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1、1 高等数学竞赛不定积分不定积分的概念与性质1、设)10(tan2cos)(sin22xxxxf,求)(xf2、设xxf1)(ln,求)(xf3、已知1)()(xfxxf,试求函数)(xf利用基本积分法求不定积分一、利用凑微分法求不定积分1、 求以下不定分 ; (1)dxxxxcossin12cos2dxxx52123xxdx22cos2sin4dxxxxx5)sin(coscossin2、求以下不定积分1dxexxexxxx) 13()(222dxxxx) 1(ln)ln(233dxxx211arctan4dxxexxxx)cos1 (cossincossin2 5dxxxxxx)ln1 (
2、ln2ln2二、利用第二换元积分法求不定积分1、三角代换求以下积分1221) 1(xxxdx22323)1 (xdxx3dxxx2294211xdx2、倒代换即令tx1求以下积分1)0(222axaxdx2)2(7xxdx3、指数代换令, tax则tdtadxln11xxxdx421226321xxxeeedx4、利用分部积分法求不定积分1dxexx22) 1(2xdxxx2cos)52(33xdxx arccos24dxxx23)(ln5xdxexcos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页2 5、建立以下不定积分的递
3、推公式1dxaxInn)(1222xdxInntan有理函数的积分1、求以下不定积分1dxxxx342222) 1(xxdx3)1)(21(2xxdx2、求以下不定积分1)2(10xxdx2dxxxnn1123dxxx1003)1(124xxdxx3811简单无理函数积分1、dxxx312、dxxxxx1) 1(三角有理式积分1、dxxsin12、dxx3sin13、dxxxsin1sin4、dxxxxcos1sin5、xdxxx3cos2cos4sin6、xdxx65cossin含有反三角函数的不定积分1、xdxxxarctan1222、dxxx32)1 (arccos抽象函数的不定积分1、
4、dxxfxfxfxfxf32)()()()()(2、dxxfxxf)(ln)(ln分段函数的不定积分例如:设1,2; 10,1;0,1)(xxxxxxf求dxxf)(. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页3 高等数学竞赛定积分比较定积分大小1、 比较定积分21ln xdx和212)(lndxx的大小2、 比较定积分10)1ln(dxx和101arctandxxx的大小利用积分估值定理解题一、估值问题1、试估计定积分4542)sin1(dxx的值2、试估计定积分333arctan xdxx的值二、不等式证明1、证明不等
5、式:edxex10212、证明不等式:1143812dxx三、求极限1、21021limdxxxnn2、dxeexxxnn101lim关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题1、求以下导数:13241)(xxtdtxF;2由方程yxtdtttdte00221sin确定的隐函数)(xfy的导数dxdy2、设)(xf在), 0上连续且满足)1(02)(xxxdttf,求)2(f3、设)(xf为关于x的连续函数,且满足方程118162098)()(xxCxxdttftdttf,求)(xf及常数C. 4、求以下极限:1xxtxextdtte6002sinlim225020)cos1(limxdttxx
6、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页4 5、设)(xf是连续函数,且10)(2)(dttfxxf,求)(xf. 6、已知8)()(80dxxfxf且0)0(f,求20)(dxxf及)(xf定积分的计算一、分段函数的定积分1、设;,2,20,)(lxlclxkxxf求xdttfx0)()(2、求定积分222),max (dxxx二、被积函数带有绝对值符号的积分1、求以下定积分:1eedxx1ln210dtxtt2、求定积分223coscosdxxx的值三、对称区间上的积分1、设)(xf在,aa上连续,计算1132)cos
7、1sin(dxxxxx2 、 设)(xf在),(上 连 续 , 且 对 任 何yx,有)()()(yfxfyxf, 计 算112)()1(dxxfx3、计算积分4421sindxexIx4、 设)(),(xgxf在 区 间)0(,aaa上 连 续 ,)(xg为 偶 函 数 , 且)(xf满 足 条 件Axfxf)()(A为常数 . 1证明:aaadxxgAdxxgxf0)()()(2) 利用 1的结论计算定积分22arctansindxexx四、换元积分法1、求以下定积分:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页5 121
