2022年中考数学压轴题精选精析

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1、2012 中考数学压轴题精选精析（21-30例）21（ 2011?湖南邵阳）如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A(94，0)，点 C(0， 3)，点 B 是 x 轴上一点 (位于点 A 的右侧 )，以 AB 为直径的圆恰好经过点 C（1）求 ACB 的度数；（2）已知抛物线yax2bx3 经过 A、B 两点，求抛物线的解析式；（3）线段 BC 上是否存在点D，使 BOD 为等腰三角形若存在，则求出所有符合条件的点 D 的坐标；若不存在，请说明理由【解题思路】：(1) 以 AB 为直径的圆恰好经过点 C ACB=090(2) AOC ABC OBAOOC2 A(94，0)，点C

2、(0，3)，49AO3OCOB49324OBB(4,0) 把 A、B、C 三点坐标代入得3127312xxy(3) 1） OD=OB , D 在 OB 的中垂线上，过D 作 DHOB,垂足是H 则 H 是 OB 中点。DH=OC21OBOH21D)23,2(2) BD=BO 过 D 作 DGOB,垂足是 G OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 31 页 OG:4=1:5 DG:3=1:5 OG=54DG=53D(54,53) 【点评】：本题考察了相似、勾股定理、抛物线的解析式求解等

3、知识，运用平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似构建比例式，求解点到坐标轴的距离，进而得出相应的坐标。难度中等24、（ 2011?湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC 与 CDEF 的边 OC、OA 所在直线为x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系（O、C、F 三点在 x 轴正半轴上）若P过 A、B、E 三点（圆心在x 轴上），抛物线y= 14x2+bx+c 经过 A、C 两点，与x 轴的另一交点为 G，M 是 FG 的中点，正方形CDEF 的面积为1（1）求 B 点坐标；（2）求证： ME 是 P 的切线；（3）设直线AC 与抛物线对称轴交于N，Q 点是此轴称

4、轴上不与N 点重合的一动点，求 ACQ 周长的最小值；若 FQ=t，SACQ=S，直接写出S与 t 之间的函数关系式考点：二次函数综合题分析：（1）如图甲， 连接 PE、PB，设 PC=n，由正方形CDEF 的面积为1，可得 CD=CF=1 ，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由 PB=PE，根据勾股定理即可求得n 的值，继而求得 B 的坐标；（2）由（ 1）知 A（ 0，2）， C（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM 的长，则可得 PEF EMF，则可证得PEM=90 ，即 ME 是 P 的切线；（3）如图乙， 延长 AB 交抛物线于A ，连 CA 交对称轴x=3 于 Q

5、，连 AQ，则有 AQ=A Q ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 31 页ACQ 周长的最小值为AC+A C 的长，利用勾股定理即可求得ACQ 周长的最小值；分别当 Q 点在 F 点上方时，当Q 点在线段FN 上时，当 Q 点在 N 点下方时去分析即可求得答案解答：解：（ 1）如图甲，连接PE、PB，设 PC=n，正方形 CDEF 的面积为1，CD=CF=1 ，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，BC=2PC=2n ，而 PB=PE，PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2，PE2=PF2+EF2=（n+1）2

6、+1，5n2=（n+1）2+1，解得： n=1 或 n= 12（舍去），BC=OC=2 ，B 点坐标为（ 2，2）；（2）如图甲，由（1）知 A（0，2）， C（ 2，0），A，C 在抛物线上， c=2144+2b+c=0，解得：c=2b= 32，抛物线的解析式为：y= 14x2 32x+2= 14 （x3）2 14，抛物线的对称轴为x=3，即 EF 所在直线，C 与 G 关于直线x=3 对称，CF=FG=1 ，MF= 12FG= 12 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 31 页在 RtPEF 与 RtEMF 中，EFM

