《浙江省杭州地区(含周边)重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学Word版含解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《浙江省杭州地区(含周边)重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学Word版含解析(21页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2023学年高一年级第二学期期中杭州地区(含周边)重点中学数学试题考生须知:1本卷满分150分,考试时间120分钟;2答题前,在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名;3所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效;4考试结束后,只需上交答题卷.第卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知全集,集合,下列能正确表示图中阴影部分的集合是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先确定阴影部分表示的集合为,再根据补集与交集定义求解.【详解】全集,集合,图中阴影部分的集合是.故选:D.2. 用一个平面截长方体,如果截面形状三角
2、形,则该截面三角形不可能是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 锐角三角形D. 直角三角形【答案】D【解析】【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形,结合正方体的性质,即可判断.【详解】如图1,在正方体中,易知为正三角形,于是答案都有可能,如图2,若为直角三角形,根据正方体的对称性,不妨假设,由正方体的性质可知:,所以平面,而平面,于是过同一点作出了一个平面的两条垂线,显然不成立,D错误.故选:D.3. 已知,为虚数单位,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算计算可得,再由共轭复数概念计算可得结果.【详解】由可得,所以,则.故选:C.4.
3、已知平面向量,且,则( )A. B. C. D. 0【答案】B【解析】【分析】因为,所以两边平方即可得到关于的一元二次方程,解出即可.【详解】,两边平方得: ,化简得到,则.故选:B.5. 下列说法正确的是( )A. 过空间中的任意三点有且只有一个平面B. 四棱柱各面所在平面将空间分成27部分C. 空间中的三条直线a,b,c,如果a与b异面,b与c异面,那么a与c异面D. 若直线a在平面外,则平面内一定存在直线与a平行【答案】B【解析】【分析】根据基本事实可判断A错误,由四棱柱的空间结构可判断B正确;利用异面直线定义可得C错误;当直线和平面相交时可知D错误.【详解】对于A,若空间中的三点共线,
4、可以有无数个平面,即A错误;对于B,如下图所示,四棱柱的上下底面所在平面将空间分成了三层,每一层又被四个侧面分成了9个小部分,所以四棱柱各面所在平面将空间分成27部分,即B正确;对于C,如选项B中图所示,与异面,与异面,但与在同一平面内,即C错误;对于D,若直线a在平面外,当直线a在平面相交时,如下图所示:则平面内不存在直线与a平行,即D错误.故选:B6. 若平面向量,均是非零向量,则“”是“向量与共线”的( )A. 充要条件B. 充分且不必要条件C. 必要且不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积的运算率和向量共线的条件,对充分性和必要性进行判断.【详解】
5、若平面向量,均是非零向量,充分性:当时,若,则,有且,所以向量与共线,若,则有,有与共线,充分性成立;必要性:当向量与共线时,设向量方向上的单位向量为,若向量与方向相同,有,则,满足,若向量与方向相反,有,则,满足,必要性成立;所以“”是“向量与共线”的充要条件.故选:A.7. 雷峰塔是“西湖十景”之一,中国九大名塔之一,为中国首座彩色铜雕宝塔如图,某同学为了测量雷峰塔的高度,在地面C处时测得塔顶A在东偏北45的方向上,向正东方向行走50米后到达D处,测得塔顶A在东偏北75的方向上,仰角为45,则可得雷峰塔离地面的高度值为( )A. 米B. 50米C. 米D. 米【答案】A【解析】【分析】由题
6、意画出简图,运用正弦定理和锐角的正切函数的定义,可得所求值.【详解】由题可得,则, 由正弦定理可得:,即,解得,在中,.故选:A8. 已知函数,若函数有6个不同的零点,则实数a的取值可以是( )A B. 3C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出函数图象,再根据函数零点个数以及二次函数根的分布情况,可求得.【详解】作出函数的图象如下图所示:结合图象可知,令,令,则可得方程有两个不相等的实数根,不妨设;所以,解得或;若函数有6个不同的零点,根据图象可知当时符合题意,此时无解;当时,满足函数有6个不同的零点,根据二次函数根的分布可知此时需满足,解得,因此实数a的取值可以是.故选:C【点睛】关键点
7、点睛:本题关键在于根据解析式画出函数图象,结合图象交点个数分类讨论确定零点分布情况,即可求得实数a的取值范围.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分9. 对于,有如下说法,其中正确的是( )A. 满足条件,的三角形共有两个B. 若,则是直角三角形C. 若,则为锐角三角形D. 若是锐角三角形,则不等式恒成立【答案】AD【解析】【分析】利用正弦定理解三角形可判断A;根据诱导公式化为同名函数即可判断B;利用平方关系化为正弦,再由正弦定理角化边,然后利用余弦定理只能判断角C,可判断C;根据,结合诱导公式
