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1、四川省雅安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1在复平面内,复数所表示的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2从小到大排列的数据1,2,3,7,8,9,10,11的第三四分位数为( )A.B.9C.D.103复数满足,则( )A.B.C.D.4如图,在梯形ABCD中,E在BC上,且,设,则( )A.B.C.D.5已知m,n表示两条不同直线,表示平面,则( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则6一艘船向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东方向上,航行后到B处,看到灯塔S在船的北偏东的方向上,此时船距灯塔S的距离
2、（即BS的长）为( )A.B.C.D.7在复平面内,满足的复数对应的点为Z,复数对应的点为,则的值不可能为( )A.3B.4C.5D.68已知下面给出的四个图都是正方体,A,B为顶点,E,F分别是所在棱的中点,则满足直线的图形的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、多项选择题9为普及居民的消防安全知识,某社区开展了消防安全专题讲座.为了解讲座效果,随机抽取14位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷,这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示,下列说法正确的是( )A.讲座前问卷答题得分的中位数小于70B.讲座后问卷答题得分的众数为90C.讲座前问卷答
3、题得分的方差大于讲座后得分的方差D.讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差10若平面向量,满足,则( )A.B.向量与的夹角为C.D.在上的投影向量为11如图,在棱长为1的正方体中,M是的中点,点P是侧面上的动点,且平面,则( )A.P在侧面的轨迹长度为B.异面直线AB与MP所成角的最大值为C.三棱锥的体积为定值D.直线MP与平面所成角的正切值的取值范围是三、填空题12某学校高中二年级有男生600人,女生400人,为了解学生的身高情况,现按性别分层,采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本,则所抽取的男生人数为_.13已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,BC边上
4、的高为,则_.14半正多面体亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体.如图是以一个正方体的各条棱的中点为顶点的多面体,这是一个有8个面为正三角形,6个面为正方形的“阿基米德多面体”,包括A,B,C在内的各个顶点都在球O的球面上.若P为球O上的动点,记三棱锥体积的最大值为,球O的体积为V,则_.四、解答题15已知复数,（其中）.（1）若为实数,求m的值;（2）当时,复数是方程的一个根,求实数p,q的值.16已知向量,.（1）若与垂直,求实数k的值;（2）已知O,A,B,C为平面内四点,且,.若A,B,C三点共线,求实数m的值.17一家水果店为了解本店苹果的日销售情况,记录了
5、过去200天的日销售量（单位：kg）,将全部数据按区间,分成5组,得到下图所示的频率分布直方图.（1）求图中a的值;并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）;（2）若一次进货太多,水果不新鲜;进货太少,又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜,又能地满足顾客的需要（在100天中,大约有85天可以满足顾客的需求）.请问,每天应该进多少水果？18从;.这三个条件中任选一个补充在下面问题中,并解答该题.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知_.（1）求角C的大小;（2）若点D在AB上,CD平分,求CD的长;（3）若该三角形为锐角三角形,
6、且面积为,求a的取值范围.19我国古代数学名著九章算术在“商功”一章中,将“底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体,底面ABCD是正方形,底面ABCD,E为线段PB的中点,F为线段BC上的动点（1）平面AEF与平面PBC是否垂直？若垂直,请证明,若不垂直,请说明理由;（2）求二面角的大小;（3）若直线平面AEF,求直线AB与平面AEF所成角的正弦值.参考答案1答案：C解析：,故所表示的点位于第三象限.2答案：C解析：由于,该组数据的第三四分位数为9和10的平均数 .3答案：B解析：设 .则,即,所以且,即,所以.4答案：D解析：依题意5答案：A
7、解析：,则,故A正确;若,则m, n相交或平行或异面,故B错误;若,则或.故C错误;若,则或或或n与相交,故D错误.6答案：B解析：在中,依据正弦定理,则.7答案：A解析：依题意,点Z的轨迹为以为圆心,1为半径的圆,故只需求和Z之间距离的取值范围即可, 点到圆心的距离为,则,故的值不可能等于3.8答案：D解析：9答案：ACD解析：10答案：AD解析：11答案：ABD解析：12答案：30解析：该学校高二年级学生中,男生占比为,则所抽取的男生人数为.13答案：3解析：因为,所以,所以,因为 ,所以,因为,所以,由余弦定理可得,所以,解得或(舍去).故答案为：3.14答案：解析：15答案：（1）（2
8、）解析：（1）,因为为实数,所以,解得.故为实数时,m的值为.（2）当时,则复数,因为是方程的一个根,所以,化简得,由解得16答案：（1）（2）2解析：（1）,则,因为与垂直,所以,解得.（2）,因为A,B,C三点共线,所以.所以,解得.17答案：（1）（2）解析：（1）由直方图可得,样本落在,的频率分别为,0.2,0.4,0.3,由,解得.则样本落在,频率分别为0.05,0.05,0.2,0.4,0.3,所以,该苹果日销售量的平均值为.（2）为了能地满足顾客的需要,即估计该店苹果日销售量的分位数.方法1：依题意,日销售量不超过的频率为,则该店苹果日销售量的分位数在,设为,则,解得.所以,每天
9、应该进苹果.方法2：依题意,日销售量不超过的频率为,则该店苹果日销售量的分位数在,所以日销售量的分位数为.所以,每天应该进苹果.18答案：（1）（2）（3）解析：（1）若选条件,依题意,得,根据正弦定理得,因为,所以,则,即,即,所以.又,则,所以.若选条件.由正弦定理得,所以,即,即,整理得,即.因为,所以,所以.若选条件在中,因为,所以,即,化简得.又,则,故.因为,所以.（2）依题意,即,则,在中,根据余弦定理,有,即,解得或（舍去）,所以.（3）依题意,的面积,所以.又为锐角三角形,且,则,所以.又,则,所以.由正弦定理,得,所以,所以,即,所以a的取值范围为.19答案：（1）见解析（
10、2）（3）解析：（1）平面平面PBC.理由如下：因为平面ABCD,平面ABCD,所以,因为,又.所以平面PAB,故.在中,E为PB的中点,所以.因为平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.又平面AEF,所以平面平面PBC.（2）不妨设,计算可得,又,所以,则,作于G,连结DG,又,可知,所以,所以是二面角的平面角.在中,由,得,则,连结BD,知,在中,根据余弦定理,得,所以.（3）因为直线平面AEF,平面PBC,平面平面,所以直线直线EF.又E为线段PB的中点,所以F为线段BC上的中点.由（2）知,所以.设BG与EF交点为H,连结AH,由（1）知,平面平面PBC,平面平面,所以平面AEF.所以直线AB与平面AEF所成角为.又由,F为BC上的中点,可得H为BG的中点,可知,又,所以.直线AB与平面AEF所成角的正弦值为.
