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1、数学试题第 1 页(共 4 页)2024 年高三年级试题 数 学 注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。2 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1若复数 z 满足 iz13i,则|z|A 5 B 10 C5 D10 2已知集合 A x|x23x40,B x|x23x0,xZ,则 A
2、B A(3,1)B(3,0)C1,2 D0,1,2 3(x 2 x)6展开式中的常数项为 A160 B60 C40 D15 4若等差数列an满足 anan14n1,则 a1 A3 B 3 2 C1 D 1 2 5已知 sin2 2 3,(0,4),则 sin(4)A66 B 5 6 C306 D153 6若正六边形 P1P2P3P4P5P6的边长为 1,则P1Pi P2P332(i2,3,4,5,6)的概率为 A 1 5 B 1 4 C 1 3 D 2 5 7已知抛物线 C:y24x,过点 E(2,0)的直线与直线 yx4 交于点P,与 C 交于 A,B两点(点 A 在第一象限)若线段 PB
3、恰被点 E 平分,则|PB|A2 5 B4 5 C2 5或 4 65 D4 5或 4 65 数学试题第 2 页(共 4 页)8对球面上的三个点,每两个点之间用大圆劣弧相连接,所得三弧围成的球面部分称为“球面三角形”,这三个弧叫做球面三角形的边若半径为 2 的球的球面上有一个各边长均为 的球面三角形,则该球面三角形的面积为 A2 B4 C32 4 D32 2 二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。9已知函数 f(x)tan(x 4),则 Af(x)的最小正周期为 Bf(7
4、 12)3 3 Cf(x)的图象关于点(4,0)对称 D直线 yx 4是曲线 yf(x)的一条切线 10已知随机事件 A,B,C 两两独立,且 P(A)1 2,P(B)1 3,P(C)1 4,则下列说法正确的是 AP(AB)1 6 BP(BC)1 2 C若 P(C|AB)1 2,则 P(ABC)124 D若 P(AB|C)1 6,则 A 与 BC 相互独立 11已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,点 P 在线段 BD1上,过 P 作垂直于 BD1的平面,记平面 与正方体 ABCDA1B1C1D1的截面多边形的周长为 L,面积为 S,设BPx,x(0,3),则 A截面可能为四边形
5、BL(x)和 S(x)的图象有相同的对称轴 CL(x)在(0,32)上单调递增,在(32,3)上单调递减 DS(x)在(0,32)上单调递增,在(32,3)上单调递减 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。12某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据:x/106元 2 4 5 6 8 y/106元 30 40 60 50 70 根据表中数据可得经验回归方程为y 6.5xa,则实数 a 的值为_ 数学试题第 3 页(共 4 页)13若函数 f(x)xax1,x0,exa,x0有两个零点,则实数 a 的取值范围为_ 14设 F(x,y)Ax2By2CxyDx
6、EyF若曲线 F(x,y)0 上一点(x0,y0)不满足 Ax0 C 2y0 D 2 C 2x0By0 E 20,则曲线 F(x,y)0 在点(x0,y0)处的切线方程为(xx0)(Ax0 C 2y0 D 2)(yy0)(C 2x0By0 E 2)0则曲线 x2y2xy10 过点(0,2)的切线方程为_ 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15(13 分)已知函数 f(x)2x2xln(xm),mR(1)当 m0 时,求曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)当 m1 时,证明:f(x)0 16(15 分)甲、乙两人进行某项比赛,采
7、取 5 局 3 胜制,积分规则如下:比分为 30 或 31 时,胜者积 3 分,败者积 0 分;比分为 32 时,胜者积 2 分,败者积 1 分设每局比赛甲取胜的概率均为 p(0p1)(1)若甲以 31 取胜的概率大于以 30 取胜的概率,求 p 的范围;(2)若 p 2 3,求甲所得积分 X 的分布列及数学期望 17(15 分)如图,在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a3,(ab)(sinAsinB)(cb)sinC 连接ABC 的各边中点得A1B1C1,再连接A1B1C1的各边中点得 A2B2C2如此继续下去,记ABC,A1B1C1,A2B2C2的面积分别为 S0
8、,S1,S2(1)求 S0的最大值;(2)若 S0S1S2Sn6069 32024,求整数 n 的最小值 A B C A1 B1 C1 A2 B2 C2 数学试题第 4 页(共 4 页)18(17 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,BADPAD60,PA2,O,E 分别为 AD,PC 的中点(1)证明:DE平面 POB;(2)证明:平面 ADE平面 PBC;(3)若直线 OE 与平面 POB 所成角的正切值为2 33,求二面角 EBDC 的余弦值 19(17 分)已知椭圆 E:x2 8 y2 b21(0b2 2)的左、右焦点分别为 F1,F2等轴双曲线