8、可判断D.【详解】对A,中, 由正弦定理有,则,则或,即满足条件的三角形共有两个,A选项正确;对B,中,有或,则是直角三角形或钝角三角形,B选项错误;对C,中,则,由正弦定理可得,则,即为锐角,角与角的大小未知,则不一定为锐角三角形,C选项错误;对D,是锐角三角形,则,有,则,即化为恒成立,D选项正确.故选:AD.10. 已知圆台的轴截面如图所示,其上底面半径为1、下底面半径为2,母线长为2,为母线中点,则下列结论正确的是( )A. 圆台的高为2B. 圆台的侧面积为C. 圆台外接球的体积是D. 在圆台的侧面上,从到的最短路径的长度为5【答案】BCD【解析】【分析】在圆台轴截面利用勾股定理计算判
9、断A选项;利用圆台的侧面积公式计算判断B选项;利用轴截面计算圆台外接球的半径,再利用球的体积公式计算得出结果判断C选项;在圆台的侧面上,从到的最短路径,在计算求得判断D选项;【详解】对于A,如图所示,过作交于点,过作交于点,根据题意在中,,故A错误;对于B,圆台的侧面积为,故B正确;对于C,设圆台外接球的球心为,半径.由题意可得:.设,则,由,即,解得:.即重合,所以.圆台外接球的体积是.故C正确; 对于D,如图示,在圆台的侧面上,从到的最短路径的长度为.由题意可得:.由为中点,所以,所以.故D正确.故选:BCD.11. 关于函数(),如下结论中正确的是( )A. 函数的最小正周期是B. 函数
10、的图象关于直线对称C. 函数的值域是D. 函数在上单调递减【答案】BD【解析】【分析】A选项,由可得的最小正周期不是;B选项,计算出,B正确;C选项,是的一个正周期,且关于直线对称,分和,求出;D选项,时,由复合函数单调性可得答案.【详解】A选项,故函数的最小正周期不是,A错误;B选项,故函数的图象关于直线对称,B正确;C选项,故是的一个正周期,又的图象关于直线对称,当时,因为,故,当时,因为,故,故当时,结合函数对称性可得,C错误;D选项,时,由于在上单调递减,且,而在上单调递增,由复合函数单调性可知,函数在上单调递减,D正确.故选:BD第卷三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分12
11、. 如图所示,长方形的边长,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是_【答案】16【解析】【分析】根据直观图中线段长度和位置关系,还原出原图形即可求出对应的原图周长.【详解】由直观图可知,所以可得,由勾股定理可知,且在原图中,根据直观图画法步骤还原原图如下:其中,则,因此原图形的周长为故答案为:1613. 在中,角所对的边分别为,的角平分线交于点D,且,则的最小值为_【答案】36【解析】【分析】由余弦定理得,利用三角形面积关系建立方程关系得,结合基本不等式“1”的代换进行求解即可.【详解】由题意,如图所示,中,由余弦定理得,因为,所以.因为为的角平分线,所以的面积为,即,故,且,所
12、以,当且仅当,即取等号.故的最小值为.故答案为:.14. 已知正三角形ABC的边长为1,P是平面ABC上一点,若,则PA的最大值为_【答案】【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系,得到点P的轨迹为圆,进而利用点与圆的位置关系算出PA的最大值.【详解】以BC所在直线为轴,BC中点为原点,建立平面直角坐标系, 则,设,由,得,整理得,即因此,点P的轨迹是以为圆心,半径的圆,PA长的最大值等于.故答案为:.【点睛】方法点睛:由正三角形的结构特征,建立平面直角坐标系,求出点轨迹,由轨迹为圆,PA长的最大值为点到圆心距离加上半径.四、解答题:本题共5小题,共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
13、骤15. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一图1是一种木陀螺,可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体,其直观图如图2所示,其中分别是上、下底面圆的圆心,且,现有一箱这种的陀螺共重(不包含箱子的质量),陀螺的密度为(取3)(1)试问该箱中有多少个这样的陀螺?(2)如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料,试问共需涂多少的颜料?【答案】(1)个; (2).【解析】【分析】(1)求出一个陀螺的体积,再求出其质量,然后可解;(2)利用圆锥和圆柱的表面积公式求出一个陀螺的表面积,然后可得.【小问1详解】因为,所以,圆锥部分的体积为,圆柱部分的体积为,所以一个陀螺的体积为,质量为,所以该箱中共有陀螺个
14、.【小问2详解】易知,则圆锥的侧面积为,圆柱侧面积为,底面面积为,所以一个陀螺的表面积为,所以,所以,给这箱陀螺的每个表面涂上颜料共需涂多少的颜料.16. 已知复数,是方程的解,复平面内表示的点A在第四象限,O是原点(1)点A关于虚轴的对称点为点B,求向量对应的复数;(2)将复数对应的向量绕原点逆时针旋转得到向量,对应的复数为,求的值;【答案】(1) (2)0【解析】【分析】(1)解方程得到,然后根据对称性求对应的复数;(2)根据旋转得到,然后根据复数乘方和除法运算法则计算.【小问1详解】对于方程,所以,方程有两个不等的虚根,因为复数、是方程的解,复平面内表示的点在第四象限,所以z1,z2,所以对应的复数为;【小问2详解】,因此,17. 如图,在ABC中,已知,且(1)若,求的值(2)求【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由条件结合向量线性