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1、第一讲 : 极限与连续一. 数列函数 : 1. 类型: (1 数列: *; *(2 初等函数 : (3 分段函数 : *; *;* (4 复合(含函数: (5 隐式(方程: (6 参式(数一, 二: (7 变限积分函数 : (8 级数和函数 (数一, 三: 2. 特征(几何: (1 单调性与有界性 (判别; (单调定号(2 奇偶性与周期性 (应用. 3. 反函数与直接函数 : 二. 极限性质 : 1. 类型: *; *(含; *(含2. 无穷小与无穷大 ( 注: 无穷量 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 32 页3.
2、未定型: 4. 性质: * 有界性 , * 保号性, * 归并性三. 常用结论 : , , , , , , , , 四. 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当时, ; ; ; ; ; ; ; 2. 泰勒公式 : (1; (2; (3; (4; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 32 页(5. 五. 常规方法 : 前提: (1准确判断( 其它如 :; (2变量代换(如:1. 抓大弃小, 2. 无穷小与有界量乘积 ( ( 注:3. 处理( 其它如:4. 左右极限 ( 包括: (1; (2; ; (3分段函数 : , , 5.
3、 无穷小等价替换 ( 因式中的无穷小 (注: 非零因子6. 洛必达法则(1 先”处理” , 后法则 (最后方法 ; ( 注意对比 : 与(2 幂指型处理 : (如: (3 含变限积分 ; (4 不能用与不便用7. 泰勒公式 ( 皮亚诺余项 : 处理和式中的无穷小8. 极限函数 : (分段函数六. 非常手段精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 32 页1. 收敛准则 : (1(2 双边夹 : *, *(3 单边挤 : * * *2. 导数定义 ( 洛必达?: 3. 积分和: , 4. 中值定理 : 5. 级数和( 数一三 : (
4、1收敛, ( 如 (2, (3与同敛散七. 常见应用 : 1. 无穷小比较 ( 等价, 阶: *(1(22. 渐近线( 含斜: (1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 32 页(2,(3. 连续性: (1间断点判别 (个数; (2分段函数连续性 ( 附:极限函数 , 连续性八. 上连续函数性质1. 连通性: (注:, “平均”值:2. 介值定理 : ( 附: 达布定理(1 零点存在定理 : (根的个数 ; (2. 第二讲 : 导数及应用 ( 一元(含中值定理一. 基本概念 : 1. 差商与导数 : ; (1 ( 注:连续(2
5、 左右导 : ; (3 可导与连续 ; ( 在处, 连续不可导 ; 可导2. 微分与导数 : (1 可微可导; (2比较与的大小比较 (图示; 二. 求导准备 : 1. 基本初等函数求导公式 ; ( 注: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 32 页2. 法则: (1四则运算 ; (2复合法则 ; (3反函数三. 各类求导 (方法步骤 : 1. 定义导: (1与; (2分段函数左右导 ; (3(注: , 求:及的连续性2. 初等导( 公式加法则 : (1, 求:(图形题 ; (2, 求: ( 注: (3, 求及 ( 待定系数
6、3. 隐式(导: (1 存在定理 ; (2 微分法 (一阶微分的形式不变性 . (3 对数求导法 . 4. 参式导( 数一, 二: , 求:5. 高阶导公式: ; ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 32 页; 注: 与泰勒展式 : 四. 各类应用 : 1. 斜率与切线 ( 法线; ( 区别: 上点和过点的切线2. 物理: ( 相对变化率速度; 3. 曲率(数一二 : (曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆4. 边际与弹性 ( 数三: ( 附: 需求, 收益, 成本, 利润五. 单调性与极值 (必求导1. 判别(驻点: (
7、1 ; ; (2 分段函数的单调性(3零点唯一 ; 驻点唯一 (必为极值 , 最值. 2. 极值点: (1 表格(变号; ( 由的特点(2 二阶导 (注(1与的匹配(图形中包含的信息 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 32 页(2 实例: 由确定点“”的特点 . (3 闭域上最值 (应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优3. 不等式证明 (1 区别: * 单变量与双变量 ? *与? (2 类型: *; *; *(3 注意: 单调性端点值极值凹凸性 . ( 如: 4. 函数的零点个数 : 单调介值六. 凹凸与拐点 (
