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1、2023学年高一年级第二学期浙里特色联盟期中联考数学试题考生须知:1本卷共4页满分150分,考试时间120分钟.2答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效.4考试结束后,只需上交答题纸.选择题部分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 集合,集合,则集合( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解二次不等式化简集合,再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为或,又,所以.故选:C.2. 已知是虚数单位,则复数所对应的点位于( )A.
2、第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘方化简复数,再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为,所以,所以复数在复平面内所对应的点为,位于第四象限.故选:D3. 设是三个不同平面,且,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用面面平行的性质定理,及它们之间的推出关系,即可以作出判断.【详解】若,则由平面平行的性质定理:得;但当,时,可能有,也可能有相交,如是三棱柱的两条侧棱所在直线,是确定的平面,另两个侧面所在平面分别为,此时符合条件,而相交,所以“”是“”的
3、必要不充分条件.故选:B4. 若命题p:,且,则命题为( )A. 且B. 或C. 且D. 或【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题,只需将存在量词改为全称量词,并否定结论即可得答案.【详解】存在量词命题的否定是全称命题,将存在量词改为全称量词,并否定结论,故命题为或故选:B5. 已知向量 ,满足, ,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算出、的值,利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】,.,因此,.故选:D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算,同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算,考查计算能力,属于中等题.6. 已知函数,则下
4、列说法正确的是()A. 的图象关于直线对称B. 的周期为C. 是的一个对称中心D. 在区间上单调递增【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式化简可得,根据函数图象逐项进行判断即可得到答案【详解】由函数,由此可作出的函数图象,如图所示,对于A中,由,所以关于直线不对称,所以A错误;对于B中,由,所以B正确;对于C中,由函数图象可知,不存在对称中心,所以C错误;对于D中,因为,所以函数在上不是单调递增函数,所以D错误.故选:B.7. 如图,透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水,固定容器底面一边于地面上,再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同,在下面四个命题中错误的是( ) A. 没有水的部分始终呈棱柱
5、形B. 棱始终与水面所在平面平行C. 水面所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜如图所示时,是定值【答案】C【解析】【分析】对于A:根据棱柱的特点进行判断;对于B:根据线面平行的判定定理来判断;对于C:观察不同倾斜度下的面积变化来判断;对于D:根据水的体积和高均不变来判断.【详解】对于A:将容器绕边倾斜,随着倾斜度的不同,平面平面,平面,平面,平面,平面都是平行四边形,所以没有水的部分始终呈棱柱形,故A正确;对于B:面,面,所以面,即棱始终与水面所在平面平行,故B正确;对于C:如下图:水面所在四边形的面积等于长方形的面积,如下图:水面所在四边形的面积大于长方形的面积,故C错误;对于D:当容器倾
6、斜如图所示时,有水的部分形成一个直三棱柱,三棱柱的底面为三角形,高为,根据水的体积为定值,可得底面三角形的面积为定值,故是定值,故D正确.故选:C.8. 已知的内角的对边分别为,且,则面积的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角转化,求得,结合余弦定理以及不等式求得的最大值,再求三角形面积的最大值即可.【详解】因,由正弦定理可得:,即,又,故;由,解得;由余弦定理,结合,可得,即,解得,当且仅当时取得等号;故的面积,当且仅当时取得等号.即面积的最大值为.故选:A.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有
7、多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知复数是的共轭复数,则( )A B. 的虚部是C. 在复平面内对应的点位于第二象限D. 复数是方程的一个根【答案】AC【解析】【分析】利用复数的定义、模长公式、几何意义、共轭复数定义与方程的解法一一判定选项即可.【详解】由题意可知,所以,故A正确;易知的虚部是,故B错误;在复平面内对应的点为,位于第二象限,故C正确;对于,显然不符合题意,故D错误.故选:AC10. 已知非零向量,以下命题正确的有( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则与的夹角为锐角D. 已知,则【答案】BD【解析】【分析】由已知可得,可判断A;两边
