《多元函数微分学的几何应用空间曲线的切线与法平面二课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多元函数微分学的几何应用空间曲线的切线与法平面二课件（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、作业作业 123123页习题页习题8 86 62,3,4,5,7,11,148.68.6一、一、多元函数微分学多元函数微分学的几何应用的几何应用空间曲线空间曲线的的切线切线与与法平面法平面二、二、空间曲面空间曲面的的切平面切平面与与法线法线2过点过点 M空间曲线空间曲线称为曲线称为曲线为为该该点处点处8.6.18.6.1 空间曲线空间曲线的切线的切线与法平面与法平面在点在点 M 处的处的切线切线割线割线 的极限位置的极限位置. .垂直垂直于切线于切线的平面的平面在该点在该点的的法平面法平面. .在在在在对应的点对应的点对应的点对应的点曲线曲线曲线曲线为参数方程：为参数方程：为参数方程：为参数方
2、程：的方程的方程的方程的方程称为曲线的称为曲线的称为曲线的称为曲线的切向量切向量切向量切向量. . . .证明：证明：证明：证明：割线割线割线割线的的的的方向向量方向向量方向向量方向向量: : : :或或或或: : : :切线方程切线方程切线方程切线方程此处要求此处要求此处要求此处要求如个别为如个别为0, 0, 则理解为则理解为分子分子为为 0 .0 .不全为不全为不全为不全为0, 0, 0, 0, 的的的的法法法法向量向量向量向量, , , ,也是也是也是也是法法法法平面平面平面平面因此得因此得因此得因此得法平面法平面法平面法平面方程方程方程方程 切线的切线的切线的切线的方向向量方向向量方向
3、向量方向向量: : : :例例例例1.1.1.1. 求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线对应点处对应点处对应点处对应点处故故故故切线切线切线切线方程方程方程方程法法法法平面方程平面方程平面方程平面方程即即即即即即即即解解解解: : : :对应的切向量为对应的切向量为对应的切向量为对应的切向量为在在在在的的的的切线切线切线切线方程方程方程方程 和和和和法平面法平面法平面法平面方程方程方程方程. . . .切点切点切点切点8.6.28.6.28.6.28.6.2曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设设设设有有有有曲面曲面曲面曲面 : :通过其上通过其上通过其上通过其上定点定点定点定点
4、对应点对应点对应点对应点MM, ,切线方程为切线方程为切线方程为切线方程为则曲线则曲线则曲线则曲线 在点在点在点在点 MM处处处处 的的的的切向切向切向切向量量量量画一条曲线画一条曲线画一条曲线画一条曲线下面证明下面证明下面证明下面证明: : : :此平面此平面此平面此平面曲面曲面曲面曲面 上上上上都在都在都在都在同一平面上同一平面上同一平面上同一平面上. . . . 过点过点过点过点MM 的的的的 所有所有所有所有曲线曲线曲线曲线 在该点的切线在该点的切线在该点的切线在该点的切线称为称为称为称为 在该点在该点在该点在该点的的的的切平面切平面切平面切平面. . . .证证证证: : : :在在
5、在在 上上上上, , , ,得得令令则则则则即即即即切向切向切向切向量量量量这表明这表明这表明这表明为法向量为法向量为法向量为法向量 的的的的平面上平面上平面上平面上, , , ,从而切平面存在从而切平面存在从而切平面存在从而切平面存在. . . .以以以以过点过点过点过点MM的的的的所有曲线所有曲线所有曲线所有曲线 的切线都在的切线都在的切线都在的切线都在曲面曲面曲面曲面 : :的的的的法向量法向量法向量法向量在点在点在点在点的的的的法向量法向量法向量法向量切平面方程切平面方程切平面方程切平面方程法线方程法线方程法线方程法线方程特别特别特别特别2.2.2.2.平面曲线平面曲线平面曲线平面曲线
