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1、学习好资料欢迎下载第八章访查分析一方差分析初步思考以下实验设计的统计方法? ? ? ? ? 琰茞 ? ? 培训经历无网上辅导考前辅导专业心理学专业非心理学专业t-检验和 z-检验不能用于多于 2 组的数据 . 处理这类数据需要用一种新的推论统计程序: 方差分析 (ANOVA). ? ? ? ? ? 琰茞 ? ? 学习的时间2 个月4 个月6 个月性别男女ANOVA能够处理数据的类型：在上例中有两个自变量 (称为因素 ): 学习的时间和性别. 两个都是组间 (独立样本 ) 变量 . ANOVA 亦可用于分析包含组内 (重复测量 ) 因素的研究设计，同时包含组间和组内因素的混合设计(e.g. 假设
2、上例中我们对复习时间超过半年的学员纵向研究。性别是组内变量,学习的时间是组间变量). 什么是因素？什么是水平？在方差分析中,因素就是自变量. 包含一个自变量的研究称为单因素设计（single-factor design）. 具有多于一个自变量研究称为因素设计（factorial design ）. 请举一个单因素设计的例子请前一个例子上再将这个改为多因素设计构成因素的个别处理条件称为因素的水平. 性别这个因素的水平？上述研究称为因素设计, 两个组间因素,培训的经历这个因素有 3 个水平，专业这个因素有 2 个水平 (称为 3 X 2 组间设计 ). ANOVA的逻辑与假设检验的逻辑是同样的,
3、只是具体内容有变化step 1: 陈述 H0 (和 H1 ?) ，确定标准 : = ? step 2: ANOVA 检验总是 单尾step 3: 指出检验的df ( 有两个 df) step 4: 查表找出临界 F 统计量step 5: 对于样本，计算 F 统计量step 6: 比较 F 统计量 和临界 F 统计量step 7: 对于 H0 作出结论单因素 , 独立测量研究设计的例子精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页学习好资料欢迎下载检验三个不同的学习方法的效应。将学生随机分配到3 个处理组方法 A：让学生只读课本
4、, 不去上课 . 方法 B：上课 ,记笔记，不读课本. 方法 C：不读课本，不去上课, 只看别人的笔记Step 1: 陈述假设和设定标准 (选择 a) H0: 1 = 2 = 3 H1: 其中一个组与另一个（或更多）的组均值不同。备择假设可能的形式很多：1 不等于 2 = 3 1 = 3 不等于 2 1 = 2 不等于 3 1 不等于 2 不等于 3 因此，只需给出虚无假设就够了step 2: ANOVA 检验总是单尾. 因为不存在负的方差. F 分布表也只有单侧的Alpha. （F分布图）step 3: 找出检验的 df. 注意要考虑几个 df step 4: 从表找出临界 F 统计量与 t
5、 分布表类似 , F 分布表也是描述一族 F 分布 . 需要用到两个df,用一个找出正确的行另一个找出正确的列.上面一行对应于= 0.05, 下面一行对应于= 0.01. step 5: 计算样本的 F 统计量观测值概念的水平的讨论：ANOVA 非常类似两个独立样本的 t 检验tobs = 得到的样本均值间差异期望的机会差异对于 ANOVA检验统计量 (称为 F 比率 ) 类似F = 样本均值间方差 (差异 ) 期望的机会 (误差 )方差 (差异 ) 为什么用方差? 因为有多于两个组. 如何计算一个分数来描述差异间分布? 差异不能够分割, 但是方差能够分割。这就是ANOVA - 方差分析名字的
6、由来. 首先考虑方差的来源. 什么造成样本的不同(处理间变异 ) ？处理 /组效应 - 处理造成的差异个体差异效应 - 个体差异变异随机误差每一个样本内部的变异 (处理内变异 ) 个体差异效应随机误差F 比率 可以表达为 : F 比率 =样本均值间的方差 (差异 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页学习好资料欢迎下载期望的机会 (误差 )方差 (差异 ) F 比率 =处理间方差处理内方差F 比率 = 处理效应 + 个体差异 + 随机误差个体差异 + 随机误差注意 : 有时分母叫做误差部分，其量度了由于机会造成的方
7、差如果 H0 为真 ,处理效应的值应该如何? H0: 1 = 2 = 3 如果没有差异, 效应方差 = 0 如果效应方差 = 0, F 比率值 ? F 比率 = 0 + 个体差异 + 随机误差 = 1.0 个体差异 + 随机误差如果 H0 为假， F 比率应该大于 1. step 6: 比较 F 统计量的观测值与临界 F 统计量如果 F 统计量的观测值 (Fobs) 在统计上显著地大于 1.0 则拒绝 H0 ANOVA的专用符号K = 处理条件 (或组 )的数目n = 每一个组的数目(如果它们相等) ni = 第 i 组的数目 (如果 它们不等 ) N = ni = 总的样本容量Ti = Xi
