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1、优秀学习资料欢迎下载高三寒假数学综合卷(一)一、填空题(每小题5 分,共 70 分)1、 设复数122,2 ()zi zxi xR, 若12zz为实数,则x为. 2、*()RNNe3、半径为 1 的半球的表面积为. 4、 “cosyx是周期函数”写成三段论是:大前提:三角函数都是周期函数小前提:结论:函数cosyx是周期函数5、若某程序框图如所示,则该程序运作后输出的y等于 . 6、在锐角ABC中,2,ABBC的对边长分别是,b c,则bbc的取值范围是. 7、若双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14,则该双曲线的渐近线方程是 . 8、已知各项均为正数
2、的等比数列765:2,nmnaaaaaa满足若1192 ,amn则的最小值为 . 9、 已 知定 义 在R上 的 可导 函 数( )yf x的 导 函 数为/( )fx, 满 足/( )( )fxfx且(1)yf x为偶函数,(2)1f,则不等式( )xf xe的解集为. 10、两圆22240()xyaxaaR和224140()xyb ybbR恰有三条共切线,则11ab的最小值为 . 11、设定义在R 上的函数( )fx满足对,x tR,且0t,都有()( )0t f xtfx,则( ,)|( )( , ) |x yyf xx yya的元素个数为12、设点()ab,在平面区域() |1|1Da
3、bab, ,中按均匀分布出现,则椭圆开始结束输出y1x1y21yy1xx5?x否是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页优秀学习资料欢迎下载A B C P Q 22221xyab(ab0)的离心率e32的概率为13 已知ABC中,I为内心,2,3,4,ACBCABAIxAByAC且,则xy的值为 . 14、 已知数列na的各项都是正整数,且1352nnnkaaa1nnnaaa为奇数为偶数, k是使为奇数的正整数若存在*mN,当nm且na为奇数时,na恒为常数p,则p二、解答题15、(14 分 ) 如图,正 ABC的边长为
4、15,1235APABAC,1255BQABAC(1)求证:四边形APQB为梯形;(2)求梯形APQB的面积16、 (14 分)如图,已知正四面体ABCD的棱长为3cm(1)求证: ADBC;(2)已知点E是 CD的中点,点P在 ABC的内部及边界上运动,且满足EP 平面 ABD,试求点 P的轨迹;(3)有一个小虫从点A 开始按以下规则前进:在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一,并且沿着这条棱爬到尽头,当它爬了12cm 之后,求恰好回到A 点的概率C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页优秀学习资料欢
5、迎下载17、 (14 分)在海岸A处,发现北偏东045方向、距离A处13海里的B处有一艘走私船;在A处北偏西075方向、距离A处2海里的C处的辑私船奉命以310海里 / 小时的速度追截走私船. 同时,走私船正以10海里 / 小时的速度从B处向北偏东030方向逃窜,问辑私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间?18、 (16 分)如图,在平面直角坐标系中,方程为220xyDxEyF的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直,且AC和BD分别在x轴和y轴上 .(1)求证:0F;(2) 若四边形ABCD的面积为8, 对角线AC的长为 2, 且0A B A D, 求224DEF的值;
6、(3)设四边形ABCD的一条边CD的中点为G,OHAB且垂足为H. 试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线, 并说明理由 .x y HGOAMCBDB A C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页优秀学习资料欢迎下载19、 (16 分)定义:对于任意*nN,满足条件212nnnaaa且naM(M是与n无关的常数)的无穷数列na称为T数列(1)若2nan(*nN),证明:数列na是T数列;(2)设数列nb的通项为243nnbn,且数列nb是T数列,求M的取值范围;(3)设数列1ncqnp(*nN),问数列
7、nc是否是T数列?请说明理由20、 (16 分)对于正整数,a b,存在唯一一对整数qr和,使得,0abqrrq.特别地,当0r时,称b能整除a,记作|b a,已知1,2,3,23A. (1)存在qA,使得201191(091)qrr,试求,q r的值;( 2)求证:不存在这样的函数:1,2,3fA,使得对任意的整数12,x xA,若12| 1,2,3xx,则12()()fxf x;(3)若,( )12( )BA card Bcard B指集合B中元素的个数) ,且存在,|a bB ba b a,则称B为“和谐集”.求最大的mA,使含m的集合A的有 12 个元素的任意子集为“和谐集” ,并说明
8、理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页优秀学习资料欢迎下载答案一、填空题1、4;2、0; 3、53;4、cosyx是三角函数;5、63; 6、1 1(, )3 2; 7、30xy;8、4; 9、(0,);10、1; 11、或;12、116; 13、23; 14、1 或 5. 二、解答题15、解: (1)因PQPAABBQ=1235ABAC1255ABABAC=1315AB, 4 分故PQAB,且 |PQ|=13 ,|AB|=15 ,|PQ| |AB| ,于是四边形APQB为梯形 7 分(2)设直线PQ交 AC于点
9、 M,则25AMAC,故梯形 APQB的高 h 为正 ABC的 AB边上高的25,即23153 352h 11 分从而,梯形APQB的面积为1(13 15)3 342 3214 分16、解: (1)取 BC中点 M,连 AM,DM因 ABC及 BCD均为正三角形,故BCAM,BCDM因 AM, DM 为平面 ADM 内的两条相交直线,故BC 平面 ADM,于是 BCAD 4 分(2)连接 EM,并取 AC的中点 Q,连 QE,QM于是 EQAD,故 EQ平面 ABD同理 MQ平面 ABD因 EQ,MQ 为平面 QEM 内的两条相交直线,故平面 QEM平面 ABD,从而点 P的轨迹为线段 QM8