8、必求导!: 1. 表格; (2. 应用: (1泰勒估计 ; (2单调; (3凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数 : ( 注: 最值点必为驻点1. 结论: 2. 辅助函数构造实例 : (1(2(3(4; 3. 有个零点有个零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 32 页4. 特例: 证明的常规方法 : 令有个零点(待定5. 注: 含时, 分家!( 柯西定理6. 附( 达布定理 : 在可导,使:八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ; (2. 估计: 九. 泰勒公式 (连接之间的桥梁1. 结论: ; 2. 应用: 在已知或值时进行积
9、分估计十. 积分中值定理 (附: 广义: 注: 有定积分 (不含变限条件时使用 第三讲 : 一元积分学一. 基本概念 : 1. 原函数: (1; (2; (3注(1( 连续不一定可导 ; (2 (连续2. 不定积分性质 : (1; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 32 页(2; 二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法 : 拆( 线性性3. 凑微法( 基础: 要求巧, 简, 活(如: 4. 变量代换 : (1 常用(三角代换 , 根式代换 , 倒代换: (2 作用与引伸 (化简: 5. 分部积分 ( 巧
10、用: (1 含需求导的被积函数 (如; (2“反对幂三指” : (3 特别: (* 已知的原函数为; * 已知6. 特例: (1; (2快速法 ; (3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 32 页三. 定积分 : 1. 概念性质 : (1 积分和式 (可积的必要条件 : 有界, 充分条件 : 连续(2 几何意义 (面积, 对称性 , 周期性 , 积分中值*; *(3 附: , (4 定积分与变限积分 , 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分的处理(重点(1可积连续, 连续可导(2; ; (3 由函数参与的求导 , 极限,
11、 极值 , 积分(方程问题3. 公式: (在上必须连续 ! 注: (1分段积分 , 对称性 (奇偶, 周期性(2 有理式 , 三角式 , 根式(3 含的方程 . 4. 变量代换 : (1, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 32 页(2 ( 如:(3, (4; , (5, 5. 分部积分(1 准备时“凑常数”(2 已知或时, 求6. 附: 三角函数系的正交性 : 四. 反常积分 : 1. 类型: (1 (连续(2: (在处为无穷间断2. 敛散; 3. 计算: 积分法公式极限(可换元与分部精选学习资料 - - - - -
12、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 32 页4. 特例: (1; (2五. 应用: ( 柱体侧面积除外1. 面积, (1 (2; (3; (4侧面积:2. 体积: (1; (2(3与3. 弧长: (1(2(3: 4. 物理(数一,二功, 引力, 水压力, 质心, 5. 平均值( 中值定理 : (1; (2, (以为周期 :精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 32 页第四讲 : 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解 ( 注: 应用题中的隐含条件2. 变换方程 : (
13、1 令( 如欧拉方程(2 令(如伯努利方程3. 建立方程 ( 应用题的能力二. 一阶方程 : 1. 形式: (1; (2; (32. 变量分离型 : (1 解法: (2“偏”微分方程 : ; 3. 一阶线性 ( 重点: (1 解法(积分因子法 : (2 变化: ; (3 推广: 伯努利(数一4. 齐次方程 : (1 解法: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 32 页(2 特例: 5. 全微分方程 ( 数一: 且6. 一阶差分方程 ( 数三: 三. 二阶降阶方程1. : 2. : 令3. : 令四. 高阶线性方程 : 1.
14、 通解结构 : (1 齐次解 : (2 非齐次特解 : 2. 常系数方程 : (1 特征方程与特征根 : (2 非齐次特解形式确定 : 待定系数 ; ( 附: 的算子法(3 由已知解反求方程 . 3. 欧拉方程 ( 数一: , 令精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 32 页五. 应用(注意初始条件 : 1. 几何应用 ( 斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积; 注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程 ( 含变限积分 ; 可设3. 导数定义立方程 : 含双变量条件的方程4. 变化率( 速度5. 6. 路径无关得方程 (
