 得3x - 3x2 + 10 = 2x + 4.移项, 合并同类项, 得- 3x2 + x + 6 = 0,这是一元二次方程, 其中二次项系数是-3, 一次项系数是1, 常数项是6.思考:可以写成3x2 - x -6 = 0 吗?那么各项系数又是多少?常数项是多少呢?去括号, 得移项, 合并同类项, 得这是一元一次方程, 不是一元二次方程.(2) 5x ( x + 1) + 7
4、 = 5x2 - 4.5x2 + 5x + 7 = 5x2 - 4.5x + 11 = 0, 一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 ax2+bx+c=0的形式,我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数,a0)称为一元二次方程的一般形式.为什么要限制a0,b,c可以为零吗? 其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项、常数项,a,b分别称为二次项系数、一次项系数.想一想典例精析例1:下列方程中是一元二次方程的为( )A.x2+3x=B.2(x-1)+3x=2C.x2=2+3xD.x2+x3-4=0C例2:a为何值时,下列方程为一元二次方程?(1)ax2-x=2x2(2)(a-1)
5、x a +1 -2x-7=0解析:(1)将方程式转化为一般形式,得(a-2)x2-x=0,所以当a-20,即a2时,原方程是一元二次方程; (2)由a +1 =2,且a-1 0知,当a=-1时,原方程是一元二次方程.列一元二次方程三例3:据某市交通部门通过机动车辆调查,前年该市汽车拥有量为75万辆,两年后增加到108万辆,求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程?典例精析在一般的解题过程中该如何列出正确的一元二次方程呢?看看下面的例题解析:首先找出问题中的等量关系:两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量(1+年平均增长率)2解:设该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x 根据等量关系,可
6、以列出方程 75(1+x)2=108 化简,整理得: 25x2+50x-11=0方法归纳 列方程最重要的是审题,只有理解题意,才能恰当的设出未知数,准确地找到已知量和未知量之间的等量关系,正确的列出方程当堂练习当堂练习.请用线把左边的方程与右边所对应的方程类型连接起来:2x2+ 5x = x2- 3(x + 1)2- 1 = x2+ 43x + 5 = 2x -1一元一次方程一元二次方程分式方程 2.下列方程哪些是一元二次方程?(1)7x26x0(2)2x25xy6y0(5)x22x31x2解: (1) (4) (6)3从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺,另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程4尺2尺xx4x2解:设竹竿的长为x尺,则门的宽度为(x4)尺,长 为(x2)尺,依题意得方程: (x4)2 (x2)2 x2 即:x212 x 20 0一元二次方程一般形式: ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a0),其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数课堂小结课堂小结概念:只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a0)的形式