《(完整word版)数字信号处理(程佩青)课后习题解答(2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整word版)数字信号处理(程佩青)课后习题解答(2)（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 Z 变换 1 求以下序列的z 变换，并画出零极点图和收敛域。分析：Z 变换定义nnznxzXnxZ)()()(，n 的取值是)(nx的有值范围。Z 变换的收敛域 是满足 Mznxnn)(的 z 值范围。解：(1)由 Z 变换的定义可知：nnnzazX)(nnnnnnzaza01nnnnnnzaza01)(1()1()1)(1(1111212azazazaazazazaazaz)(21)()2(nunxn)1(21)()3(nunxn)1(,1)()4(nnnx为常数）00(0,)sin()()5(nnnnx10,)()cos()()6(0rnunArnxn)1|()()1(aanxn
2、zzazazazazaaz,0 1,1 1,1 零点为：极点为：即：且收敛域：解：(2)由 z 变换的定义可知：nnnznuzX)()21()(0)21(nnnz 12111z 21 1121 zz即：收敛域：0 21 zz零点为：极点为：解:（3）nnnznuzX)1()21()(1)21(nnnz 12nnnz zz212 12111z 21 12 zz即：收敛域：)(21)()2(nunxn)1(21)()3(nunxn 0 21 zz零点为：极点为：解：(4)11)(nnznzX 11)(1)(nnznndzzdX21)(11zzznn ，1|z 。的收敛域为故的收敛域相同，的收敛域和
3、因为1|)()()(1ln)1ln(ln)(zzXdzzdXzXzzzzzX z 1,0 零点为：极点为：zz 解：(5)设)()sin()(0nunny 则有 1|cos21sin)()(20101zzzzznyzYnn，而 )()(nynnx)()(zYdzdzzX1|,)cos21(sin)1(2201021zzzzz 因此，收敛域为：1z zzzzezezjj,0,1,1 ,00零点为：（极点为二阶）极点为：解：(6)1(,1)()4(nnnx为常数）00(0,sin)()5(nnnnx10),()cos()()6(0rnunArnxn 1 ,cos21)cos(cos cos21si
4、nsincos21cos1cos)()()sin(sin)()cos(cos )(sin)sin(cos)(cos()()cos()(20101201012010100000zzzzzzzzzzzYnunnunnunnnunny设。：的收敛域为则而的收敛域为则|)(cos21)cos(cos)()()()(1 )(220101rzzXzrrzrzArzYAzXnyArnxzzYn 2.假如)(nx的 z 变换代数表示式是下式，问)(zX可能有多少 不同的收敛域。)83451)(411(411)(2122zzzzzX 分析：）要单独讨论，（环状、圆外、圆内：有三种收敛域：双边序列的收敛域为：特殊
5、情况有：左边序列的收敛域为：因果序列的收敛域为：右边序列的收敛域为：特殊情况有：有限长序列的收敛域为 0 0 ,0 0 ,0 ,0 0 ,0 ,0 22112121zRzRnnRznnRznnzRnnzRnznznnnzxxxxxx 解:对 X(Z)的分子和分母进行因式分解得)431)(211)(411()211)(211()(11211ZZZZZZX )431)(211)(211(2111111ZjZjZZ X(Z)的零点为:1/2，极点为:j/2,-j/2,-3/4 X(Z)的收敛域为:(1)1/2|Z|3/4,为双边序列，请看 (2)|Z|1/2 ,为左边序列，请看 (3)|Z|3/4，
6、为右边序列，请看 aazazzXzzzXzzzXzzX1z ,1)()3(41z ,41121)()2(21z ,411211)()1()(,.31121反变换的部分分式法求以下留数定理用长除法 分析：长除法：对右边序列（包括因果序列）H（z）的分子、分母都要按 z的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H（z）的分子、分 母都要按z的升幂排列。部分分式法：若X（z）用z的正幂表示，则按X(z)/z 写成部分分 式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得 x（n）。留数定理法：。号（负号）”数时要取“用围线外极点留，号（负号）”必取“用围线内极点留数时不）（。现的错误这是常出，
7、相抵消）（来和不能用，消的形式才能相抵的表达式中也要化成因而注意留数表示是）（2 )1/(1 )/(1 )()()()(Re 11111kkknknkknzzzzzzzzXzzzzXzzzzzzXs（1）（i）长除法：1212111411211)(zzzzX ,2/1|,2/1zz而收敛域为：极点为 按降幂排列分母要为因果序列，所以分子因而知)(nx 2141211zz 112111211zz 211412121zzz 241z 02121 41211)(nnnzzzzX 所以：)(21)(nunxn（1）(ii)留数定理法：cndzzzjnx11211121)(,设 c 为 21z内的逆时针
8、方向闭合曲线：当0n时，nnzzzz211112111在 c 内有 21z一个单极点 则0 ,2121Re)(21nzzsnxnnz ，是因果序列由于 )(nx 0)(0 nxn时，故 )(21)(nunxn所以（1）(iii)部分分式法：212111411211)(121zzzzzzX 因为 21z 所以 )(21)(nunxn（2）(i).长除法：41,41zz而收敛域为由于极点为 ,因而)(nx是左边序列,所以要按z的 升幂排列：2112288zz zzz82241 22877zzz 3221122828zzz 112478 478 112288)(nnnnnnzzzzzX 所以 )1(