6、1.1.曲面曲面的的的的法向量法向量法向量法向量的的的的法向量法向量法向量法向量3.3.3.3.的法向量的法向量的法向量的法向量重要结论重要结论曲面曲面曲面曲面在点在点在点在点处的处的处的处的切平面切平面切平面切平面方程方程方程方程为为为为证明证明法向量法向量法向量法向量在点在点处的处的法向量法向量法向量法向量切平面切平面方程方程即即点点在曲面上在曲面上其坐标满足曲面方程其坐标满足曲面方程136136136136页页页页6 6 6 6题题题题 椭球面椭球面椭球面椭球面在点在点在点在点处的处的处的处的切平面切平面方程方程 为为136136136136页页页页8 8 8 8题题题题 椭球面椭球面椭
7、球面椭球面在点在点在点在点处的处的处的处的切平面切平面方程方程为为特别特别特别特别曲线曲线在点在点在点在点处的处的处的处的切线切线方程方程135135135135页页页页3 3 3 3题题题题在点在点在点在点处的处的处的处的切线切线切线切线方程方程方程方程136136136136页页页页4 4 4 4题题题题在该点在该点在该点在该点切线切线切线切线方程方程方程方程例例2.2.求椭球面求椭球面在点在点(1 , 2 , 3) 处处的的切切平面平面解解: :所以椭球面在点所以椭球面在点切平面方程切平面方程 即即法线方程法线方程法向量法向量令令(1 , 2 , 3) 处的处的及及法线法线方程方程. .
8、 法向量为法向量为123123123123页例页例页例页例8.438.438.438.43 设空间曲线设空间曲线设空间曲线设空间曲线的方程为的方程为的方程为的方程为则该曲线则该曲线则该曲线则该曲线在在在在的切的切的切的切向量向量向量向量特别特别特别特别 直线直线直线直线 l l: : : :的的的的方向向量方向向量方向向量方向向量方程为方程为方程为方程为的曲线的曲线的曲线的曲线在在在在的切的切的切的切向量向量向量向量在点在点 MM ( 1,2, ( 1,2, 3)3) 处处处处的的的的切线切线切线切线方程方程方程方程 与法平面方程与法平面方程与法平面方程与法平面方程. . . . 解解解解令令
9、令令求曲线求曲线求曲线求曲线121121121121页例页例页例页例8.418.418.418.41 在点在点MM ( 1,2, ( 1,2, 3)3) 处的处的处的处的 切向切向切向切向量量量量切线切线切线切线方程为方程为方程为方程为法平面法平面法平面法平面方程为方程为方程为方程为即即即即例例例例3.3.3.3. 求曲线求曲线求曲线求曲线在点在点MM ( 1,2, 1) ( 1,2, 1) 处处处处 的的的的切线切线切线切线方程方程方程方程 与法平面方程与法平面方程与法平面方程与法平面方程. . . . 解解解解令令令令在点在点MM ( 1,2, 1) ( 1,2, 1) 处处处处切向量切向
10、量切向量切向量切线切线切线切线方程为方程为方程为方程为法平面法平面法平面法平面方程为方程为方程为方程为即即即即复习复习复习复习曲线曲线在点在点切线方程切线方程: :重要结论重要结论重要结论重要结论曲面曲面在点在点在点在点 MM切切切切平面方程平面方程平面方程平面方程证明证明其其其其法向量法向量法向量法向量在点在点在点在点 MM的的的的法向量法向量法向量法向量切切切切平面方程平面方程平面方程平面方程二元函数二元函数二元函数二元函数 在点在点在点在点的的的的全微分全微分全微分全微分二元函数二元函数二元函数二元函数 的的的的全微分全微分全微分全微分表示其表示其表示其表示其曲面的曲面的切切切切平面方程
