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1、2.1（2）空间点、直线、平面之间的位置关系（教学设计）2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教学目标 ：1、知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）理解并掌握异面直线所成角的定义、范围及应用。2、过程与方法（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。3、情感态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。重点：1、异面直线的概念；2、公理 4 及等角定理。难点：异面直线所成角的计算。教学过程一、复
2、习回顾：1、平面有哪些性质？（无限延展性）（1）同一平面内的两条直线位置关系有哪些？（平行、相交）（2）空间的两条直线有哪些位置关系呢？二、创设情景、导入课题通过身边诸多实物（如：正方体、正四面体（学生自已做的几何体等） ，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。三、师生互动、新课讲解1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交：同一平面内，有且只有一个公共点平行：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点共面直线：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
3、 - - -第 1 页，共 5 页例 1：判断：下列各图中直线l 与 m是异面直线吗 ? 1 2 3 4 5 6 2、平行公理：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？组织学生观察长方体模型并思考：长方体 ABCD-A BC D中，BB AA ， DD AA ，BB 与 DD 平行吗？（平行）再联系其他相应实例归纳出公理4 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。数学符号语言表示：共同讨论得出符号表示为：设a、b、 c 是三条直线ab cb 公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 的作用：用于判断
4、空间两条直线平行。例 2（课本 P45 例 2） ：如图，已知空间四边形ABCD 中，点 E、F、G 、H分别是边AB 、BC、CD 、DA的中点，试判断四边形 EFGH是什么四边形，并证明你的结论。证明：连结BD E、H分别是 AB 、 AD的中点EH是 ABD的中位线EH BD ，且 EH=21BD 同理， FG BD ，且 FG=21BD EH FG ，且 EH=FG 四边形EFGH 是平行四边形探究：在例2 中，若加上条件AC=BD ，那么这个四边形是什么四边形？（菱形）例 3：如右图：长方体ABCD-A B CD中， E、F 分别是 CD、 CC的中点，那么AE与 BF的位置关系怎=
5、ac FGDCBAHECDCBDAABlmlmlmlmlmlm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页样？3、等角定理：平几中的等角定理在空间中结论是否依然成立？让学生观察、思考：ADC与 ADC 、 ADC与 ABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？（ ADC = ADC ， ADC + AB C = 1800）师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直
6、线 a a、b b，我们把a 与 b 所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角） 。结论： a 与 b所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0 ， ； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a b； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。例 4： （1）如图，观察长方体ABCD-A B C D，有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？（ 2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直
7、，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？例 5（课本 P47 例 3）如图，已知正方体ABCD-A B CD。（1）哪些棱所在直线与直线B A是异面直线？（2）直线 B A与 CC 的夹角是多少？2FECDCBAADBCDCBDAABADCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页（3）哪些棱所在直线与直线AA垂直？课堂练习：（课本 P48练习 NO ： 1；2）四、课堂小结，巩固反思：（1）本节课学习了哪些知识内容？（2）计算异面直线所成的角应注意什么？（3）通过本节课的学习，
8、最大收获是什么？五、布置作业：A组：1、 （课本 P51习题 2.1A 组第 3 题） （做在书上即可）2、 （课本 P51习题 2.1A 组第 4 题） （做在书上即可）3、 （课本 P51习题 2.1A 组第 5 题） （做在书上即可）4、 （ 1）分别在两个平面内的两条直线的位置关系是_。( 相交，平行、异面) （2）不平行的两条直线的位置关系是_（相交或异面）（3）直线 a 和 b 是异面直线，直线c/a ，那么 b 与 c 的位置关系是_（相交或异面）（4）两条直线没有公共点，它们的位置关系是_（平行或异面）B组：1、 （课本 P51习题 2.1B 组第 1 题） （做在书上即可）2
9、. 一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（ D ）A. 平行 B. 相交 C. 异面 D.可能相交、可能平行、可能异面3. 已知 a、b 是异面直线，ca，那么 c 与 b（C）A.一定是异面直线 B. 一定是相交直线C. 不可能是平行直线D.不可能是相交直线4、如图，正方体ABCD-EFGH 中如图，正方体ABCD-EFGH 中 O为侧面 ADHE 的中心，求(1)BE 与 CG所成的角？(2)FO 与 BD所成的角？解： (1) 如图： CG BF， EBF(或其补角 ) 为异面直线BE与 CG所成的角，又 BEF 中 EBF =450，所以 BE与 CG所成
10、的角为450 （2）连接 FH，HD EA FB HD FB 四边形HFBD为平行四边形，HFBD ， HFO （或其补角）为异面直线FO与 BD所成的角。连接 HA 、AF，易得 FH=HA=AF ， AFH为等边，又依题意知O为 AH中点 , HFO=300 即 FO与 BD所成的夹角是300 注 4：求异面直线的步骤是: “一作 ( 找) 二证三求”5、如图 , 已知长方体ABCD-EFGH 中, AB =32, AD =32, AE = 2 (1) 求 BC 和 EG 所成的角是多少度? A B G F H E D C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页(2) 求 AE 和 BG 所成的角是多少度? 解答： (1) 450 (2) 600 6、(tb2601303)正四面体 ABCD中，已知E、F、G、H分别是 AC 、BC 、BD 、 AD的中点，求证：四边形EFGH 是正方形。G F H E B C D A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