8、j G = Xij = 总的和G-bar = G / N = 总的均值SSi = 每一个组的和方 = (Xij - Xi)2 在上例中：X2 = 106 G = 30 = 总的和N = 15 = 总的样本容量G-bar = 30/15 = 2 = 总的均值K = 3 = 处理条件 (或组 ) 的数目ANOVA的过程和例题F 比率 = 处理间方差处理内方差需要找出两个方差. 最基本公式s2 = SS/df. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页学习好资料欢迎下载SS 和 = X2 - (G2/N) SS 和 = 106
9、 - (302/15) =106 - 60 = 46 需要将其分解为组间变异和组内变异. SS 和 = SS 组间 + SS 组内如何得到SS组内 ? 将每一个组SS相加SSwithin = SS 每一个 处理内部 = SSi = 6 + 6 + 4 = 16 如何得到SS组间 ? 快捷的方法是: SS 和- SS组内若数据足够，不推荐用这种方法,因为 : 无法检查计算错误未涉及 SS组间是如何组成. 直接计算 SS组间的两个公式 :定义公式和计算公式SS 和 = SS 组间 + SS 组内 = 16 + 30 = 46 s2 = SS/df. 已计算出SS, 找出 df: 共有两个 (或三个
10、 ) 自由度 , 一个组间方差df,一个组内方差df (以及一个总的 df). df 和 = N - 1 df 组内 = = N - K df 组间 = K - 1 df 和 = df 组内 + df 组间在例子中 : df 组内 = 15 - 3 = 12 df 组间 = 3 - 1 = 2 df 和 = 15 - 1 = 14, = 12 + 2 现在计算方差. 这里称为均方. 方差 = 均方 = MS = SS/df MS 组间 = SS 组间 /df 组内- 上例中 = 30/2 = 15 注意 : 有时 MS 组间称为误差的均方. MS 组内 = MS 误差 =误差的均方 = SS
11、组内 /df 组内- 上例中 = 16/12 = 1.33 F 比率 = 处理间方差 = MS 组间处理内方差 MSw 组间上例中的F 比率是 : 15/1.33 = 11.28 方差分析表精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页学习好资料欢迎下载查 F 表 确定 Fcrit 查 F 表 确定 Fcrit 对假设作出结论df 组间 = 分子的 df df 组内 = 分母的 df ( 误差 ) - 上例中 : df 组内 = 12; df 组间 = 2 如果选择 a = .05, Fcrit = 3.88 如果选择 a =
12、 .01, Fcrit = 6.93 F 比率的观测值11.28 大于 Fcrit., 所以拒绝 H0 (m1 = m2 = m3). 报告结果F(df 组间 ,df 组内 ) = Fobs, p ? 单因素方差分析发现学习方法有显著的效应, F(2,12) = 11.28, p 0.01. 事后检验（ Post hoc tests） ANOVA 的结果是检验H0: 1 = 2 = 3 ,这是一个两点 (拒绝 /不拒绝 ) 决策 . 并未提供哪个备择假设得到支持. 也就是说 , 只知道一些组与其它组不同, 但并知道差别在哪些组之间 . 所以从 ANOVA得到显著差异的结果 (拒绝 H0)后,一
13、定要做作事后检验 . 事后检验使我们能够比较各组, 发现差异产生在什么地方. 事后检验就是比较每一个处理组与另一个处理组, 一次比较两个. 这称为成对比较. 在上例中 , 可以比较1 与 2, 1 与 3, 以及 2 与 3. 这样的做法有没有问题？每一个比较都是一个单独的假设检验, 每一个都有犯I 类错误的风险. 所以 ,比较对数越多, 作结论的风险越大。即容易发现实际不存在的差异。这称为实验导致的（experimentwise ）alpha 水平 (或族系（ familywise ） 误差 ) EW = 1 - (1 - a)c c = 比较对数精选学习资料 - - - - - - - -