7、= EFP， FMEF=121=12 ， EFPF=12， FMEF=EFPF ， PEF EMF， EPF= FEM， PEM=PEF+ FEM= PEF+EPF=90 ，ME 是 P 的切线；（3）如图乙，延长AB 交抛物线于A ，连 CA 交对称轴x=3 于 Q，连 AQ，则有 AQ=A Q ， ACQ 周长的最小值为AC+A C 的长，A 与 A 关于直线x=3 对称，A（0，2）， A （6，2），AC= （62）2+22=2 5，而 AC=22+22=2 2， ACQ 周长的最小值为2 2+2 5；当 Q 点在 F点上方时， S=t+1，当 Q 点在线段FN 上时， S=1t，当

8、Q 点在 N 点下方时， S=t1点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识此题综合性很强，题目难度较大， 解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用22、（ 2011?襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy 中， AB 在 x 轴上， AB=10 ，以 AB 为直径精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 31 页的 O与 y 轴正半轴交于点C，连接BC，AC CD 是 O的切线， AD 丄 CD 于点 D，tanCAD=，抛物线 y=ax2+bx+c 过 A，B，C 三

9、点（1）求证： CAD= CAB ；（2）求抛物线的解析式；判断抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA 是直角梯形若存在，直接写出点P 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由考点 ：二次函数综合题。分析： （1） 连接 O C， 由 CD 是 O 的切线，可得 O C CD， 则可证得 O C AD ， 又由 O A=O C ，则可证得 CAD= CAB ；（2）首先证得CAO BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA?OB ，又由 tanCAO=tan CAD=，则可求得CO，AO，BO 的长，然后利用待定系数法即

10、可求得二次函数的解析式；首先证得 FO C FAD ，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F 的坐标，求得直线 DC 的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；（3）根据题意分别从PABC 与 PBAC 去分析求解即可求得答案，小心不要漏解解答： （1）证明：连接O C ，CD 是 O 的切线，O CCD，AD CD，O CAD ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 31 页 O CA= CAD ，O A=O C ， CAB= O CA ， CAD= CAB ；（2） AB 是 O 的直径， ACB=90 ，OC

11、AB ， CAB= OCB， CAO BCO，即 OC2=OA?OB ，tanCAO=tan CAD=，AO=2CO ，又 AB=10 ，OC2=2CO（102CO），CO0，CO=4，AO=8 ，BO=2 ，A（ 8，0）， B（2，0）， C（ 0，4），抛物线y=ax2+bx+c 过点 A，B，C 三点，c=4，由题意得：，解得：，抛物线的解析式为：y=x2 x+4；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 31 页设直线 DC 交 x 轴于点 F， AOC ADC ，AD=AO=8 ，O CAD ， FO C FAD ，8

12、（BF+5）=5（BF+10），BF=，F（，0）；设直线 DC 的解析式为y=kx+m ，则，解得：，直线 DC 的解析式为y=x+4，由 y=x2x+4=（x+3）2+得顶点 E 的坐标为（3，），将 E（ 3，）代入直线DC 的解析式y=x+4 中，右边 = （3）+4=左边，抛物线顶点E 在直线 CD 上；（3）存在， P1（ 10， 6）， P2（10， 36）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 31 页点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识此题综合性很强，

13、难度较大， 解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用23、（ 2011?江汉区）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3 与 x 轴的两个交点分别为A（ 3，0）、 B（1，0），过顶点C 作 CHx 轴于点 H（1）直接填写：a=1，b=2，顶点 C 的坐标为（1，4）；（2）在 y 轴上是否存在点D，使得 ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点 C 不重合）， PQAC 于点 Q，当PCQ 与 ACH 相似时，求点P 的坐标考点 ：二次函数综合题。分析： （1）将 A（ 3，0

14、）、 B（ 1，0），代入y=ax2+bx+3 求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；（2）首先证明 CED DOA ，得出 y 轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出 ACD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 31 页是以 AC 为斜边的直角三角形（3）首先求出直线CM 的解析式为y=k1x+b1， 再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P 在对称轴左侧（如图），只能是PCQ ACH ，得 PCQ=ACH 得出答案即可解答： 解：（ 1）a=1，b=2，顶点 C 的坐标为（1，4）；（2）假设在y 轴上