15、数一: 7. 级数与方程 : (1 幂级数求和 ; (2方程的幂级数解法:8. 弹性问题 ( 数三第五讲 : 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续 , 偏导, 全微分, 偏导连续 ( 必要条件与充分条件 , (1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 32 页(2(3 ( 判别可微性注: 点处的偏导数与全微分的极限定义: 2. 特例: (1: 点处可导不连续 ; (2: 点处连续可导不可微 ; 二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一 , 二阶偏导 : 注: (1型; (2; (3含变限积
16、分2. 复合函数的一 , 二阶偏导 (重点: 熟练掌握记号的准确使用3. 隐函数( 由方程或方程组确定 : (1 形式: *; * ( 存在定理(2 微分法 (熟练掌握一阶微分的形式不变性: (要求: 二阶导精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 32 页(3 注: 与的及时代入(4 会变换方程 . 三. 二元极值 (定义?; 1. 二元极值 ( 显式或隐式 : (1 必要条件 (驻点; (2 充分条件 (判别2. 条件极值 ( 拉格朗日乘数法 ( 注: 应用(1 目标函数与约束条件 : , ( 或: 多条件(2 求解步骤 :
17、 , 求驻点即可 . 3. 有界闭域上最值 ( 重点. (1(2 实例: 距离问题四. 二重积分计算 : 1. 概念与性质 (“积”前工作 : (1, (2 对称性 (熟练掌握 : *域轴对称 ; *奇偶对称 ; * 字母轮换对称 ; *重心坐标 ; (3“分块”积分 : *; *分片定义 ; *奇偶2. 计算(化二次积分 : (1 直角坐标与极坐标选择 (转换: 以“”为主 ; (2 交换积分次序 (熟练掌握 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 32 页3. 极坐标使用 ( 转换: 附: ; ; 双纽线4. 特例:
18、(1 单变量 : 或(2 利用重心求积分 : 要求: 题型, 且已知的面积与重心5. 无界域上的反常二重积分 ( 数三五: 一类积分的应用 (: 1. “尺寸” : (1; (2曲面面积 (除柱体侧面 ; 2. 质量, 重心( 形心, 转动惯量 ; 3. 为三重积分 , 格林公式 , 曲面投影作准备 . 第六讲 : 无穷级数 (数一, 三一. 级数概念1. 定义: (1, (2; (3 ( 如注: (1; (2( 或; (3 “伸缩”级数 :收敛收敛. 2. 性质: (1收敛的必要条件 : ; (2 加括号后发散 , 则原级数必发散 (交错级数的讨论 ; 精选学习资料 - - - - - -
19、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 32 页(3; 二. 正项级数1. 正项级数 : (1定义: ; (2特征: ; (3收敛( 有界2. 标准级数 : (1, (2, (33. 审敛方法 : ( 注:,(1 比较法 (原理:(估计, 如; (2 比值与根值 : * * ( 应用: 幂级数收敛半径计算三. 交错级数 (含一般项 : (1. “审”前考察 : (1 (2; (3绝对(条件收敛 ? 注: 若, 则发散2. 标准级数 : (1; (2; (33. 莱布尼兹审敛法 ( 收敛? (1 前提: 发散; (2条件: ; (3结论: 条件收敛. 4. 补充方法
20、 : (1 加括号后发散 , 则原级数必发散 ; (2. 5. 注意事项 : 对比; ; ; 之间的敛散关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 32 页四. 幂级数 : 1. 常见形式 : (1, (2, (32. 阿贝尔定理 : (1 结论: 敛; 散(2 注: 当条件收敛时3. 收敛半径 , 区间,收敛域 ( 求和前的准备注(1与同收敛半径(2与之间的转换4. 幂级数展开法 : (1 前提: 熟记公式 (双向, 标明敛域; ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
21、 21 页，共 32 页(2 分解: ( 注: 中心移动 ( 特别: (3 考察导函数 : (4 考察原函数 : 5. 幂级数求和法 ( 注: * 先求收敛域 , * 变量替换 : (1(2,( 注意首项变化(3, (4的微分方程(5 应用:. 6. 方程的幂级数解法7. 经济应用 ( 数三: (1 复利: ; (2现值: 五. 傅里叶级数 (数一: (1. 傅氏级数 ( 三角级数 : 2. 充分条件 ( 收敛定理 : (1 由(和函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 32 页(23. 系数公式 : 4. 题型: ( 注
22、: (1且(分段表示(2或(3正弦或余弦*(4(*5. 6. 附产品: 第七讲 : 向量,偏导应用与方向导 ( 数一一. 向量基本运算1. ; ( 平行2. ; ( 单位向量 (方向余弦3. ; ( 投影:; 垂直:; 夹角:4. ; ( 法向:; 面积:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 32 页二. 平面与直线1. 平面(1 特征(基本量 : (2 方程(点法式 : (3 其它: * 截距式; * 三点式2. 直线(1 特征(基本量 : (2 方程(点向式 : (3 一般方程 (交面式 : (4 其它: * 二点式;
