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1、 滨城高中联盟滨城高中联盟 20232023-20242024高三数学卷 第1页 共 5 页学年度上学期高三期中考试学年度上学期高三期中考试数学试卷数学试卷 命题人：大连市第一中学 林卓命题人：大连市第一中学 林卓 第第卷卷（共共 60分分）一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项分在每小题给出的四个选项校对人：大连市第一学 贾天雷校对人：大连市第一学 贾天雷中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的 1.已知 R 是实数集，M=|216221当为偶数时，=121312+3，由+2 0
2、，可知是递增数列，2=221 221 12 分20解：（1）取 AC 中点 O，连接 DO、OB，在正ACD 和正ABC 中，2AC，则,3DOAC BOAC DOBO，而平面ACD 平面ABC，平面ACD平面ABCAC，DO 平面ACD，BO平面ABC，于是DO 平面 ABC，BO平面 ACD，又BE 平面 ABC，即有/DOEB，而3DOEB因此四边形 DOBE 是平行四边形，则/DEOB，从而DE平面 ADC，AM 平面 ADC，所以DEAM.6 分（2）由（1）知，DE平面 ADC，EMD为 EM 与平面 ADC 所成的角，即3EMD，7 分在RtEDM中，313tan3DEDM，即
3、M 为 DC中点，8 分由（1）知，,OB OC OD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，#QQABRQAEgggoABIAABgCQQ0YCkAQkBGCCIoGBFAEsAAAwAFABAA=#数学试卷答案 第 3页 共 5 页则13(0,1,0),(3,0,0),(0,0,3),(0,1,0),(0,)22ABDCM，33(3,1,0),(0,)22ABAM ，显然平面 DAC 的一个法向量为1(1,0,0)n，设平面 MAB 的一个法向量为2(,)nx y z，则223033022nABxynAMyz ，令1x，得2(1,3,3)n ，121222212|113|cos,|
4、13|11(3)3n nn nnn ，所以平面 AMB 与平面 ACD 所成锐二面角的余弦值为1313 12 分21 解：（1）设,P x y，依题意，2211xyx，两边平方并整理，得222yxx，所以曲线 C 的方程为222yxx（写成分段函数也可以）4 分（2）设11,A x y，22,B xy，33,M x y，44,N xy，依题意，设直线 l 的方程为1yk x，由221431xyyk x消去 y 并整理，得22223484120kxk xk，因为点F为椭圆 E的右焦点，0 恒成立因此2122834kxxk，212241234kxxk，5 分，则222222121222224121
5、2()811(4143)()34434kAkkkxxx xkkBkk，7 分#QQABRQAEgggoABIAABgCQQ0YCkAQkBGCCIoGBFAEsAAAwAFABAA=#数学试卷答案 第 4页 共 5 页由（1）知，24,0220,0 x xyxxx，若直线 l 交曲线 C 于 M、N 两点，且0k，则直线 l 与240yx x相交，由241yxyk x消去 y 并整理，得2222240k xkxk，而点F为抛物线24yx的焦点，0 恒成立则234224kxxk，于是2342412kMNxxk，从而2222224343313121121121kkkABMNkkk，要使1ABMN为
6、定值，则433，即3，所以实数的值为 3 12 分22.解：（1）由题知 1cos1fxaxx，令1()cos1h xaxx，所以21()sin(1)h xaxx，又因为1,0 x 时，sinx 0，a 为正实数，故()0h x在区间1,0恒成立，所以函数 fx在区间1,0上单调递增，且 01fa当01a时，00fxf在区间1,0上恒成立，函数 f x在1,0上单调递减，此时 00f xf，符合题意#QQABRQAEgggoABIAABgCQQ0YCkAQkBGCCIoGBFAEsAAAwAFABAA=#数学试卷答案 第 5页 共 5 页当1a 时，010fa，111cos10faaaaaa，
7、由零点存在定理，011,0 xa时，有00fx，即函数 f x在区间01,x上单调递减，在区间0,0 x上单调递增，所以当0,0 xx时，有 00f xf，此时不符合，综上所述，正实数 a 的最大值为 1 6 分（2）由（1）知，当1a，1,0 x 时，sinln 1xx，7 分令21(1,)xkkk N时，有2222111sinln 1lnkkkk，即2221sinlnln111kk kkkkk，所以212 2sinln21 3，213 3sinln32 4，21sinln11n nnnn，累加得2221112 23 3sinsinsinlnlnln231 32 411n nknn，10 分即22122332sinlnlnln2lnln2ln1=ln213241111nknnnnknnnn ，所以221sinln2nkk12 分#QQABRQAEgggoABIAABgCQQ0YCkAQkBGCCIoGBFAEsAAAwAFABAA=#