8、平方可得,可得,可判断B;由已知可得,可判断C;,利用和向量的平行四边形法则可判断D.【详解】对于A:由,可得,所以,故A错误;对于B:由,两边平方得,所以,又,所以,故B正确;对于C.:,由,可得,所以,则,又,所以,故C错误;对于D:因为,所以,所以,又,结合向量的平行四边形法则可得,故D正确.故选:BD.11. 如图,棱长为2的正方体中,为棱的中点,为正方形内一个动点(包括边界),且平面,则下列说法正确的有( )A. 记的中点为,上存在一点,使得面面B. 动点轨迹的长度为C. 三棱锥体积的最小值为D. 当三棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为【答案】ACD【解析】【分析】对于A,取中点,
9、的中点,通过证明平面平面,从而判断A;对于B,结合A选项分析可得点轨迹为线段,从而判断B;由此可得与点重合时,三棱锥体积的最小,求体积判断C;对D,利用勾股定理求出外接球半径即可判断.【详解】对于A,取中点,的中点,连接,则,正方体中易知,从而,又平面,而平面,所以平面,又正方体中与平行且相等,从而与平行且相等,则是平行四边形,所以,同理可证平面,又,平面,所以平面平面,所以当点与点重合,即点为的中点时,有平面平面,故A正确;对于B,平面平面,所以当时,平面,即线段为点的轨迹,故B不正确;对于C,点到平面即平面的距离为,而于三角形的面积而言,底边是固定的,而线段为点的轨迹,当且仅当点与点重合时
10、,此时点到的距离最短,且为,综上所述,三棱锥体积的最小值为,故C正确;对D,如图,当在处时,三棱锥的体积最大时,由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心,,所以底面为直角三角形,所以在底面的射影为中点,设为,如图,设外接球球心为O,半径为,由,可得外接球半径,外接球的表面积为,故选项D正确.故选:ACD.非选择题部分三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分12. 已知,则_【答案】#【解析】【分析】化简式子,结合已知条件即可求出的值.【详解】由题意,故答案:.13. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上,顶点为球心,圆锥的高为3,且圆锥的侧面展开图是一个半圆,则球的表面积为_.【答案】【解析】
11、【分析】设圆锥的底面半径,母线为,圆锥的外接球的半径为,根据圆锥的侧面展开图是一个半圆可得,进而求得球表面积.【详解】依题意圆锥高,设圆锥的底面半径,母线为,圆锥的外接球的半径为,因为圆锥的侧面展开图是一个半圆,则,解得,可知,所以球的表面积.故答案为:14. 如图所示,为了测量某座山的山顶A到山脚某处的距离(垂直于水平面),研究人员在距研究所处的观测点处测得山顶A的仰角为,山脚的俯角为.若该研究员还测得到处的距离比到处的距离多,且,则_.【答案】【解析】【分析】根据题意利用余弦定理可得,过点作,结合直角三角形运算求解.【详解】设,则,在中,因为,由余弦定理可得:,解得:,则.过点作,由题意可
12、得:,则,可得,则,所以.故答案为:.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知复数,为虚数单位(1)求;(2)若复数是关于的方程的一个根,求实数的值;(3)若复数满足,求的最值【答案】(1) (2), (3),【解析】【分析】(1)根据复数的除法运算及加法运算求出,再根据共轭复数的定义即可得解;(2)法一:将代入即可得解;法二:根据一元二次方程的复数根互为共轭复数,再结合韦达定理即可得解;(3)设,根据复数的模的计算公式求出复数对应的点的轨迹方程,进而可得出答案.【小问1详解】,所以;【小问2详解】法一:因为复数是关于的方程的一个根,所以,可得,
13、即所以,解得,;法二:若复数是关于的方程的一个根,则是该方程的另一个根,根据韦达定理得,解得;【小问3详解】设,则,即,所以复数对应的点是以为圆心,为半径的圆,表示复数对应的点与点间的距离,则,.16. 在中,点在边上,(1)求的模;(2)求向量与夹角的余弦值;(3)若点在边上,求的范围【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】(1)由已知可得,两边平方可求;(2)求得,利用向量的夹角公式可求向量与夹角的余弦值;(3)设边的中点为,连接,利用余弦定可得,进而可得结论.【小问1详解】由,可得,所以, 可得,所以;【小问2详解】,又,所以;【小问3详解】设边的中点为,连接,由余弦定理可得,到的
14、距离为,所以,所以.17. 三棱柱的棱长都为2,D和E分别是和的中点(1)求证:直线平面;(2)若,点B到平面的距离为,求三棱锥的体积【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)法一,根据中位线可得线线平行,证明面面平行再证线面平行,法二,作出辅助线,证明,即可得证;(2)根据线面平行可得,由等体积法求解.【小问1详解】在三棱柱中,取中点F,连接DF,EF,D和E分别是和的中点,又面,面,且面,面,/面,EF/面,又,面, 面/平面,而面DEF,故直线/平面法二,连接CE交于点G,连接CD交于点H,连接HG,如图,在三棱柱中,则,又面,面,直线平面.小问2详解】如图,直线/平面,又,所以平行四边形边上的高,由B到面的高,则.18. 在锐角三角形中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(1