23、* 参数式 ;( 附: 线段的参数表示:3. 实用方法 : (1 平面束方程 : (2 距离公式 : 如点到平面的距离(3 对称问题 ; (4 投影问题 . 三. 曲面与空间曲线 (准备精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 32 页1. 曲面(1 形式: 或; ( 注: 柱面(2 法向 ( 或2. 曲线(1 形式, 调查对象：杨汊湖片区住宅楼盘（新华家园、金色雅园、绿色家园、阳光花园、泽皓雅居、浩海公寓）火车站片楼盘（东方帝园、裕荣家园、元辰国际大厦）（常青花园 10 3. 应用(1 交线, 投影柱面与投影曲线香港路沿线主要
24、楼盘（荷花苑、穗丰花园、香天公寓、澎湖公寓、紫藤花园、华氏儒商花园） (2旋转面计算 : 参式曲线绕坐标轴旋转 ; 说明：本案位于杨汊湖片区（常青路以东、姑嫂树路以西、张公堤以南、发展大道以北围成的片区）内，因此本次调研特针对片区内楼盘做重点调研，重点研究；同时也不能忽视周边片区对本案所在片区的影响，因此根据地域分布特征和房地产市场发展的特点，又对火车站片、金银湖片、香港路沿线楼盘及市场也做调研分析。. 四. 常用二次曲面1. 圆柱面: 2. 球面: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 32 页变形: , 第一部分区域概况
25、 , 3. 锥面: 变形: , 4. 抛物面: , 变形: , 区域住宅市场供应5. 双曲面: 6. 马鞍面: , 或五. (1 法向: , 注: (2 切平面与法线第五部分2. 曲线(1 切向: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 32 页(2 切线与法平面综合: , 第六部分六. 方向导与梯度 (重点1. 方向导(方向斜率 未来市场竞争点 (条件 ( 取得最大斜率值的方向: (1 计算: ; (2 结论; 取为最大变化率方向 ; 为最大方向导数值第八讲 : 三重积分与线面积分 ( 数一第一部分一. 三重积分 (精选学习
26、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 32 页1. 域的特征 ( 不涉及复杂空间域 : (1 对称性 (重点: 含: 关于坐标面 ; 关于变量 ; 关于重心(2 投影法 : (3 截面法 : (4 其它: 长方体第二部分区域市场特征 (1 单变量, (2, (3, (43. 选择最适合方法 : (1“积”前 : *; * 利用对称性 (重点(2 截面法 (旋转体: ( 细腰或中空 , , (3 (直柱体 : (4 球坐标 (球或锥体 : , (5 重心法 ( 3、房价分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
27、- - - - - - -第 28 页，共 32 页4. 应用问题 : (1 同第一类积分 : 质量, , 转动惯量 , 元/ 平方米三个档次走，在18002000 二. 第一类线积分 (5、区域内有一批知名企事业单位，消费层次高；但周边居民文化水平不高，治安印象差积6、市政生活配套资源丰富但水平低 (1; (2对称性 ; (3 代入“”表达式2. 计算公式 : 3. 补充说明 : (1 重心法 : ; (2 与第二类互换 : 4. 应用范围(1 第一类积分(2 柱体侧面积三. 第一类面积分 (精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29
28、页，共 32 页1. “积”前工作元 / 平方米。主要得益于前期投资开发商如新世界、万科对区域市场的推广和炒作，以及便民看房措施。(代入(2 对称性 (如: 字母轮换 , 重心(3 分片2. 计算公式 : (2 与第二类互换 : 四: 第二类曲线积分 (1: (其中有向1. 直接计算 : ,常见(1 水平线与垂直线 ; (22. Green 公式: (1; (2: *换路径 15围路径(3(但内有奇点(变形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 32 页3. 推广(路径无关性 :(1(微分方程( 道路变形原理(2与路径无关 (
29、待定: 微分方程 . 4. 应用功(环流量: (有向,五. 第二类曲面积分 : 1. 定义: , 或 ( 其中含侧2. 计算: (1 定向投影 (单项: , 其中(特别: 水平面 ; 注: 垂直侧面 , 双层分隔(2 合一投影 (多项, 单层: (3 化第一类 (不投影 : 3. 公式及其应用 : (1 散度计算 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 32 页(2公式: 封闭外侧 , 内无奇点(3 注: * 补充“盖”平面 :; * 封闭曲面变形(含奇点4. 通量与积分 : (有向,六: 第二类曲线积分 (2: 1. 参数式曲线: 直接计算 ( 代入注(1 当 时, 可任选路径 ; (2功(环流量:2. Stokes公式: ( 要求: 为交面式 ( 有向, 所张曲面含侧(1 旋度计算 : (2 交面式 (一般含平面封闭曲线 : 同侧法向或; (3Stokes 公式(选择: (化为; (化为; (化为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 32 页