9、417)(8)(nunnxn （2）(ii)留数定理法:41 )(21)(1，为设zcdzzzXjnxcn 内的逆时针方向闭合曲线 时：当 0 n 1)(nzzX 在 c 外有一个单极点41z )0(,)41(7 )(Re)(411nzzXsnxnzn 时：当 0 n 1)(nzzX在 c 内有一个单极点0z 0,8)(Re)(01nzzXsnxzn，内无极点在时：当 )(0 1czzXnn 0,0)(nnx则：综上所述，有：)1()41(7)(8)(nunnxn(2)(iii).部分分式法：4178)41(2)(zzzzzzzX 则 1411784178)(zzzzX 因为 41z 则)(n
10、x是左边序列 所以 )1()41(7)(8)(nunnxn (3)(i).长除法：因为极点为az1，由az1可知,)(nx为 因果序列,因而要按 z 的降幂排列:221)1(1)1(11zaaazaaaa azazaz11 1)1(1)1()1(zaaaaaaa 2211)1(1)1(1)1(1zaaazaaazaaa 则11)1(1)(nnnzaaaazX 所以)1(1)1()(1)(nuaaananxn(3)(ii).留数定理法:azdzzzXjnxcn1 c )(21)(1为，设 内的逆时针方向闭合曲线。)1(1)1()(1)(0)()(01 1 )(Re)(Re)0(1,0 c )(0
11、 )0(,1)1(11 )(Re)(1 )(0 0111111111nuaaananxnxnxnaaaazzXszzXsxazzzzXnnaaazazazazzXsnxazczzXnnnnnnnnnzazazaz所以。此时是因果序列，时：由于当两个单极点内有在时：当一个单极点内有在时：当(3)(iii).部分分式法：azazaazzazzzX11)1()(2 则1111)1()(zaaaazX 所以)(1)1()()()(nuaaananxn )1(1)1()(1nuaaanan 4.有一右边序列)(nx，其 z 变换为)1)(211(1)(11zzzX(a)将上式作部分分式展开(用 1z表示
12、)，由展开式求)(nx。(b)将上式表示成 z 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开 式求)(nx,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。注意：不管哪种表示法最后求出x（n）应该是相同的。解：(a)因为11122111)(zzzX 且 x(n)是右边序列 所以 )()212()(nunxn(b)1221211 )1)(21(21231 )1)(21()(2zzzzzzzzzX )()212()1(2)1(21)()(nunununnxnn则 5对因果序列,初值定理是)(lim)0(zXxz,如果序列为 0n时 0)(nx,问相应的定理是什么?)(nx讨论一个序列,其 z 变换为：值。试求
13、其的收敛域包括单位圆，)0()(xzX 分析：这道题讨论如何由双边序列Z变换)(zX来求序列 初值)0(x，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，它们各自由)(zX求)0(x表达式是不同的，将它们 各自的)0(x相加即得所求。)0()(lim)2()1()0()()(:,0)(,0020 xzXzxzxxznxzXnxnznn所以此时有：有时当序列满足解：若序列)(nx的 Z 变换为：21,2 )()()(21 32 4 )21)(2(24191272512419127)(21212211zzzXzXzXzzzzzzzzzzzzX的极点为）（）（由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆 2112
14、512419127)(zzzzX则其收敛域应该为：221z 31)0()0()0(31213lim)(lim)0(024lim)(lim)0()(0 )(2122010121xxxzzzXxzzzXxnxnnxzzzz）（）（为因果序列：时为有值左边序列，为则 6.有一信号)(ny,它与另两个信号)(1nx和)(2nx的 关系是:)1()3()(21nxnxny 其中 )(21)(1nunxn ，)(31)(2nunxn 已知 111)(aznuaZn，az 。变换的变换性质求利用)()(zYznyz 分析：。则）（：注意移位定理 )()()()(*)()(2)()()()()()()()1(
15、212111zXzXzYnxnxnyzXzm)nx(zXzmnxzXnxzXnx-mm 解：根据题目所给条件可得：112111)(znx 123111)(znxZ 131211)3(zznxZ 21z zzXnxZ3111)()(122 311z zznxZ311)1(12 3z 而 )1()3()(21nxnxny 所以 )1()3()(21nxZnxZzY zzzz311211113)21)(3(33zzz 7.求以下序列)(nx的频谱)(jeX。(1)(0nn (2)(nuean (3)()(0nuenj (4)cos()(0nnuean 分析：可以先求序列的Z变换)(zX再求频率 jj
16、jezzXeXeX)()()(即)(jeX为单位圆上的Z变换，或者直接求序列的 傅里叶变换nnjjenxeX)()(解：对题中所给的)(nx先进行 z 变换 再求频谱得：0 )()()()1(0nznnZnxZzX 0|)()(jnezjezXeXj 111 )()()2(zenueZzXaan jaezjeezXeXj11|)()(1)()(0011 )()()3(zenueZzXjnj )(011|)()(jezjeezXeXj )cos()()()4(0nnueZzXan aaaezezez220101cos21cos1 jezjzXeX|)()(ajajajeeeeee2200cos21cos1 8.若)(),(21nxnx是因果稳定序列，求证：)(21)(21)()(212121deXdeXdeXeXjjjj 分析：利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解 deeXeXnxnxnjjj)()(21)(*)(2121，而)()(21 )0()0(0)(*)(212121deXeXxxnnxnxjj 再利用)()(21nxnx、的傅里叶反变换，代入n=0 即可得所需结果。证明:dee
