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1、中考数学复习资料，精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持，感激不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（35）两种对称一、内容提要1. 轴对称和中心对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴把一个图形绕着某一点旋转180 ， 如果它能够和另一个图形重合， 那么这两个图形关于这点对称，这点叫做对称中心2. 轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形中叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么
2、这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。3. 性质：成轴对称或中心对称的两个图形是全等形对称轴是对称点连线的中垂线；对称中心是对称点连线的中点两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上4. 常见的轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正多边形，圆等；中心对称图形有：线段，平行四边形，边数为偶数的正多边形，圆等二、例题例1. 求证：若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则它的中位线与高相等证明：等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线MN 是它的对称轴，对应线段AC和 BD的交点 O ，在对称轴 MN上AC BD D N C AOB 和COD
3、都是等腰直角三角形，OM 和 ON 是它们的斜边中线O OM 21AB ，ON 21CD MN 21（AB CD ）A M B 梯形中位线与高相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页例2. 已知矩形 ABCD 的边 AB 6，BC 8，将矩形折叠，使点C和点 A重合，求折痕 EF的长解：折痕 EF是对称点连线 AC的中垂线连结 AE ，AE CE ，设 AE x, 则 BE 8x 在 R ABE中，x2=(8-x)2+62 解得 x=425，即 AE 425在 RtAOE 中，OE 225)425(415EF 2OE
4、7.5 例3. 已知： ABC 中，AB AC,过点 A的直线 MN BC ，点 P是 MN上的任意点求证：PB PC 2AB 证明：当点 P在 MN上与点 A重合时，PB PC AB AC ，即 PB PC 2AB 当 P不与 A重合时作点 C关于直线 MN的对称点 C，则 PC，PC ，AC，AC AB PAC，PAC ACB PAC，PAC BAC 180B，A，C，三点在同一直线上PB PC，BC，即 PB PC 2AB PB PC 2AB 例4. 已知：平行四边形ABCD 外一点 P0，点 P0关于点 A的对称点 P1，P1关于点 B的对称点 P2，P2关于点 C的对称点 P3，P3
5、关于点 D的对称点 P4求证：P4与 P0重合证明： （用同一法）顺次连结P0，P1，P2，P3，P4，根据中心对称图形性质，点A，B，C，D分别为 P0P1，P1P2，P2P3，P3P4的中点AB P0P2CD 连结 P0P3，取 P0P3的中点 D，连结 D，C ，则 D，C P0P2CD，和 CD 重合，D,P4P3P2P1P0ABCDABCDOFEC,ABCNMP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页P4和 P0重合正方形 ABCD 的边长为 a 求内接正三角形AEF的边长解：正方形 ABCD 和等边三角形 AE
6、F都是轴对称图形，直线AC是它的公共对称轴，可知 ABE ADF BE DF ，CE CF 设等边三角形 AEF边长为 x ，根据勾股定理得CE2CF2x2,CE=x22,BE=ax22在 RtABE中，x2=( a x22)2+a2 x2+22ax4a2=0 由根公式舍去负根，得x=(2-6) a 答：等边 AEF的边长是 (2-6)a 三、练习 35 1. 下列图形属轴对称而不是中心对称图形的有属中心对称而不是轴对称图形的有既是轴对称又是中心对称的图形有线段角等腰三角形等腰梯形矩形菱形平行四边形正三角形正方形圆2. 坐标平面内，点 A的坐标是（ xa，yb）那么点 A关于横轴的对称点B的坐
7、标是（）点 A关于纵轴的对称点C的坐标是（）点 A关于原点的对称点D的坐标是（）3. 坐标平面内，点 M （a, b）与点 N（a,b ）是关于的对称点点 P（m 3,n ）与点 Q （3m,n）是关于的对称点4. 已知：直线 m的同一侧有两个点A和 B 求作：在 m上一点 P，使 PA PB为最小5. 已知：等边 ABC 求作：点 P，使 PAB ，PBC ，PAC都是等腰三角形a-2 x2xaABCDEFmABABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页（本题有 10 个解，至少作出 4 个点 P）6. 求证：等腰梯
8、形两腰的延长线的交点，对角线的交点，两底中点，这四点在同一直线上（用轴对称性质）7. 已知： ABC 中，BC AC ，从点 A作C平分线的垂线段 AD ，点 E是 AB的中点求证： DE 21（BC AC ）8. 已知： ABC 中，AB AC ，BD是角平分线， BC AB AD 求： C的度数（90 年泉州市双基赛题）9. 已知：正方形 ABCD 中，AB 12，P在 BC上，且 BP 5，把正方形折叠使点A和点 P重合，求：折痕 EF的长10 . 平行四边形 ABCD 的周长是 18cm,A和B的平分线相交于M ，点 O是对称中心， OM 1cm ，求各边长11.ABC 中， B2C，
9、AD是角平分线， E是 BC的中点， EF AD和 AB的延长线交于点 F 求证BD 2BF （创建轴对称图形，过点C作 CG BC交 AB延长线于 G ）12.正方形 ABCD 的边长为 a, 形内一点 P，P到 AB两端及边 BC的距离都相等，求这个距离。13.求证一组对角相等且这组对角顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（1988年全国初中联赛题）提示：用反证法，作 ABD关于点 O （对角线交点）的对称三角形14矩形 ABCD 中，边 AB 3，对角线 AC=2 ，在矩形内 O1和 BC 、AC分别切于点 E，F，O2与 AD ，AC分别切于 M ，N 求： ACB
10、与O2AN的度数 如果折叠矩形后( 折痕为 AC)，点 O2落在 AB边上的点 K处：在图上画出点 K确切位置，并说明理由；设 O1，O2的半径都等于 R ，试求折叠矩形后，两圆外离时的圆心距与R的取值范围。15.已知： AD是ABC的外角平分线，点这P在射线 AD上求证： PB+PC AB+AC 16.已知：坐标平面内，点A关于横轴的对称点为B，点 A关于原点的对称点为C 求证： 点 B和点C是关于纵轴的对称点17.已知： AD是等腰直角三角形ABC 斜边上的高， BM ，BN三等分 ABC并和 AD顺次交于 M ，N，连结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
11、- - - - - -第 4 页，共 5 页并延长 CN交 AB于 E，求证： EM BN 练习 35 参考答案：1.；2.（x+a,-y+b ）（ -x-a,y-b）（ -x-a,-y+b）3.原点；纵轴。4.作点 A关于直线 m 的对称点5.作 AB和 BC的中垂线，其交点P1；以 A为圆心， AC为半径作弧交 BC的中垂线于 P2，P3；以 C为圆心，CA为半径作弧交 BC的中垂线于 P4，其余的 6 个点可用类似方法作出6.等腰梯形的对称轴是底边的中垂线，对应线段的交点在对称轴上7.延长 AD交 BC于 F，DE是ABF的中位线8.延长 BA到 E使 AE AD ，则 EBD和CBD
12、关于 BD对称9.EF是 AP中垂线，作 EG CD于 G ，可证明 EFG APB 10. 延长 AM和 BC相交于 N，则 BN AB 11. 以 AD为轴作 ADC 的对称 ADG 12. 85a 13. ABD 绕点 O旋转 180 ，点 A落在射线 OC上的某点 A，设点 A，不是点 C，则 BA，D大于或小于BCD 14. 60 ，30 0R21（31） ，31d 2 15. 以 AD为轴作点 C的对称点 C116. （略）17. AD是ABC的对称轴， CM ，CN也三等分 ACB ，点 N是AEC的内心精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