15、存在满足条件的点D，过点 C 作 CEy 轴于点 E由 CDA=90 得， 1+2=90 又 2+3=90 ， 3=1又 CED=DOA=90 ， CED DOA ，设 D（0，c），则变形得 c24c+3=0，解之得c1=3，c2=1综合上述：在y 轴上存在点D（0，3）或（ 0，1），使 ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形（3）若点P 在对称轴右侧（如图），只能是PCQ CAH ，得 QCP= CAH 延长 CP 交 x 轴于 M， AM=CM ， AM2=CM2设 M（m，0），则（ m+3）2=42+（m+1）2， m=2，即 M（2， 0）设直线 CM 的解析式为y=k1x+b1

16、，则，解之得，直线 CM 的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 31 页联立，解之得或（舍去）若点 P在对称轴左侧（如图），只能是PCQ ACH ，得 PCQ=ACH 过 A 作 CA 的垂线交PC 于点 F，作 FNx 轴于点 N由 CFA CAH 得，由 FNA AHC 得AN=2 ，FN=1，点 F 坐标为（ 5，1）设直线 CF 的解析式为y=k2x+b2，则，解之得直线 CF 的解析式联立，解之得或（舍去）满足条件的点P坐标为或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

17、 - -第 10 页，共 31 页点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握24（ 2011 湖北黄冈鄂州，24，14 分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kxb 与抛物线214yx交于 M（x1，y1）和 N（ x2， y2）两点（其中x10， x20）求 b 的值求 x1?x2的值分别过M、N 作直线 l： y=1 的垂线，垂足分别是M1、N1，判断 M1FN1的形状，并证明你的结论对于过点F的任意直线MN ， 是否存在一条定直线m， 使 m与以 MN 为直径的圆相切

18、如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由【解题思路】第（1）问，将F（0，1）代入 y=kxb 即可得 b 值。要将坐标转化为方程组的解，将方程组2114ykxyx变形得关于x 的一元二次方程，F M N N1M1F1O y x l 第 24 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 31 页再利用根与系数的关系得12xx=4 （3）要结合条件并利用（2）中的结论得到F1M1?F1N1=x1?x2=4，结合（ 1）中的结论得F F1=2，再把两个结论结合得到F1M1?F1N1=F1F2 判定直角三角形相似，

19、再利用直角三角形的相似性质，就可得到 M1FN1=M1FF1 F1FN1=FN1F1 F1FN1=90 ，所以 M1FN1是直角三角形（4）表示线段长利用坐标所在的函数关系，将函数式相加减表示距离。运用梯形中位线的性质，来证明。【答案】解：b=1 显 然11xxyy和22xxyy是 方 程 组2114yk xyx的 两 组 解 ， 解 方 程 组 消 元 得21104xkx，依据 “ 根与系数关系 ” 得12xx=4 M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知 M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设 M1N1交 y 轴于 F1，则 F1M1?F1N1=x1?x2=4，而 F F1

20、=2，所以 F1M1?F1N1=F1F2，另有 M1F1F=FF1N1=90 ，易证 RtM1FF1RtN1FF1，得 M1FF1=FN1F1，故 M1FN1=M1FF1 F1FN1=FN1F1 F1FN1=90 ，所以 M1FN1是直角三角形存在，该直线为y= 1理由如下：直线 y=1 即为直线 M1N1F M N N1M1F1O y x l 第 24 题解答用图P Q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 31 页如 图 ， 设N 点 横 坐 标 为m ， 则N点 纵 坐 标 为214m,计 算 知NN1=2114m，N