8、41)1(arcsindxxxx 22ln021dxex 3dxxxxx201010cossin4cossin五、分部积分1、设)(xf有一个原函数为xxsin,求2)(dxxfx2、301arcsindxxxx3、102)2()1ln(dxxx积分等式的证明一、换元法适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件1、假设函数)(xf连续,证明:120023)(21)(aadxxxfdxxfx2dxxabafabdxxfba10)()()(3xxdxxdxx1121211112、设)(xf连续,求证dxxfdxxxf00)(sin2)(sin,并计算023cos1sindxxxx3、设)(xf连续,
9、且关于Tx对称,bTa,z 证明:babTbTadxxfdxxfdxxf2)()(2)(提示:)(xf关于T对称,即)()(xTfxTf二、分部积分法适用于被积函数中含有)(xf或变上限积分的命题例:设)(xf连续,xdttaftfxF0)2()()(,证明:)2()0()()(2)2(2affafaFaF三、构造辅助函数法适用于证明在积分限中至少存在一点或0x使等式成立的命题解题思路: 1 将或0x改成x, 移项使等式一端为零,则另一端即为所作的辅助函数)(xF或)(xF。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页6 2验
10、证)(xF满足介值定理或微分中值定理的条件。3由介值定理或微分中值定理,即可证得命题。1、设)(),(xgxf在,ba上连续,证明:至少存在一点),(ba,使得:abdxxfgdxxgf)()()()(2、设)(xf在,ba上连续,在),(ba内可导,)(21)(,)(22abdxxfaafba.求证: 在),(ba内至少存在一点使1)()(ff四、积分不等式的证明常用的证明积分不等式的定理有:定积分的比较定理,估值定理,函数的单调性,积分与微分中值定理。1、设)(xf在,ba上连续,且严格递增,证明:babadxxxfdxxfba)(2)()(2、设)(xf在), 0上连续且单调减少,ba0
11、,求证:badxxfbdxxfa00)()(3、设)(xf在,ba上可导,且0)(,)(afMxf.证明:baabMdxxf2)(2)(广义积分1、求以下广义积分102dxxex2942xxdx3edxxx12)(ln114202)1(xdx2、证明:无穷积分)0(1pxdxp当1p时收敛,当10p时发散 . 3、当0p时,10pxdx是以0x为瑕点的瑕积分,证明它在10p时收敛,在1p时发散 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页7 高等数学竞赛导数与微分练习利用导数定义解题1、 设 函 数.2,0; 2,21si
12、n)2()(2xxxxxg又)(tf在0t处 可 导 , 求 复 合 函 数)(xgfy在2x处的导数。2、 已知)(xf在0x处可导,求)()2(lim00xfxxfxx3、 设, 1, 1,32)(23xxxxxf求)(xf在点1x处的导数)1 (f4、 设函数)(xf在ax处可导,且,0)(af试求nnafnaf)()1(lim5、 设,)1 (,0)1(aff求极限xxfefxxcosln)sin1(1)(21lim2026、 设)(xf在R上有定义,且,1)0(f又xyeyfexfyxf)()()(,求)(xf导数在几何上的应用1、 设函数)(xfy由方程1)cos(2exyeyx确
13、定,求曲线)(xfy在) 1 ,0(处的法线方程2、 已知)(xf是周期为 5 的连续函数,它在0x的某个领域内有关系式),(8)sin1 (3)sin1(xxxfxf其中)(x是当0x时比x高阶的无穷小,且)(xf在1x处可导,求曲线)(xfy在点)6(,6(f处的切线方程 . 利用导数公式及求导法则求导1、已知xxxy)1(,求y2、假设txxxttf2)11(lim)(,求)(tf3、假设dxdyxxfxxfy求,ln)(),112(31精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页8 4、设函数)(xyy由方程xyxyx
14、sin)ln(32确定。求0xdxdy5、设函数)(xyy由52arctan2tetyytx所确定,求dxdy6、设函数)(yxfy,其中f具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求22dxyd求高阶导数常用方法:1将函数变形。利用已知函数的n阶导数公式; 2利用莱布尼兹公式求某些积的n阶导数。1、设函数)1)(21(1)(xxxf,求)0()(nf2、设函数)23ln(2xxy,求)50(y3、设函数,arctan)(xxf求)0()( nf4、设函数xexy22,求)20(y5、设函数xeyxsin可导、连续与极限存在的关系1、 设.00;0,)()(xxxexgxfx其中)(xg具有二阶连续导数,且,1)0(g.1)0(g求),(xf并讨论),(xf在),(内的连续性。2、设.00; 0,1sin)(xxxxxf其中,0讨论在什么条件下)(xf在0x处连续。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页