14、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页学习好资料欢迎下载对于上述例子, 如果选择 a = 0.05 作 3 对比较EW = 1 - (1 - a)c = 1 - (.95)3 = 1 - .857 = .143 I 类错误的机会增加到14.7%而不再是5%，多数事后检验设计中都控制了实验导致误差. 这里介绍两个事后检验: Tukeys HSD 检验 (honestly 差异显著性 ) 检验和 Scheff 检验 . Tukeys HSD 检验可以计算出单一的值确定处理均值间的最小差异，考查此差异在统计上是否显著. 此检验要求各组有相等的样本容量. HSD = q
15、 * sqrt （MS 组内 /n）q 值 可以从表中查出(附表 6). 需要用到K 和 df 组内 , 以及 EW 在上例中 (用EW = .05): HSD = q * sqrt （MS 组内 /n）=(3.77) sqrt （1.33/5） = (3.77)(.516) = 1.94 比较 1: H0: 1 = 2 2 -1 = 4.0 - 1.0 = 3.0 HSD = 1.94 0.0 ，不能 拒绝 H0 比较 3: H0: 2 = 3 2 -3 = 4.0 - 1.0 = 3.0 HSD = 1.94 3.88, 拒绝 H0 比较 2: H0: 1 = 3 SS 组间 = + -
16、= 0 MS 组间 = = 0/2 = 0 MS 组内 = = 16/12 = 1.33 F 比率 = MS 间 = 0/1.33 = 0 MS 组内查 F 表. a = .05, Fcrit(2,12) = 3.88 0 3.88, 拒绝 H0 方差分析与t-检验的关系差异间独立样本 t-检验与两个水平的单因素组间 ANOVA有和区别 ? 没有 . F 比率 = t2 差异间 t-检验和 ANOVA, t- 检验是考察两个均值间的差异ANOVA 是考察方差 . 如果只有两个组 , t 统计量的平方就是F 统计量 . 方差分析的前提每个样本内的观察都是独立的样本所来自的总体为正态分布样本所来自
17、的总体有相等的方差（方差一致性）一位研究者报告3*2 的方差分析中，对其中一个因素主效应F检验的结果是F（2，24）=5.92。根据此结果可知研究中有_个被试。二 重复测量的方差分析思考下面的实验设计比较患有恐怖症的病人在治疗前、治疗后1 周、治疗后1 个月、治疗后1 年的状况。研究儿童1 岁到 3 岁的记忆能力发展状况。用方差分析解决多次重复测量的问题两次以上的重复测量若是用t 检验则一类错误的风险累加方差分析对多次检验只用一个F比率 ,降低了一类风险。重复测量与独立测量的区别精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页学
18、习好资料欢迎下载重复测量实验中始终用同一个样本，而独立测量是有几个处理用几个样本，肯定不等于一。重复测量消除了处理间个体差异重复测量的优点节省被试，降低研究成本重复测量的缺点前一种处理会影响后一种处理疲劳重复测量方差分析的主要任务因为不存在了处理间的个体差异，那么应该在处理内也需要人为的去除个体间差异重复测量方差分析之原理因为最终是用F 比率判断效果所以我们从F 的分子与分母出发分子：处理间方差分为：处理效果 +随机误差 处理间方差可以由处理效果引起，随机误差引起。但绝不肯能由个体间差异引起。分母：随机尺度内方差。因为个体差异在分子中已经被自动消除，所以必须在分母中消除这个差异重复测量的公式推
19、导与符号分子：处理间方差的推导与独立测量分子完全相同。分母 : 处理内方差减去个体间方差叫做剩余方差（residual varianceerror variance ）?与独立测量方差分析的符号基本相同，只有一个新符号P ?P:每个个体的处理间分数和?T 纵向的， P是横向的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页学习好资料欢迎下载重复测量方差分析假设检验的步骤STEP1 确定假设，确定值虚无假设H0：1= 2=3 备择假设H1：至少有一个处理的均值不同于其它STEP2 计算自由度，确定临界值dfbetween tre
20、atment=k-1 Dferror=(N-k)-(n-1) STEP3 计算各个统计量为F 比率的计算做准备：最好列张表例题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页学习好资料欢迎下载X2 = 140 G = 36 K = 3 ， n=4， N=12 第 1 阶段： SS和 = SS 组间 + SS 组内SS 和 = X2 - (G2/N) SS 和 = 140 - (362/12) =140 - 108 = 32 需要将其分解为组间变异和组内变异. SS 组间 = S(T2/ni) - G2/N = 82/4 + 20