21、F=2221(1)4mm2114m，得 NN1=NF 同理 MM1=MF 那么 MN=MM1 NN1，作梯形MM1N1N 的中位线PQ，由中位线性质知PQ=12（MM1NN1） =12MN，即圆心到直线y=1 的距离等于圆的半径，所以y=1 总与该圆相切精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 31 页【点评】：此题第（ 1）问，很简单就是代入求值，确定函数的系数。（2）结合问题将一次、二次函数组合转化为一元二次方程，利用“ 根与系数 ” 的关系求解。（3）直角三角形的判定涉及直角三角形相似的判定和性质的运用。（4）用函数的加减

22、来求距离，梯形中位线。此题综合性很强，考查学生数形结合的思想，综合了代数、几何中的重点知识要学生有很好的综合技能才可解决。难度较大25、（ 2011?宜昌）已知抛物线y=ax2+bx+c 与直线 y=mx+n 相交于两点，这两点的坐标分别是（ 0，）和（ m b，m2mb+n），其中a，b，c， m，n 为实数，且a，m 不为 0（1）求 c 的值；（2）设抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点是（x1， 0）和（ x2，0），求 x1?x2的值；（3）当 1x1 时，设抛物线y=ax2+bx+c 上与 x 轴距离最大的点为P（x0，y0），求这时 |y0丨的最小值考点 ：二次函数综

23、合题。专题 ：综合题。分析： （1）把点（ 0，）代入抛物线可以求出c 的值（2）把点（ 0，）代入直线得n= ，然后把点（m b，m2 mb+n）代入抛物线，整理后可确定a 的值，把a， c 的值代入抛物线，当y=0 时可以求出x1?x2的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 31 页（3）抛物线y=x2+bx 的顶点（，），当b0 时， x= 1 时 y 的值大；当b0 时，x=1 时 y 的值大 然后比较 x=1，x=1 以及抛物线顶点的纵坐标的绝对值，确定 |y0|的最小值解答： 解：（ 1）把点（ 0，）代入抛物

24、线，得：c=；（2）把点（ 0，）代入直线得：n= 把点（ mb， m2mb+n）代入抛物线，得：a（mb）2+b（m b）+c=m2mb+n c=n=，a（mb）2+b（ mb）=m2mb，am22abm+ab2+bmb2m2+mb=0 （a1）m2（ a1）?2bm+（a 1）b2=0 （a1）（ m22bm+b2）=0 （a1）（ mb）2=0 a=1，当 mb=0 时，抛物线与直线的两个交点就是一个点，所以m b 把 a=1， c= 代入抛物线有：y=x2+bx，当 y=0 时， x2+bx=0，x1?x2=；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

25、- - - -第 15 页，共 31 页（3）y=x2+bx，顶点（，）当 b0 时， x=1 时， y= b，比较b 与 +的大小，得到：4b0 时，b +，所以当 b=0 时， |y0|的最小值为b 4 时， b+，所以当 b=4 时， |y0|的最小值为当 b0 时， x=1 时， y= +b，比较+b 与+的大小，得到：0 b4 时，+b +，所以当 b=0 时， |y0|的最小值为b4时，+b +，所以当 b=4 时， |y0|的最小值为故|y0|的最小值为或点评： 本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据抛物线上的点确定c 的值（ 2）结合一元二次方程的解确定x1?x2的值（ 3）

26、在 x 的取值范围内确定|y0|的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 31 页26、（ 2011?滨州）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点 O 落在水平面上，对称轴是水平线OC点 A、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离 AC=4 米，点 B 到水平面距离为2 米， OC=8 米（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱 PA、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根

27、支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点O、 P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）考点 ：二次函数的应用。分析： （1）以点 O 为原点、射线OC 为 y 轴的正半轴建立直角坐标系，可设抛物线的函数解析式为y=ax2，又由点A 在抛物线上，即可求得此抛物线的函数解析式；（2）延长 AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，连接 BD 交 OC 于点 P，则点 P 即为所求；（3）首先根据题意求得点B 与 D 的坐标，设直线BD 的函数解析式为y=kx+b ，利用待定系数法即可求得