10、 分(3)依题设小虫共走过了4 条棱,每次走某条棱均有3 种选择,故所有等可能基本事件总数为 34=8110 分走第 1 条棱时,有3 种选择,不妨设走了AB,然后走第2 条棱为:或BA 或 BC或 BD若第 2 条棱走的为BA,则第 3 条棱可以选择走AB,AC,AD,计 3 种可能;若第2 条棱走的为 BC ,则第 3 条棱可以选择走CB,CD,计 2 种可能;同理第2 条棱走 BD 时,第 3 棱的走法亦有 2 种选择12 分故小虫走 12cm 后仍回到A 点的选择有3 (3+2+2)=21 种可能于是,所求的概率为217812714 分17、解:设辑私船t小时后在D处追上走私船,则有t
11、BDtCD10,310.在ABC中,0120,2, 13ABCACAB. 利用余弦定理可得6BC.4 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页优秀学习资料欢迎下载由正弦定理,222362sinsinBACBCACABC, 得045ABC,即BC与正北方向垂直. 于是0120CBD. 8 分在BCD中,由正弦定理得,21310120sin10sinsin0ttCDCBDBDBCD得030BCD, 又0030sin120sinBCCD,63310t,得106t. 12 分答:当辑私船沿东偏北30的方向能最快追上走私船,最少要
12、花的时间为610小时 .14 分18、解 :(1)证法一:由题意,原点O必定在圆M内,即点(0,0)代入方程220xyDxEyF的左边后的值小于0,于是有0F,即证 . 4 分证法二:由题意,不难发现A、C两点分别在x轴正负半轴上. 设两点坐标分别为,0A a,,0C c,则有0ac. 对于圆方程220xyDxEyF,当0y时,可得20xDxF,其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标,于是有ACx xacF. 因 为0ac,故0F. 4 分(2)不难发现,对角线互相垂直的四边形ABCD面积2ACBDS,因为8S,2AC,可得8BD. 6 分又因为0AB AD,所以A为直角,而因为四边形是圆M的
13、内接四边形,故284BDrr. 8 分对于方程220xyDxEyF所表示的圆,可知22244DEFr,所以2224464DEFr. 10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页优秀学习资料欢迎下载(3)证:设四边形四个顶点的坐标分别为,0A a,0,Bb,,0C c,0,Dd. 则可得点G的坐标为,2 2c d,即,2 2c dOG. 12 分又,ABa b,且ABOH,故要使G、O、H三点共线,只需证0AB OG即可 . 而2bdacAB OG,且对于圆M的一般方程220xyDxEyF,当0y时可得20xDxF,其中
14、方程的两根分别为点A和点C的横坐标,于是有ACx xacF. 14 分同理,当0x时,可得20yEyF,其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标,于是有BDy ybdF. 所以,02bdacAB OG,即ABOG. 故O、G、H必定三点共线 . 16 分19、解: (1) 由2nan得222212(2)2(1)20nnnaaannn所以数列na满足212nnnaaa. 2nan(*nN)单调递减 ,所以当 n=1 时,na取得最大值 -1,即1na. 所以,数列na是T数列 . 4 分(2) 由243nnbn得112413243242 3nnnnnbbnn,当242 30n,即2n时,10nnb
15、b,此时数列nb单调递增; 6 分而当3n时,10nnbb,此时数列nb单调递减;因此数列nb中的最大项是3b,所以,M的取值范围是3494Mb. 9 分(3) 假设数列nc是T数列,依题意有:2111222(2)(1)()(1)(2)nnncccpnpnpnpn pnpn11 分因为*nN,所以当且仅当p小于n的最小值时 ,2102nnnccc对任意n恒成立,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页优秀学习资料欢迎下载即可得1p. 14 分又当1p时,0np,1ncqqnp,故Mq综上所述:当1p且Mq时,数列nc是T数
16、列 16 分20、 (1)解:因为201191 229,所以22,9qr. 3 分( 2) 证 明 : 假 设 存 在 这 样 的 函 数:1,2,3fA, 使 得 对 任 意 的 整 数, x y, 若12| 1,2,3xx,则12()()fxf x. 设(1),1,2,3,(2),1,2,3fa afb b,由已知ab. 由于|31|2,| 32 |1,所以(3)(1), (3)(2)ffff. 6 分不妨令(3),1,2,3fc c,这里,ca且cb,同理,(4),(4)fbfc且, 因为1,2,3只有三个元素,所以(4)fa. 即(1)(4)ff,但|41|3,与已知矛盾. 因此,假设
17、不成立,即不存在这样的函数:1,2,3fA,使得对任意的整数12,xxA,若12| 1,2,3xx,则12()()f xf x. 9 分( 3) 解 : 当8m时 , 记7|1, 2,16,2(7) |1, 2, 3MiiNii, 记MPNe, 则()1 2c a r dP, 显 然 对 任 意116ij, 不 存 在3n, 使 得7( 7)jni成立 .故P是非 “和谐集”,此时,8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23P. 同理,当9,10,11,12m时,存在含m的集合A的有 12 个元素的子集为“和谐集”. 因此7m. 12 分下面证明:含7 的任意集合A的有
18、 12 个元素的子集为“和谐集”. 设1211,7Ba aa. 若 1,14,21 都不属于集合B,构造集合1232, 4,8,16,3,6,12,5,10, 20BBB,/459,18,11,22,13,15,17,19, 23BBB. 以上12345,BBBBB每个集合中的元素都是倍数关系.考虑/BB的情况,也即/B中 5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页优秀学习资料欢迎下载个元素全都是B的元素,B中剩下 6 个元素必须从12345,B BBBB这 5 个集合中选取6 个元素,那么至少有一个集合有两个元素被选,即集合B中至少有两个元素存在倍数关系. 综上所述, 含 7 的任意集合A的有 12 个元素的子集B为 “和谐集”, 即m的最大值为7.16 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页