21、2/4 + 182/4 108 = 14 SS 组内 = SS每一个 处理内部 = SSi = 2 + 5 + 11 = 18 第 2 阶段：SS 组内 = SS 被试间 + SS误差SS 被试间 = S(P2/k) - G2/N = 122/3 + 62/3 + 62/3 + 122/3 108 = 12 SS 误差 = SS 组内 -SS被试间 = 18-12=6 计算均方和F 值均方和 F 值的计算 . MS = SS/df MS 组间 = SS 组间 /df 组间- 上例中 = 14/2 = 7 MS 误差 = SS 误差 /df 误差- 上例中 = 6/6 = 1 F 比率 = 处理
22、间方差误差方差做结论查 F 表 确定 Fcrit 对假设作出结论df 组间 = 分子的 df df 组内 = 分母的 df ( 误差 ) - 上例中 : df 误差 = 6; df 组间 = 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页学习好资料欢迎下载假设中选择 a = .05, Fcrit = 4.76 （如果选择 a = .01, Fcrit = 9.78 ）F 比率的观测值6 大于 F.05., 所以拒绝 H0 报告结果F(df 组间 ,df 误差 ) = Fobs, p ? 各练习次数的均值和标准差列在表1
23、中。重复测量的方差分析发现练习次数有显著的效应 , F(2,6) = 6, p .05 A 因素主效应不显著B 因素： F（ 1，16）=.55， p.05 B 因素主效应不显著交互作用： F（ 1，16） =92.60， p .05 考场 大小对成绩的影响因教室大小而不同: 当考场 大小与教室大小匹配时，考试成绩较高当考场 大小与教室大小不匹配时，考试成绩较低按序的交互作用两个自变量效应的方向一致, 但差别的大小不同非按序的交互作用一个自变量所引起的差别在另一个自变量的不同水平上不同有时称为交叉式交互作用交互作用及其解释交互作用对于研究结果的解释至关重要离开了对交互作用的了解，主效应的解释非
24、常不同将几个因素的信息平均是非常危险的Simpson s paradox平均的效应可能与各组内的情况完全不同精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页学习好资料欢迎下载更复杂的研究设计4 x 2: 第一个因素有4 个水平 , 第二个因素有2 个水平2 x 2 x 2: 有 3 个因素，每个因素有两个水平高次的交互作用使解释变得困难解释 2 x 2 x 2 的交互作用天花板和地板效应地板效应 被试的分数不能再低天花板效应被试的分数不能再高天花板效应和交互作用 (地板效应情况类似) 一个组的被试达到天花板。而另一组尚未达到得
25、到统计上的交互作用这种情况中，交互作用并不反映实际情况练习题检查记忆的方法通常有两种，再认和回忆。一般说，幼儿的回忆能力很差，随着年龄增长而提高。而再认能力在各年龄段儿童差不多。在下列6 种条件中各有10 个儿童，因变量是每个儿童正确记忆的数目。用ANOVA 以 = .05 的标准作假设检验下列数据是说明某种药物对雄性和雌性大鼠饮食行为的影响。药物的剂量分3 种，无，小剂量和大剂量。因变量是24 小时内摄取的食物单位。用ANOVA 以 = .05 的标准作假设检验，并用论文格式报告结果回顾前提主效应交互作用如何做图和方的分解作业1.下列方差分析表总结了四种条件下的实验结果。在每种实验条件中包含
26、n=10 的样本，填充表的值。来源SS df MS 处理间15.0 F=5.00 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页学习好资料欢迎下载处理内108 3.0 总和153 39 解： df 组间 3，df 组内 36， SS组间 45。则简易计算可得。2.以下实验数据是2岁、 6岁和 10 岁儿童瞬时记忆的结果。用=.05 的标准来检验年龄组间平均数的差异。2岁n=20 X=2.1 s=1.3 6岁n=20 X=4.3 s=1.5 10岁n=20 X=6.9 s=1.8 解：来源SS df MS 处理间230.932
27、 115.45 F=48.30 处理内136.4257 2.39 总和267.35 59 H0: m1 = m2 = m3 =m4Gbar（ X1X2X3）/34.43 SS组间 20*(2.1-4.43)2+(4.3-4.43)2+(6.9-4.43)2)=230.93 SS组内 SS1+SS2+SS3=s12*df1+s22*df2+s32*df3=136.42 查表得 F(2,57) = 3.15 ，拒绝 H0 3.一位研究者考察身体吸引力对人们对人知觉和判断的影响。将应聘者分为3 组：高吸引力组、中等吸引力组和低吸引力组，每组n=12。以下分数是人事经理对三组被试的整体评价。a)计算三
