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1、第 1/共 4学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司江师附中三年级数学期中试卷、选择题：本题共 8 题，每题 5 分，共 40 分在每个题给出的四个选项中，只有项是符合题要求的1.已知复数（其中 为虚数单位），则的共轭复数虚部为（）A.B.C.D.2.已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同直线上”是“这四个点在同平内”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在等数列中，则的值为（）A.B.C.D.4.在中，三形三条边上之为，则为（）A.钝三形B.直三形C.锐三形D.等腰三形5.我国历史化悠久，“爰”铜彝是商代后期件物，其盖似四阿式屋顶，盖为，器为，
2、器成形，平沿，器身部向下略内收，平底、形、器内底中部及盖内均铸“爰”字.通 24cm，13.5cm，宽 12cm，底 12.5cm，底宽 10.5cm.现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，约 8cm，下部分看作台体，则该物的体积约为（）（参考数据：，）AB.C.D.6.卦是中国化的基本哲学概少，图 1 是卦模型图，其平图形为图 2 所示的正边形 ABCDEFGH，其中给出下列结论（）第 2/共 4学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司与的夹为；在上的投影向量（其中为与同向的单位向量）其中正确结论为（）A.B.C.D.7.设等差数列的前项和为，已知，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.8.
3、已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（）A.B.C.D.、选择题：本题共 4 题，每题 5 分，共 20 分在每题给出的选项中，有多项符合题要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.已知在正四体中，、分别是棱，的中点，则（）A.平B.C.平D.、四点共10.在中，的边分别为，知，则下列判断中正确的是（）A.若，则B.若，该三形只有解C.周的最值为 12D.积的最值第 3/共 4学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司11.若数列满（为正整数），为数列的前项和，则（）A.B.C.D.12.已知函数是奇函数，且，是的导函数，则（）A.B.的个周期是C.是偶函
4、数D.三、填空题：本题共 4 题，每题 5 分，共 20 分13.已知在等差数列中，则_14.圆的直径，弦，点在弦上，则的最值是_15.已知三棱锥的四个顶点都在球的球上，且，则球的表积是_16.如图所示，作边为的正三形的内切圆，在这个圆内作内接正三形，然后再作新三形的内切圆如此下去，设第个内切圆积为，则_四、解答题：本题共 6 题，共 70 分解答应写出字说明，证明过程或演算步骤17.已知等数列满，且是，的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）若，求使成的的最值第 4/共 4学 科 （北 京）股 份 有 限 公 司18.记的内、的对边分别为、.已知.（1）证明：；（2）若，求的积.19.如图，
5、直三形中，已知直边，沿斜边上的折起，使点 B 到达点 P 的位置，连接，得到四体，且为（1）证明：；（2）求正切值20.已知函数（1）设是函数的极值点，求 m 的值，并求的单调区间；（2）若对任意的恒成，求 m 的取值范围21.为了拓展学的知识，提学对航空航天科技的兴趣，培养学良好的科学素养，某校组织学参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学答题若次，答题赋分法如下：第 1 次答题，答对得 20 分，答错得 10 分：从第 2 次答题开始，答对则获得上次答题得分的两倍，答错得 10 分.学甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.（1）求甲前 3 次答题得分之和为 40 分的概率
6、；（2）记甲第 i 次答题所得分数的数学期望为.写出与满的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：若，求 i 的最值.22.在平直坐标系中，已知两定点，点满且在焦点在轴正半轴的抛物线上.过作斜率存在的直线交于两点，连接交抛物线于点.（1）求抛物线的标准程;（2）判断直线否恒过定点，若是请求出该定点坐标，若不是请说明理由.第 1/共 22学科（北京）股份有限公司江师附中三年级数学期中试卷、选择题：本题共 8 题，每题 5 分，共 40 分在每个题给出的四个选项中，只有项是符合题要求的1.已知复数（其中 为虚数单位），则的共轭复数虚部为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利复数的除法化简复
7、数，再由定义求的共轭复数，得其虚部.【详解】复数，则的共轭复数，其虚部为.故选：D.2.已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同直线上”是“这四个点在同平内”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】条直线和直线外点确定个平，由此可验证充分性成；“这四个点在同平内”时，可能有“两点分别在两条相交或平直线上”，从必要性不成【详解】“这四个点中有三点在同直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上，因为条直线和直线外点确定个平，定能推出“这四点在同个平内”，从充分性成；“这四个点在同平内”时，可能有“两点分别在两条相交或平直线上”，不定有
8、三点在同直线上，从必要性不成，所以“这四个点中有三点在同直线上”是“这四个点在同平内”的充分不必要条件.故选：A.3.在等数列中，则值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第 2/共 22学科（北京）股份有限公司【分析】根据等中项性质进计算即可.【详解】，得，因为、都为奇数项，在等数列中应该为同号，所以，故.故选：A.4.在中，三形三条边上的之为，则为（）A.钝三形B.直三形C.锐三形D.等腰三形【答案】A【解析】【分析】由题可得三形三条边之为，然后利余弦定理，求出最边所对的余弦值，即可判断出结果.【详解】因为三形三条边上的之为，所以三形三条边之为，即，不妨设，则最的余弦值为，因此为钝，三形