11、上平面方程上平面方程上平面方程上竖坐标竖坐标竖坐标竖坐标 的增量的增量的增量的增量 在点在点在点在点M M (2(2 , , 1 1 , , 2)2)的切平面的切平面的切平面的切平面曲面曲面曲面曲面填空题填空题填空题填空题 为为为为解解解解 切切切切平面方程平面方程平面方程平面方程 为为为为即即即即 用用用用表示表示表示表示法法法法向量向量向量向量并假定法向量的方向并假定法向量的方向并假定法向量的方向并假定法向量的方向向向向向上上上上, , , ,的的的的方向角方向角方向角方向角, , , ,曲面曲面曲面曲面 : : : :在点在点在点在点 MM的的的的法法法法向量向量向量向量法法法法向量向量
12、向量向量的方向的方向的方向的方向余弦余弦余弦余弦课本课本课本课本58585858页中间页中间页中间页中间例例例例4.4.4.4.在点在点在点在点M (1 , 2 , 2)M (1 , 2 , 2)的切平面的切平面的切平面的切平面与法线方程。与法线方程。与法线方程。与法线方程。解解解解: : : : 令令令令切平面方程切平面方程切平面方程切平面方程即即即即法线方程法线方程法线方程法线方程求双曲抛物面求双曲抛物面求双曲抛物面求双曲抛物面法向量法向量法向量法向量在点在点在点在点M (1 , 2 , 2)M (1 , 2 , 2)的的的的法向量法向量法向量法向量1. 1. 1. 1. 空间曲线的切线与
13、法平面空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程切线方程切线方程切线方程法平面方程法平面方程法平面方程法平面方程1) 1) 1) 1) 参数式情况参数式情况参数式情况参数式情况. . . .空间光滑曲线空间光滑曲线空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量切向量切向量内容小结内容小结特别特别特别特别平面曲线平面曲线平面曲线平面曲线的切向量的切向量的切向量的切向量2)2)2)2) 一般式情况一般式情况一般式情况一般式情况. . . .空间曲线空间曲线的的切向量切向量空间光滑曲面空间光滑曲面空间光滑曲面空间光滑曲面 : :曲面曲面曲面曲面 在点在点在点在点法线方程法线方
14、程法线方程法线方程1) 1) 1) 1) 隐式情况隐式情况隐式情况隐式情况 . . . .的的的的法向量法向量法向量法向量切平面方程切平面方程切平面方程切平面方程2. 2. 2. 2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线空间光滑曲面空间光滑曲面空间光滑曲面空间光滑曲面切平面方程切平面方程切平面方程切平面方程法线方程法线方程法线方程法线方程2) 2) 2) 2) 显式情况显式情况显式情况显式情况. . . .法线的法线的法线的法线的方向余弦方向余弦方向余弦方向余弦的的的的法法法法向量向量向量向量例例例例5.5.5.5. 在点在点在点在点解解解解: : : :
15、相切相切相切相切. . . .与球面与球面与球面与球面确定确定确定确定正数正数正数正数 使曲面使曲面使曲面使曲面曲面曲面曲面曲面在在在在点点点点MM 的法向量的法向量的法向量的法向量球面球面球面球面在在在在点点点点MM 的法向量的法向量的法向量的法向量二曲面在点二曲面在点二曲面在点二曲面在点 MM 相切相切相切相切, , , ,又点又点又点又点 M M 在球面上在球面上在球面上在球面上, , , ,于是有于是有于是有于是有, , , , 因此有因此有因此有因此有正数正数正数正数故故故故例例6.6.恒与定直线恒与定直线平行平行, ,证证: :取取取取定直线定直线定直线定直线则则则则( ( ( (定向量定向量定向量定向量) ) ) )故故结论成立结论成立 . .的所有的所有切平面切平面证明曲面证明曲面曲面上任一点曲面上任一点即曲面即曲面的所有的所有切平面切平面的法向量的法向量 垂直于定向量垂直于定向量曲面曲面的所有的所有切平面切平面 平行于定直线平行于定直线, ,的法向量的法向量的方向向量为的方向向量为的方向向量为的方向向量为