28、直线BD 的函数解析式，把x=0 代入 y=x+4，即可求得点P 的坐标解答： 解：（ 1）以点 O 为原点、射线OC 为 y 轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax2，由题意知点A 的坐标为（ 4，8）点 A 在抛物线上，8=a 42，解得 a= ，所求抛物线的函数解析式为：y= x2；（2）找法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 31 页延长 AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点 A、D 关于 OC 对称连接 BD 交 OC 于点 P，则点 P即为所求（3）由题意知点B 的横坐标为2，点 B 在

29、抛物线上，点 B 的坐标为（ 2，2），又点 A 的坐标为（ 4， 8），点 D 的坐标为（4， 8），设直线 BD 的函数解析式为y=kx+b ，解得： k=1，b=4直线 BD 的函数解析式为y= x+4，把 x=0 代入 y=x+4，得点 P 的坐标为（ 0，4），两根支柱用料最省时，点O、P 之间的距离是4 米点评： 此题考查了二次函数的实际应用问题解此题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数解题23、（ 2011?德州）在直角坐标系xoy 中，已知点P 是反比例函数（x0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A（1）如图 1， P 运动到与x 轴相切，

30、设切点为K，试判断四边形OKPA 的形状，并说明理由（2）如图 2， P运动到与 x 轴相交，设交点为B，C当四边形ABCP 是菱形时：求出点 A，B，C 的坐标在过 A， B， C 三点的抛物线上是否存在点M， 使 MBP 的面积是菱形ABCP 面积的 若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 31 页考点 ：二次函数综合题。分析： （1）四边形 OKPA 是正方形当P 分别与两坐标轴相切时，PAy 轴，PKx 轴，x 轴 y 轴，且 PA=PK ，可判断结论；（2

31、）连接PB，设点 P（x，），过点 P 作 PGBC 于 G，则半径 PB=PC，由菱形的性质得 PC=BC， 可知 PBC 为等边三角形， 在 RtPBG 中， PBG=60 ， PB=PA=x ， PG=，利用 sinPBG=，列方程求x 即可；求直线 PB 的解析式，利用过 A 点或 C 点且平行于PB 的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的M 点坐标即可解答： （1）四边形OKPA 是正方形证明： P 分别与两坐标轴相切，PAOA ，PK OK PAO= OKP=90 又 AOK=90 ， PAO= OKP= AOK=90 四边形 OKPA 是矩形又 OA=OK ，四边形

32、 OKPA 是正方形（ 2 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 31 页（2）连接 PB，设点 P的横坐标为x，则其纵坐标为过点 P 作 PGBC 于 G四边形 ABCP 为菱形，BC=PA=PB=PC PBC 为等边三角形在 RtPBG 中， PBG=60 ， PB=PA=x ，PG=sinPBG=，即解之得： x= 2（负值舍去）PG=， PA=BC=2 （ 4 分）易知四边形OGPA 是矩形， PA=OG=2 ，BG=CG=1 ，OB=OG BG=1，OC=OG+GC=3 A（0，）， B（1，0） C（3，0）

33、（ 6 分）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c据题意得：解之得： a=，b=，c=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 31 页二次函数关系式为：（ 9 分）解法一：设直线BP 的解析式为： y=ux+v ，据题意得：解之得： u=，v=直线 BP 的解析式为：过点 A 作直线 AM PB，则可得直线AM 的解析式为：解方程组：得：；过点 C 作直线 CM PB，则可设直线CM 的解析式为：0=直线 CM 的解析式为：解方程组：得：；综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（ 0，），（ 3，0），（ 4，），（

34、 7，）（ 12 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 31 页解法二：，A（0，）， C（3，0）显然满足条件延长 AP 交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA 又 AM BC，点 M 的纵坐标为又点 M 的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4点 M（4，）符合要求点（ 7，）的求法同解法一综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（ 0，），（ 3，0），（ 4，），（ 7，）（ 12 分）解法三：延长AP 交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA 又 AM BC，点 M 的纵坐标为