9、为钝三形.故选：A.5.我国历史化悠久，“爰”铜彝是商代后期的件物，其盖似四阿式屋顶，盖为，器为，器成形，平沿，器身部向下略内收，平底、形、器内底中部及盖内均铸“爰”字.通 24cm，1 3.5cm，宽1 2cm，底1 2.5cm，底宽1 0.5cm.现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，约8cm，下部分看作台体，则该物的体积约为（）（参考数据：，）第 3/共 22学科（北京）股份有限公司A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据棱台与棱锥的体积公式计算可得.【详解】因为，所以.故选：A6.卦是中国化的基本哲学概少，图 1 是卦模型图，其平图形为图 2 所示的正边形ABCDEFGH，其中给出
10、下列结论（）与夹为；在上的投影向量（其中为与同向的单位向量）其中正确结论为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利正边形的性质，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐分析运算即可.【详解】对：为正边形，则与的夹为，错误；对：，平分，则，错误；对：，则，正确；第 4/共 22学科（北京）股份有限公司对：，即与的夹为，向量在向量上的投影向量为，错误.故选：C.7.设等差数列的前项和为，已知，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先证明是上的奇函数和增函数，然后由题意可得，结合等差数列求和公式即可得解.【详解】设，其定义域为关于原点对称，且，所以函数是奇函数，所以函
11、数是增函数，由题意，从，即，所以，整理得，所以由等差数列的性质可知，由等差数列前项和公式可知.故选：B.8.已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值第 5/共 22学科（北京）股份有限公司范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的零点和单调性求出，从可得根据函数在上单调，即可求的取值范围.【详解】，因为在上存在零点，所以，解得在上单调，所以，即，解得，则，则则解得故选：C.、选择题：本题共 4 题，每题 5 分，共 20 分在每题给出的选项中，有多项符合题要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.已知在正四体中，、分别是棱，的中点，则（）A.平
12、B.C.平D.、四点共【答案】ABD【解析】【分析】把正四体放到正体，对于 A 项根据线平的判定定理证明对于 B项，从正体的度上看易得对于 D 项，证明四边形是平四边形可验证对于 C 项，反证法证明，盾点是与的夹.第 6/共 22学科（北京）股份有限公司【详解】把正四体放到正体，画图为：对于 A 项，、分别为，的中点，平且平平，故 A 正确对于 B项，从正体度上看易得，故 B正确.对于 D 项，、分别是棱，的中点且且所以所以四边形是平四边形，故、四点共，所以 D 正确.对于 C 项，若平成，即平因为平所以因为、分别为，的中点，所以所以为等边三形，与盾，所以 C 不正确.故选：ABD1 0.在中
13、，的边分别为，知，则下列判断中正确的是（）A.若，则B.若，该三形只有解第 7/共 22学科（北京）股份有限公司C.周的最值为 1 2D.积的最值【答案】AD【解析】【分析】应正弦定理求出判断 A；根据正弦定理求出，结合边对，确定三形解的个数判断 B；借助于余弦定理和基本不等式求出的取值范围，从确定出周判断 C；借助于余弦定理和基本不等式表示出积，从判断 D.【详解】对于 A，在中，正弦定理得，则，故 A 正确；对于 B，由正弦定理得，所以，因为，所以，故有两个解，故 B错误；对于 C，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时等号成，此时三形为等边三形，周取得最值，为 1 2，故 C错误；对于 D，
14、由选项 C 得，即，当且仅当时等号成，所以，所以积的最值，故 D 正确，故选：AD.1 1.若数列满（为正整数），为数列的前项和，则（）A.B.C.D.第 8/共 22学科（北京）股份有限公司【答案】BCD【解析】【分析】对于 A，根据递推式求，构造数列为常数列，求得数列的通项；对于 B，代等差数列求和公式可得；对于 C，D，先放缩，再利裂项相消法求和可证明.【详解】对于 A，由知，两式相减得，故，故当时，为常数列；当时，；故，所以，故 A 错误；对于 B，当时，；当时，所以，故 B正确；对于 C，当时，则；当时，；综上所述：，故 C 正确；第 9/共 22学科（北京）股份有限公司对于 D，当
15、时，；当时，；当，；综上所述：，故 D 正确.故选：BCD.【点睛】法点睛：数列相关不等式的证明，往往难度较，要对不等式进变形，或者借助于基本不等式，数列的函数性质，或者利导函数进证明，本题利不等式进变形，对通项进裂项放缩法得出结果.1 2.已知函数是奇函数，且，是的导函数，则（）A.B.的个周期是C.是偶函数D.【答案】BC【解析】【分析】由奇偶性定义可推导得到周期为，结合可得 A 错误；由导数运算可推导得到，知 B正确；根据，求导后可得，知 C 正确；对已知等式求导后可得，代可推导得到 D 错误.【详解】对于 A，为定义在上的奇函数，第 1 0/共 22学科（北京）股份有限公司是周期为的周
16、期函数，A 错误；对于 B，的个周期为，B正确；对于 C，由得：，是偶函数，C 正确；对于 D，由得：，令，则，由 C 知：，D 错误.故选：BC.三、填空题：本题共 4 题，每题 5 分，共 20 分1 3.已知在等差数列中，则_【答案】20【解析】【分析】设等差数列的公差为，进列出程求得，进求解即可.【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，则.故答案为：20.1 4.圆的直径，弦，点在弦上，则的最值是_【答案】#【解析】【分析】根据平向量的线性运算法则，得到，再由圆的性质，得到的最值，进求解即可.【详解】由题意可得，第 1 1/共 22学科（北京）股份有限公司要使取得最值，则要最，根据圆的性质，只需，此时为中点，则，所以，则的最值为.故答案为：.1 5.已知三棱锥的四个顶点都在球的球上，且，则球的表积是_【答案】【解析】【分析】将三棱锥放体中，设体的宽分别为，确定，进得到球的半径，进根据球体的表积公式计算即可.【详解】将三棱锥放体中，设体的宽分别为，如图所示：第 1 2/共 22学科（北京）股份有限公司则，则，因为球的直径即为体的体对线，则球的半径为，所以球的表积是.故答案为：
