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1、高三数学试题考生须知:1.本卷共4页,满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效.4.考试结束后,只需上交答题纸.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则等于( )A. B. C. D. 2. 已知复数满足,则复数在复平面内对应点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知向量,若与垂直,则等于( )A. B. C. 3D. 64. 已知数列满足,则“为等比数列”
2、是“(,)”的( )A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件5. 在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中,采用样本量比例分配的分层随机抽样,如果不知道样本数据,只知道抽取了男生80人,女生120人,其方差分别为15,10,由此估计样本的方差不可能为( )A. 11B. 13C. 15D. 176 若,则( )A. B. C. D. 7. 如图,假定两点P,Q以相同的初速度运动点Q沿直线CD做匀速运动,;点P沿线段AB(长度为单位)运动,它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离令P与Q同时分别从A,C出发,定义x为y的纳皮尔对
3、数,用现代数学符号表示x与y的对应关系就是,当点P从线段AB靠近A的三等分点移动到中点时,经过的时间为( )A. B. C. D. 8. 设双曲线:(,)的左焦点为,过坐标原点的直线与交于,两点,则的离心率为( )A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知函数,则( )A. 的最小正周期为B. 的图象关于对称C. 在上单调递减D. 当时,10. 已知,是一个随机试验中的三个事件,且,下列说法正确的是( )A. 若与互斥,则与不相互独立B. 若与相互独立,则
4、与不互斥C. 若,且,则与相互独立D 若,则,两两独立11. 已知正方体的棱长为1,点满足,其中,则( )A. 当时,则的最小值为B. 过点在平面内一定可以作无数条直线与垂直C. 若与所成的角为,则点的轨迹为双曲线D. 当,时,正方体经过点、的截面面积的取值范围为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 若展开式的二项式系数之和为128,则展开式中的系数为_.13. 已知圆:和圆:,过圆上一动点作圆的切线,交圆于,两点,当(点为坐标原点)面积最大时,满足条件的切线方程为_.(写出一条即可)14. 已知函数,对任意,存在使得不等式成立,则满足条件的的最大整数为_.四、解答题:本题共
5、5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在直角坐标平面内有线段,已知点是线段上靠近的三等分点,点是线段上靠近的三等分点,点是线段(,)上靠近的三等分点,设点的横坐标为.(1)求证:数列为等比数列;(2)若,求的通项公式.16. 在四棱锥中,、分别为直线,上的动点.(1)若异面直线与所成的角为,判断与是否具有垂直关系并说明理由;(2)若,求直线与平面所成角的最大值.17. 将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒(一种具有随机属性的玩具盒子),现从中不放回取球.(1)若每次取一个球,求:()前两次均取到红球的概率;()第2次取到红球的概率;(2)若从中取出两个球
6、,已知其中一个球红球,求:()另一个也为红球的概率;()若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球,如果从提高取到红球的可能性出发,你是选择换还是不换?试说明理由.18. 在平面直角坐标系中,已知点,动点,满足.(1)求动点的轨迹的方程;(2)已知过点的直线与曲线交于两点,连接,.()记直线,的斜率分别为,求证:为定值;()直线,与直线分别交于,两点,求的最小值.19. 莫比乌斯函数,由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出,数学家梅滕斯首先使用作为莫比乌斯函数的记号,其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式:(为的质因数个数,为质数,),例如:,对应,.现对任意,定义莫比乌斯函数.(1)求,;(2)已知,记(为的质因数个数,为质数,)的所有因数从小到大依次为,.()证明:;()求的值(用()表示).