35、即解得： x1=0（舍）， x2=4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 31 页点 M 的坐标为（ 4，）点（ 7，）的求法同解法一综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（ 0，），（ 3，0），（ 4，），（ 7，）（ 12 分）点评： 本题考查了二次函数的综合运用关键是由菱形、圆的性质，形数结合解题27、（ 2011?泰安）某商店经营一种小商品，进价为每件20 元，据市场分析，在一个月内，售价定为25 元时，可卖出105 件，而售价每上涨1 元，就少卖5 件（1）当售价定为30 元时，一个月可获利多少元？（2）

36、当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？考点 ：二次函数的应用。专题 ：销售问题。分析： （1）当售价定为30 元时，可知每一件赚10 元钱，再有售价定为25 元时，可卖出105 件，而售价每上涨1 元，就少卖5 件可计算出一个月可获利多少元；（2）设售价为每件x 元时，一个月的获利为y 元，得到y 与 x 的二次函数关系式求出函数的最大值即可解答： 解：（ 1）获利：（ 3020）1055（3025） =800；（2）设售价为每件x 元时，一个月的获利为y 元，由题意，得y=（x20）1055（ x25）=5x2+330x4600=5（x33）2+845，当 x=33 时

37、， y 的最大值为845，故当售价定为33 元时，一个月的利润最大，最大利润是845 元点评： 本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键求二次函数的最大 （小）值有三种方法， 第一种可由图象直接得出，第二种是配方法， 第三种是公式法，常用的是后两种方法29、（ 2011?泰安）已知：在ABC 中， AC=BC ， ACB=90，点 D 是 AB 的中点，点E是 AB 边上一点（1）直线 BF 垂直于直线CE 于点 F，交 CD 于点 G（如图 1），求证： AE=CG ；（2）直线 AH 垂直于直线CE，垂足为点H，交 CD 的延长线于点M（如图 2），找出图中精选学习资

38、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 31 页与 BE 相等的线段，并证明考点 ：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。专题 ：证明题。分析： （1）首先根据点D 是 AB 中点， ACB=90 ，可得出 ACD= BCD=45 ，判断出AEC CGB，即可得出AE=CG ，（2）根据垂直的定义得出CMA+ MCH=90 ， BEC+ MCH=90 ，再根据AC=BC ，ACM= CBE=45 ，得出 BCE CAM ，进而证明出BE=CM 解答： 解：（ 1）证明：点D 是 AB 中点， AC=BC ， ACB=90 ，CDAB

39、， ACD= BCD=45 ， CAD= CBD=45 ， CAE= BCG，又 BFCE， CBG+BCF=90 ，又 ACE+ BCF=90 ， ACE= CBG， AEC CGB，AE=CG ，（2）BE=CM ，证明： CH HM ，CDED， CMA+ MCH=90 ， BEC+ MCH=90 ， CMA= BEC，又 AC=BC ， ACM= CBE=45 ， BCE CAM ，BE=CM 点评： 本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中28、（ 2011?临沂）如图，已知抛物线经过A（ 2，0），B（ 3，3）及原点 O，顶点为 C精选学习资料

40、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 31 页（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作 PMx 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以 P、M、A 为顶点的三角形BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由考点 ：二次函数综合题。专题 ：综合题。分析： （1）由于抛物线经过A（ 2，0）， B（ 3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据平行四边形的性质，对边平

41、行且相等以及对角线互相平方，可以求出点D 的坐标；（3）根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P 的坐标解答： 解（ 1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0 ），且过 A（ 2，0），B（ 3，3），O（0，0）可得，解得故抛物线的解析式为y=x2+2x；（2）当 AE 为边时，A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 31 页DE=AO=2 ，则 D 在 x 轴下方不可能，D 在 x 轴上方且DE=2，则 D1（1，3）， D2（ 3，3）；当 AO 为对角线时，则DE 与