9、W 的顶点是 E 的焦点,焦点是 E 的顶点点 P 在 W 上,且位于第一象限,直线 PF1,PF2与 E 的交点分别为 A,B 和 C,D,其中 A,C 在 x 轴上方(1)求 E 和 W 的方程;(2)求证:1|AB|1|CD|为定值;(3)设点 Q(s,t)满足直线 PQ 的斜率为 1,记QAB,QCD 的面积分别为 S1,S2 从下面两个条件中选一个,求 S1 S2的取值范围 s2t;s2t O E D C B A P 数学试题答案 第 1 页(共 4 页)2024 年高三年级数学参考答案与评分标准 一、选择题:1B 2C 3B 4B 5C 6D 7B 8A 二、选择题:9ABC 10
10、ABD 11BD 三、填空题:1217.5 13(1 4,0)(0,1 142xy20 和 xy20 四、解答题:15(1)当 m0 时,f(x)2x2xlnx,f(x)4x1 1 x,1 分 则 f(1)4,f(1)3,3 分 所以曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 4xy105 分(2)当 m1 时,ln(xm)ln(x1),所以 f(x)2x2xln(x1)8 分 令 g(x)2x2xln(x1),x1,则 g(x)4x1 1 x14x25xx1,9 分 当1x0 时,g(x)0,g(x)在(1,0)上单调递减;当 x0 时,g(x)0,g(x)在(0,)上单调递增11 分
11、 所以 g(x)g(0)0 故 f(x)g(x)0 13 分 16(1)甲以 31 取胜的概率为 C23p2(1p)p3p33p4,2 分 甲以 30 取胜的概率为 p3,3 分 则 3p33p4p3,解得 0p 2 3 5 分(2)X 的所有可能取值为 0,1,2,3 6 分 P(X0)(1 2 3)3C13 2 3(1 2 3)3 1 9,P(X1)C24(2 3)2(1 2 3)3 8 81,P(X2)C24(2 3)2(1 2 3)2 2 31681,P(X3)(2 3)3C23(2 3)2(1 2 3)2 316 27 所以 X 的分布列为 数学试题答案 第 2 页(共 4 页)X
12、0 1 2 3 P 1 9 8 81 1681 16 27 13 分 数学期望 E(X)0 1 91 8 8121681316 271848115 分 17(1)由(ab)(sinAsinB)(cb)sinC 及正弦定理可得,(ab)(ab)(cb)c,即 a2b2c2bc,所以 cosAb2c2a22bc 1 2,又 A(0,),所以 A 33 分 由 a2b2c2bc 可知,a2b2c2bc2bcbcbc,当且仅当 bc 时,取等号 5 分 所以 S0 1 2bcsinA34a29 34 故 S0的最大值为9 347 分(2)由条件可知,S0,S1,S2是以 S0为首项,1 4为公比的等比
13、数列 8 分 所以 S0S1S2SnS0(1 1 4 1 42 1 4n)1 1 4n11 1 4S0 4 3(1 1 4n1)S0 10 分 要使 n 有最小值,4 3(1 1 4n1)9 346069 3202412 分 即 1 1 4n120232024,所以 1 4n112024,即 4n506 又 44256506,451024506,故整数 n 的最小值为 5 15 分 18(1)取 PB 中点 F,连接 EF,OF 又因为 E 为 PC 的中点,所以 EFBC,且 EF 1 2BC 在菱形 ABCD 中,ODBC,且 OD 1 2BC,所以 EFOD,且 EFOD,所以四边形 E
14、FOD 是平行四边形2 分 所以 OFDE,又 OF平面 POB,DE平面 POB,所以 DE平面 POB 4 分(2)连接 AF,由(1)知,A,D,E,F 四点共面 在PAB 中,PAAB,F 为 PB 的中点,所以 AFPB,数学试题答案 第 3 页(共 4 页)因为BADPAD60,PAABAD,所以PAD,ABD 都是正三角形,在POB 中,POOB,所以 OFPB,又因为 AFOFF,AF,OF平面 ADE,所以 PB平面 ADE7 分 又因为 PB平面 PBC,所以平面 ADE平面 PBC8 分(3)由(2)知,PAD,ABD 都是正三角形,且 O 为 AD 的中点,所以 ADO
15、B,ADOP 由(1)知,EFAD,所以 EFOB,EFOP,又 OBOPO,OB,OP平面 POB,所以 EF平面 POB 所以EOF 即为直线 OE 与平面 POB 所成的角10 分 因此EFOF2 33,得 OF32 在POB 中,POOB 3,可得POB120 11 分 以 O 为原点,OA,OB 所在直线分别为 x 轴,y 轴建立空间直角坐标系 Oxyz,则 B(0,3,0),D(1,0,0),P(0,32,32),C(2,3,0)所以 E(1,34,34),DE(0,34,34),DB(1,3,0)12 分 设平面 BDE 的一个法向量为 m(x,y,z),则 DE m34y34z
16、0,DB mx 3y0,取 x 3,则 m(3,1,33)是平面 BDE 的一个法向量14 分 又 n(0,0,1)是平面 BDC 的一个法向量 15 分 所以 cosm n|m|n|3331131313 由图形可知,二面角 EBDC 的余弦值为131317 分 19(1)设 W 的方程为 x2y22,则 228,所以 24所以 W 的方程为 x2y242 分 所以 W 的顶点为 F1(2,0),F2(2,0),则 8b24,所以 b24 所以 E 的方程为x28y2414 分 O E D C B A P F x y z 数学试题答案 第 4 页(共 4 页)(2)设 P(x0,y0),则 x20y204,直线 PF1的斜率为y0 x02,直线 PF2的斜率为y0 x02,所以y0 x02y0 x02y20 x20416 分 设直线 PF1的方程为 yk(x2),则直线 PF2的方程为 y 1 k(x2),联立 x28y241,yk(x2),消去 y 并整理得,(2k21)x28k2x8k280,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x28k22k21,x1x28k282k2