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1、2023学年高一年级第二学期浙里特色联盟期中联考数学试题考生须知：1本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解二次不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为或，又，所以.故选：C.2. 已知是虚数单位，则复数所对应的点位于（ ）A.
2、第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘方化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为，所以，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限.故选：D3. 设是三个不同平面，且，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断.【详解】若，则由平面平行的性质定理：得；但当，时，可能有，也可能有相交，如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面，另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交，所以“”是“”的
3、必要不充分条件.故选：B4. 若命题p：，且，则命题为（ ）A. 且B. 或C. 且D. 或【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，只需将存在量词改为全称量词，并否定结论即可得答案.【详解】存在量词命题的否定是全称命题，将存在量词改为全称量词，并否定结论，故命题为或故选：B5. 已知向量 ，满足， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】，.，因此，.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.6. 已知函数，则下
4、列说法正确的是（）A. 的图象关于直线对称B. 的周期为C. 是的一个对称中心D. 在区间上单调递增【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式化简可得，根据函数图象逐项进行判断即可得到答案【详解】由函数，由此可作出的函数图象，如图所示，对于A中，由，所以关于直线不对称，所以A错误；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由函数图象可知，不存在对称中心，所以C错误；对于D中，因为，所以函数在上不是单调递增函数，所以D错误.故选：B.7. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱
5、形B. 棱始终与水面所在平面平行C. 水面所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜如图所示时，是定值【答案】C【解析】【分析】对于A：根据棱柱的特点进行判断；对于B：根据线面平行的判定定理来判断；对于C：观察不同倾斜度下的面积变化来判断；对于D：根据水的体积和高均不变来判断.【详解】对于A：将容器绕边倾斜，随着倾斜度的不同，平面平面，平面，平面，平面，平面都是平行四边形，所以没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确；对于B：面，面，所以面，即棱始终与水面所在平面平行，故B正确；对于C：如下图：水面所在四边形的面积等于长方形的面积，如下图：水面所在四边形的面积大于长方形的面积，故C错误；对于D：当容器倾
6、斜如图所示时，有水的部分形成一个直三棱柱，三棱柱的底面为三角形，高为，根据水的体积为定值，可得底面三角形的面积为定值，故是定值，故D正确.故选：C.8. 已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角转化，求得，结合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面积的最大值即可.【详解】因，由正弦定理可得：，即，又，故；由，解得；由余弦定理，结合，可得，即，解得，当且仅当时取得等号；故的面积，当且仅当时取得等号.即面积的最大值为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有
7、多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数是的共轭复数，则（ ）A B. 的虚部是C. 在复平面内对应的点位于第二象限D. 复数是方程的一个根【答案】AC【解析】【分析】利用复数的定义、模长公式、几何意义、共轭复数定义与方程的解法一一判定选项即可.【详解】由题意可知，所以，故A正确；易知的虚部是，故B错误；在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；对于，显然不符合题意，故D错误.故选：AC10. 已知非零向量，以下命题正确的有（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则与的夹角为锐角D. 已知，则【答案】BD【解析】【分析】由已知可得，可判断A；两边
8、平方可得，可得，可判断B；由已知可得，可判断C；，利用和向量的平行四边形法则可判断D.【详解】对于A：由，可得，所以，故A错误；对于B：由，两边平方得，所以，又，所以，故B正确；对于C.：，由，可得，所以，则，又，所以，故C错误；对于D：因为，所以，所以，又，结合向量的平行四边形法则可得，故D正确.故选：BD.11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）A. 记的中点为，上存在一点，使得面面B. 动点轨迹的长度为C. 三棱锥体积的最小值为D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，取中点，
9、的中点，通过证明平面平面，从而判断A；对于B，结合A选项分析可得点轨迹为线段，从而判断B；由此可得与点重合时，三棱锥体积的最小，求体积判断C；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可判断.【详解】对于A，取中点，的中点，连接，则，正方体中易知，从而，又平面，而平面，所以平面，又正方体中与平行且相等，从而与平行且相等，则是平行四边形，所以，同理可证平面，又，平面，所以平面平面，所以当点与点重合，即点为的中点时，有平面平面，故A正确；对于B，平面平面，所以当时，平面，即线段为点的轨迹，故B不正确；对于C，点到平面即平面的距离为，而于三角形的面积而言，底边是固定的，而线段为点的轨迹，当且仅当点与点重合时
10、，此时点到的距离最短，且为，综上所述，三棱锥体积的最小值为，故C正确；对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心，,所以底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球球心为O，半径为，由，可得外接球半径，外接球的表面积为，故选项D正确.故选：ACD.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 已知，则_【答案】#【解析】【分析】化简式子，结合已知条件即可求出的值.【详解】由题意，故答案：.13. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为_.【答案】【解析】
11、【分析】设圆锥的底面半径，母线为，圆锥的外接球的半径为，根据圆锥的侧面展开图是一个半圆可得，进而求得球表面积.【详解】依题意圆锥高，设圆锥的底面半径，母线为，圆锥的外接球的半径为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，解得，可知，所以球的表面积.故答案为：14. 如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处的距离（垂直于水平面），研究人员在距研究所处的观测点处测得山顶A的仰角为，山脚的俯角为.若该研究员还测得到处的距离比到处的距离多，且，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意利用余弦定理可得，过点作，结合直角三角形运算求解.【详解】设，则，在中，因为，由余弦定理可得：，解得：，则.过点作，由题意可
12、得：，则，可得，则，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知复数，为虚数单位（1）求；（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值；（3）若复数满足，求的最值【答案】（1） （2）， （3），【解析】【分析】（1）根据复数的除法运算及加法运算求出，再根据共轭复数的定义即可得解；（2）法一：将代入即可得解；法二：根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再结合韦达定理即可得解；（3）设，根据复数的模的计算公式求出复数对应的点的轨迹方程，进而可得出答案.【小问1详解】，所以；【小问2详解】法一：因为复数是关于的方程的一个根，所以，可得，
13、即所以，解得，；法二：若复数是关于的方程的一个根，则是该方程的另一个根，根据韦达定理得，解得；【小问3详解】设，则，即，所以复数对应的点是以为圆心，为半径的圆，表示复数对应的点与点间的距离，则，.16. 在中，点在边上，（1）求的模；（2）求向量与夹角的余弦值；（3）若点在边上，求的范围【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）由已知可得，两边平方可求；（2）求得，利用向量的夹角公式可求向量与夹角的余弦值；（3）设边的中点为，连接，利用余弦定可得，进而可得结论.【小问1详解】由，可得，所以， 可得，所以；【小问2详解】，又，所以；【小问3详解】设边的中点为，连接，由余弦定理可得，到的
14、距离为，所以，所以.17. 三棱柱的棱长都为2，D和E分别是和的中点（1）求证：直线平面；（2）若，点B到平面的距离为，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）法一，根据中位线可得线线平行，证明面面平行再证线面平行，法二，作出辅助线，证明，即可得证；（2）根据线面平行可得，由等体积法求解.【小问1详解】在三棱柱中，取中点F，连接DF，EF，D和E分别是和的中点，又面，面，且面，面，/面，EF/面，又，面， 面/平面，而面DEF，故直线/平面法二，连接CE交于点G，连接CD交于点H，连接HG，如图，在三棱柱中，则，又面，面，直线平面.小问2详解】如图，直线/平面，又，所以平行四边形边上的高，由B到面的高，则.18. 在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1