28、组的均值并画图表示b)在=.05 的水平上确定3 组间有无差异。高吸引力中等吸引力低吸引力5 4 4 6 5 3 4 3 1 3 5 6 6 6 7 3 1 2 4 3 8 5 4 6 2 4 3 3 5 4 8 7 8 2 1 2 解： X1=4.5 ，X2=5.92 ，X3=2.33 4.55.922.3301234567123G =153 N = 36 G-bar = 153/36 = 4.25 K = 3 计算 SS1= 23,SS2= 24.92,S3= 12.67SS组间 12*(4.5-4.25)2+(5.92-4.25)2+(2.33-4.25)2)=78.45 精选学习资料
29、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页学习好资料欢迎下载SS组内 SS1+SS2+SS3= 60.58来源SS df MS 处理间78.452 39.23 F=21.32 处理内60.5833 1.84 总和139.03 35 查表得 F(2,33) = 3.28 ，拒绝 H0作业 11 1.以下是三种不同处理的实验比较数据：处理A B C 0 1 2 2 5 5 1 2 6 5 4 9 2 8 8 a、 如果实验采用独立测量设计，在.05 的 alpha水平上，研究者能否得出结论，不同处理有显著差异？解： H0: m1 = m2
30、 = m3 =m4 SS114，SS230， SS3 30；SSwithin 74 X1 2，X24，X36 Gbar4，SSbetween40 dfwithin 12，dfbetween2 来源SS df MS 处理间402 20 F=3.24 处理内7412 6.17 总和114 14 查表， F(2,12)3.88，在 .05 的 alpha水平上，接受H0。b、 如果实验采用重复测量设计，在.05 的 alpha水平上，研究者能否得出结论，不同处理有显著差异？解： H0: m1 = m2 = m3 =m4 SS114，SS230， SS3 30；SSwithin 74 X1 2，X24
31、，X36 Gbar4，SSbetween40 dfwithin 12，dfbetween2 P1=3,P2=12,P3=9,P4=18,P5=18 SS被试间 294G*Gbar 44 SS误差 SSwithin SS被试间 30 来源SS df MS 处理间402 20 F=5.33 误差308 3.75 总和114 14 F(2,9)4.26，在 .05 的 alpha 水平上，拒绝H0 c、 解释为什么a、b 两种情况下的结果有差异。2.以下 ANOVA表中的数据来自于比较四种处理条件的重复测量数据。样本n=10，请将下表填完整。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
32、总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页学习好资料欢迎下载来源SS df MS 处理间_ _ 20 F= 处理内_ _ 被试内36 _ 误差_ _ _ 总的150 _ 3.一位教育心理学家研究小学生的动机。选取了5 个学生，从他们4 年级追踪随访到 6年级。每年作一次动机的问卷。数据列于表中。问在3 个年级的水平间，有无动机的显著变化。用 .05 的显著性水平作假设检验，并用论文格式报告结果学生4 年级5 年级6 年级A 4 3 1 B 8 6 4 C 5 3 3 D 7 4 2 E 6 4 0 4检查记忆的方法通常有两种，再认和回忆。一般说，幼儿的回忆能力很差，随着年龄增长
33、而提高。而再认能力在各年龄段儿童差不多。在下列6 种条件中各有10个儿童，因变量是每个儿童正确记忆的数目。用ANOVA 以 = .05 的标准作假设检验2 岁6 岁10 岁回忆Xbar=3 Xbar=7 Xbar=12 SS=16 SS =19 SS =14 再认Xbar=15 Xbar=16 Xbar=17 SS=21 SS =20 SS =18 5下列数据是说明某种药物对雄性和雌性大鼠饮食行为的影响。药物的剂量分3 种，无，小剂量和大剂量。因变量是24 小时内摄取的食物单位。用ANOVA 以 = .05 的标准作假设检验，并用论文格式报告结果无药物小剂量大剂量雄性1 6 1 1 1 7 7 11 4 6 3 1 1 6 4 雌性0 3 7 5 5 0 0 0 5 0 0 2 0 0 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页
