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1、学习好资料欢迎下载二次函数知识点汇总1. 定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数 . 2. 二次函数2axy的性质(1) 抛物线2axy）（0a的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2) 函数2axy的图像与a的符号关系 . 当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点3. 二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于 (包括重合 )y轴的抛物线 . 4. 二 次 函 数cbxaxy2用 配 方 法 可 化 成 ：khxay2的 形 式 ， 其 中abackabh4422，. 5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2a
2、xy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2. 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴( 或重合 ) 的直线记作hx. 特别地，y轴记作直线0x. 7. 顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法(1) 公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. (2) 配方法：运用配方法将抛
3、物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为 (h,k) ，对称轴是hx. (3) 运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9. 抛物线cbxaxy2中，cba,的作用(1)a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习好资料欢迎下载(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是
4、直线abx2,故：0b时，对称轴为y轴；0ab(即a、b同号)时, 对称轴在y轴左侧；0ab(即a、b异号) 时, 对称轴在y轴右侧 . (3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置 . 当0x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点 (0，c) ：0c，抛物线经过原点 ; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x(y轴) (0,0) kaxy20x(y轴)
5、(0, k) 2hxayhx(h,0) khxay2hx(h,k) cbxaxy2abx2(abacab4422，) 11. 用待定系数法求二次函数的解析式 (1) 一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式 . (2) 顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3) 交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay. 12. 直线与抛物线的交点 (1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (c,0) (2) 与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点 (h,cbhah2). (3) 抛物线与x轴
6、的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根 . 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习好资料欢迎下载有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点 ( 顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离. (4) 平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3) 一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbx
7、ax2的两个实数根 . (5) 一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . (6) 抛 物 线 与x轴 两 交 点 之 间 的 距 离 ： 若 抛 物 线cbxaxy2与x轴 两 交 点 为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB44422212212212113二次函数与一元二次方程的关系：(1) 一元二次方程cbx
8、axy2就是二次函数cbxaxy2当函数 y 的值为 0 时的情况(2) 二次函数cbxaxy2的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当0y时自变量x的值，即一元二次方程02cbxax的根(3) 当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程cbxaxy2有两个不相等的实数根； 当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有一个交点时， 则一元二次方程02cbxax有两个相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程02cbxax没有实数根14. 二次函数的应用：精选
9、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习好资料欢迎下载(1) 二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大( 小) 值；(2) 二次函数的应用包括以下方面： 分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值15. 解决实际问题时的基本思路：(1) 理解问题； (2) 分析问题中的变量和常量；(3) 用函数表达式表示出它们之间的关系； (4) 利用二次函数的有关性质进行求解；(5) 检验结果的合理性，对问题加以拓展等专题十二次函数（时间： 90 分钟满分：
10、100 分) 一、选择题（每小题3 分，共 24 分）1（ 20XX 年北京）抛物线y x26x5 的顶点坐标为( ) A(3， 4) B(3，4) C(3， 4) D（ 3，4) 2（20XX 年株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y x24x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A4 米B3 米C 2 米D 1 米3（20XX 年呼和浩特）已知一元二次方程x2bx30 的一根为 3，在二次函数yx2bx3 的图象上有三点（45， y1）、（54，y2）、（16，y3）， y1、 y2、 y3
11、的大小关系是( ) Ay1y2y3 By2y1y3Cy3y1y2D y1y30 B b0 Cc0 5（ 20XX 年宿迁）已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图，则下列结论中正确的是( ) Aa0 B当 x1 时， y 随 x 的增大而增大Cc0 D3 是方程 ax2bxc0 的一个根6 （20XX 年威海） 二次函数yx22x3 的图象如图所示， 当 y0 时，自变量 x 的取值范围是() A 1x3 Bx3 Dx3 7（ 20XX 年铜仁）已知函数y(k3)x22x1 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A k4 Bk4 Ck”“ 2a；ax2bxc0 的两根分别为3 和
12、 1； a2b c0其中正确的命题是_(只要求填写正确命题的序号) 三、解答题（共58 分）15（ 10 分）（ 20XX 年哈尔滨）手工课时，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位： cm2)随其中一条对角线的长x(单位： cm)的变化而变化(1)请直接写出S 与 x之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)当 x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？_（参考公式：当x2ba时，二次函数yax2bx c（a0）有最小（大）值244acba）16 （12 分）（20XX 年陕西） 二次函数y23x213x 的
13、图象经过 AOB 的三个顶点， 其中 A（ 1，m），B(n，n)(1)求点 A、B 的坐标；(2)在坐标平面上找点C，使以 A、O、B、C 为顶点的四边形是平行四边形这样的点C 有几个？能否将抛物线y23x213x 平移后经过A、C 两点？若能，求出平移后经过A、C 两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习好资料欢迎下载17（ 12 分）（ 20XX 年北京市）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数ymx2(m3)x3(m0) 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B
14、 左侧），与y 轴交于点C(1)求点 A 的坐标；(2)当 ABC 45时，求m 的值；(3)已知一次函数ykxb，点 P(n，0)是 x 轴上的一个动点在(2)的条件下，过点P 垂直于 x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数ymx2(m3)x3（ m0）的图象于点N若只有当2n0，a 为常数），并经过点(2a，2a)，点D(0，2a)为一定点(1)求含有常数a 的抛物线的解析式；(2)设 点 P 是抛物线上任意一点，过P 作 PHx 轴，垂足是H，求证： PD PH；(3)设过原点 O 的直线 l 与抛物线在第一象限相交于A、B 两点若DA 2D B，且 SABD 42，求a 的
15、值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习好资料欢迎下载19（ 12 分）（ 20XX 年杭州）设函数ykx2 (2k1)x1(k 为实数 )(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中用描点法画出这两个特殊函数的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3)对任意负实数k，当 xm 时， y 随着 x 的增大而增大，试求出m 的一个值参考答案1.A 2.A 3.A 4.D 5.D 6.A 7.B 8.B 9.yx21 10. 11.12.如1213.2 14.15.(1)S12x230x(2) 当 x 为 30 cm 时，菱形风筝面积最大，最大面积是450 cm216.(1)A( 1， 1)，B(2，2) (2)3 个能224133yxx17.(1)(1， 0) (2)m1 (3)y 2x1 18.(1)214yxaa(2)略(3)a2 19.(1)如两个函数为yx1， yx23x 1，图象略(2)略(3)m1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