42、 AO 互相平方，因为点 E 在对称轴上，且线段 AO 的中点横坐标为1，由对称性知，符合条件的点D 只有一个，与点C 重合，即C（ 1， 1）故符合条件的点D 有三个，分别是D1（1，3）， D2（ 3，3）， C（ 1， 1）；（3）存在，如上图： B（ 3，3）， C（ 1， 1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2， BC2=20，BO2+CO2=BC2 BOC 是直角三角形假设存在点P，使以 P，M ，A 为顶点的三角形与 BOC 相似，设 P（ x，y），由题意知x0，y0，且 y=x2+2x，若 AMP BOC，则=，即 x+2=3 （x2+2x）得： x1= ，x2=2（

43、舍去）当 x= 时， y= ，即 P（ ，）若 PMA BOC，则=，即： x2+2x=3 （x+2）得： x1=3，x2=2（舍去）当 x=3 时， y=15，即 P（3， 15）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 31 页故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（ 3，15）点评： 本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D 和点 P 的坐标29、（ 2011? 潍坊）如图， y 关于 x 的二次函数y=（x+m ）（x3m）图象的顶点为M，图象

44、交 x 轴于 A、B 两点，交y 轴正半轴于D 点以AB 为直径作圆，圆心为C定点 E的坐标为（ 3，0），连接 ED（ m0）（1）写出 A、B、D 三点的坐标；（2）当 m 为何值时M 点在直线ED 上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当 m 变化时，用m 表示 AED 的面积 S，并在给出的直角坐标系中画出S 关于 m 的函数图象的示意图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 31 页考点 ：二次函数综合题。专题 ：压轴题；分类讨论。分析： （1）根据 x 轴， y 轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、D 三点的坐标；

45、（2）待定系数法先求出直线ED 的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；（3）分当 0m 3 时，当 m3 时两种情况讨论求得关于m 的函数解答： 解：（ 1）A（ m，0）， B（3m，0）， D（0，m）（2）设直线ED 的解析式为y=kx+b ，将 E（ 3，0）， D（0，m）代入得：解得， k=，b=m直线 ED 的解析式为y=mx+m将 y=（x+m）（ x3m）化为顶点式：y=（x+m）2+m顶点 M 的坐标为（ m，m）代入y=mx+m 得： m2=m m0， m=1所以，当m=1 时， M 点在直线DE 上连接 CD， C 为 AB 中点， C 点坐标为 C（m，0

46、）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 31 页OD=，OC=1， CD=2，D 点在圆上又 OE=3， DE2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4， CD2+DE2=EC2 FDC=90 直线 ED 与 C 相切（3）当 0m3 时， SAED= AE?OD=m（3m）S=m2+m当 m3 时， SAED= AE?OD=m（m3）即 S=m2_m点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有x 轴，y 轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法注意分析题意分情况讨论结果30、

47、（ 2011?菏泽）如图，抛物线y= x2+bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与y 轴交于 C 点，且 A（ 1， 0）（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断 ABC 的形状，证明你的结论；（3）点 M（m，0）是 x 轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m 的值考点 ：二次函数综合题。分析： （1）把 A 点的坐标代入抛物线解析式，求b 得值，即可的出抛物线的解析式，根据精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 31 页顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；（ 2 ） 根 据 直 角 三 角 形 的 性 质 ，

48、 推 出AC2=OA2+OC2=5 ， BC2=OC2+OB2=20 ， 即AC2+BC2=25=AB2，即可确 ABC 是直角三角形；（3）作出点C 关于 x 轴的对称点C ，则 C （0，2）， OC=2连接 CD 交 x 轴于点 M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小 首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m 的值解答： 解：（ 1）把点 A（ 1，0）的坐标代入抛物线的解析式y= x2+bx2，整理后解得，所以抛物线的解析式为（ 2 分）顶点 D；（ 3 分）（2）AB=5 AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，AC2+BC2=A

49、B2， ABC 是直角三角形（6 分）（3）作出点C 关于 x 轴的对称点C ，则 C （0，2）， OC =2 连接 CD交 x 轴于点 M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小设抛物线的对称轴交x 轴于点 E，COM DEM ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 31 页，m=（ 10 分）点评： 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 31 页