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1、1 / 6 1直线的点斜式方程1点斜式方程设直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为 k，则直线的方程为yy0=k(xx0)，由于此方程是由直线上一点P0(x0，y0)和斜率k所确定的直线方程， 我们把这个方程叫做直线的点斜式方程. 注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否. （1）当直线 l的倾斜角 =90时，斜率 k不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l恰与y轴平行或重合，这时直线 l上每个点的横坐标都等于 x0，所以此时的方程为 x=x0. （2）当直线 l的倾斜角 =0时， k=0，此时直线 l的方程为 y=y0，即yy0=0. （3）当直线 l的倾斜角不为 0或90时，
2、可以直接代入方程求解. 2斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b)且斜率为 k，则直线的点斜式方程为 y=kx+ b 其中k为斜率， b叫做直线 y=kx+b在y轴上的截距，简称直线的截距. 注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否. （1）并非所有直线在 y轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x=2在y轴上就没有截距，即只有不与y轴平行的直线在 y轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与 x轴垂直的直线的方程 . （2）直线的斜截式方程 y=kx+b是y关于x的函数，当 k=0时，该函数为常量函数.x=b；当k0时，该函数为一次函数，且当k0时，函数单调递增，当k0时，函数单
3、调递减 . （3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。要注意它们之间的区别和联系及其相互转化 . 直线点斜式方程的理解1由于点斜式方程是由斜率公式00yykxx推出的，因此00yykxx表示的直线上缺少一个点P(x0，y0)，yy0=k(xx0)才是整条直线；2经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，这无数条直线可以分为两类：斜率存在时，直线方程yy0=k(xx0)；斜率不存在时，直线方程为x=x0. 3直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；4从函数的角度来看，当斜率k 存在时，直线方程可以看作是函数解析式，当斜率k 不存在时，直线方程为 x=x0，它不是函数解析式。2直
4、线的两点式方程若直线 l经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1 x2)，则直线 l的方程为112121yyxxyyxx，这种形式的方程叫做直线的两点式方程 . 两点式方程的理解：（1）当直线没有斜率 (x1=x2)或斜率为零 (y1=y2)时，不能用两点式112121yyxxyyxx表示它的方程；（2）可以把两点式的方程化为整式(x2x1)(yy1)= (y2y1)(xx1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程；如过两点 A(1，2)，B(1，3)的直线方程可以求得x=1，过两点 A(1，3)，B(2，3)的直线方程可以求得 y=3. （3）需要特别注意整式 (x2x1)(y
5、y1)= (y2y1)(xx1)与两点式方程112121yyxxyyxx的区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，两者并不相同，前者是后者的拓展。3直线的截距式方程若直线 l 在 x 轴上的截距是 a，在 y 轴上的截距是 b，且 a0，b0，则直线 l 的方程为1xyab，这种形式的方程叫做直线的截距式方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 / 6 用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：（1）方程的条件限制为a0，b0，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直
6、线；（2）用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度；（3）要注意“ 截距相等 ” 与“ 截距绝对值相等 ” 是两个不同的概念， 截距式中的截距可正、 可负，不可为零。截距式方程的应用（1）与坐标轴围成的三角形的周长为：|a|+|b|+22ab ；（2）直线与坐标轴围成的三角形面积为：S=1|2ab；（3）直线在两坐标轴上的截距相等，则k=1 或直线过原点，常设此方程为x+y=a 或 y=kx. 4直线方程的一般形式方程Ax+By+C=0（A、B不全为零）叫做直线的一般式方程. 直线的一般式方程的理解1两个独立的条件可求直线方程：求直线方程，表面上需求A、B、C 三个系数，由于A、B
7、不同时为零，若 A0，则方程化为0BCxyAA，只需确定,B CAA的值；若 B0，同理只需确定两个数值即可；因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；2直线方程的其他形式都可以化成一般式，解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式，一般式也可以化为其他形式。3在一般式 Ax+By+C=0（A、B 不全为零）中，若 A=0，则 y=CB，它表示一条与y轴垂直的直线；若 B=0，则CxA，它表示一条与 x 轴垂直的直线 . 5直线方程的选择直线形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与 x轴垂直的直线已知一个定点和斜率k已知一点，可设点斜式方程斜截式不能表示与 x轴垂直的直线已知在 y 轴
8、上的截距已知斜率，可设斜截式方程两点式不能表示与 x 轴、y轴垂直的直线已知两个定点已知两个截距截距式不能表示与 x轴垂直、与y 轴垂直、过原点的的直线已知两个截距已知直线与坐标轴围成三角形的面积问题可设截距式方程一般式能表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程题型1直线的点斜式方程例1一条直线经过点 M(2，3)，倾斜角 =135，求这条直线的方程。解：这条直线经过点 M(2，3)，斜率是 k=tan=1 代入点斜式方程得： y+3=1(x+2)，即x+y+5=0，这就是所求直线的方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
9、-第 2 页，共 6 页3 / 6 例2求斜率为33，且分别满足下列条件的直线方程：（1）经过点 M(3，1)；（2）在x轴上的截距是 5. 解：（1）所求直线经过点 (3，1)，斜率为33，所求直线方程为31(3)3yx，即3x3y6=0. （2）所求直线的斜率是33，在x 轴上的截距为 5，即过点 (5，0)，所求直线的方程为 y=33(x+5)，即335 30xy. 题型2直线的斜截式方程例3若直线 Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件（）（A）A、B、C同号（B）AC0，BC0 （C）C=0，AB0 （D）A=0，BC0，b0，又因为点 P(1，2)在直线
10、 l上，所以121ab，即b+2a=ab，又因为 OAB的面积 S=21ab. 所以 S=21(b+2a)=11214(2 )()(22)22babaabab1(44)2=4，当且仅当4baab时等号成立 . 即b=2a时等号成立。由2121baab，解得24ab，所以当且仅当 a=2且b=4时， OAB的面积 S取最小值 4. 此时，直线的方程为124xy，即2x+y4=0. 【教考动向 演练】6如果 AC0，BC0，bc0，那么直线 axbyc必经过第几象限？（1）mR且m1；（2）第一、三、四象限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
