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1、数学试题第 1 页（共 4 页）2024 年高三年级试题 数 学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数 z 满足 iz13i，则|z|A 5 B 10 C5 D10 2已知集合 A x|x23x40，B x|x23x0，xZ，则 A
2、B A(3，1)B(3，0)C1，2 D0，1，2 3(x 2 x)6展开式中的常数项为 A160 B60 C40 D15 4若等差数列an满足 anan14n1，则 a1 A3 B 3 2 C1 D 1 2 5已知 sin2 2 3，(0，4)，则 sin(4)A66 B 5 6 C306 D153 6若正六边形 P1P2P3P4P5P6的边长为 1，则P1Pi P2P332(i2，3，4，5，6)的概率为 A 1 5 B 1 4 C 1 3 D 2 5 7已知抛物线 C：y24x，过点 E(2，0)的直线与直线 yx4 交于点P，与 C 交于 A，B两点（点 A 在第一象限）若线段 PB
3、恰被点 E 平分，则|PB|A2 5 B4 5 C2 5或 4 65 D4 5或 4 65 数学试题第 2 页（共 4 页）8对球面上的三个点，每两个点之间用大圆劣弧相连接，所得三弧围成的球面部分称为“球面三角形”，这三个弧叫做球面三角形的边若半径为 2 的球的球面上有一个各边长均为 的球面三角形，则该球面三角形的面积为 A2 B4 C32 4 D32 2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9已知函数 f(x)tan(x 4)，则 Af(x)的最小正周期为 Bf(7
4、 12)3 3 Cf(x)的图象关于点(4，0)对称 D直线 yx 4是曲线 yf(x)的一条切线 10已知随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)1 2，P(B)1 3，P(C)1 4，则下列说法正确的是 AP(AB)1 6 BP(BC)1 2 C若 P(C|AB)1 2，则 P(ABC)124 D若 P(AB|C)1 6，则 A 与 BC 相互独立 11已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 P 在线段 BD1上，过 P 作垂直于 BD1的平面，记平面 与正方体 ABCDA1B1C1D1的截面多边形的周长为 L，面积为 S，设BPx，x(0，3)，则 A截面可能为四边形
5、BL(x)和 S(x)的图象有相同的对称轴 CL(x)在(0，32)上单调递增，在(32，3)上单调递减 DS(x)在(0，32)上单调递增，在(32，3)上单调递减 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据：x/106元 2 4 5 6 8 y/106元 30 40 60 50 70 根据表中数据可得经验回归方程为y 6.5xa，则实数 a 的值为_ 数学试题第 3 页（共 4 页）13若函数 f(x)xax1，x0，exa，x0有两个零点，则实数 a 的取值范围为_ 14设 F(x，y)Ax2By2CxyDx
6、EyF若曲线 F(x，y)0 上一点(x0，y0)不满足 Ax0 C 2y0 D 2 C 2x0By0 E 20，则曲线 F(x，y)0 在点(x0，y0)处的切线方程为(xx0)(Ax0 C 2y0 D 2)(yy0)(C 2x0By0 E 2)0则曲线 x2y2xy10 过点(0，2)的切线方程为_ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15(13 分)已知函数 f(x)2x2xln(xm)，mR（1）当 m0 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；（2）当 m1 时，证明：f(x)0 16(15 分)甲、乙两人进行某项比赛，采
7、取 5 局 3 胜制，积分规则如下：比分为 30 或 31 时，胜者积 3 分，败者积 0 分；比分为 32 时，胜者积 2 分，败者积 1 分设每局比赛甲取胜的概率均为 p(0p1)（1）若甲以 31 取胜的概率大于以 30 取胜的概率，求 p 的范围；（2）若 p 2 3，求甲所得积分 X 的分布列及数学期望 17(15 分)如图，在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a3，(ab)(sinAsinB)(cb)sinC 连接ABC 的各边中点得A1B1C1，再连接A1B1C1的各边中点得 A2B2C2如此继续下去，记ABC，A1B1C1，A2B2C2的面积分别为 S0
8、，S1，S2（1）求 S0的最大值；（2）若 S0S1S2Sn6069 32024，求整数 n 的最小值 A B C A1 B1 C1 A2 B2 C2 数学试题第 4 页（共 4 页）18(17 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BADPAD60，PA2，O，E 分别为 AD，PC 的中点（1）证明：DE平面 POB；（2）证明：平面 ADE平面 PBC；（3）若直线 OE 与平面 POB 所成角的正切值为2 33，求二面角 EBDC 的余弦值 19(17 分)已知椭圆 E：x2 8 y2 b21(0b2 2)的左、右焦点分别为 F1，F2等轴双曲线
9、W 的顶点是 E 的焦点，焦点是 E 的顶点点 P 在 W 上，且位于第一象限，直线 PF1，PF2与 E 的交点分别为 A，B 和 C，D，其中 A，C 在 x 轴上方（1）求 E 和 W 的方程；（2）求证：1|AB|1|CD|为定值；（3）设点 Q(s，t)满足直线 PQ 的斜率为 1，记QAB，QCD 的面积分别为 S1，S2 从下面两个条件中选一个，求 S1 S2的取值范围 s2t；s2t O E D C B A P 数学试题答案 第 1 页（共 4 页）2024 年高三年级数学参考答案与评分标准 一、选择题：1B 2C 3B 4B 5C 6D 7B 8A 二、选择题：9ABC 10
10、ABD 11BD 三、填空题：1217.5 13(1 4，0)(0，1 142xy20 和 xy20 四、解答题：15（1）当 m0 时，f(x)2x2xlnx，f(x)4x1 1 x，1 分 则 f(1)4，f(1)3，3 分 所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 4xy105 分（2）当 m1 时，ln(xm)ln(x1)，所以 f(x)2x2xln(x1)8 分 令 g(x)2x2xln(x1)，x1，则 g(x)4x1 1 x14x25xx1，9 分 当1x0 时，g(x)0，g(x)在(1，0)上单调递减；当 x0 时，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递增11 分
11、 所以 g(x)g(0)0 故 f(x)g(x)0 13 分 16（1）甲以 31 取胜的概率为 C23p2(1p)p3p33p4，2 分 甲以 30 取胜的概率为 p3，3 分 则 3p33p4p3，解得 0p 2 3 5 分（2）X 的所有可能取值为 0，1，2，3 6 分 P(X0)(1 2 3)3C13 2 3(1 2 3)3 1 9，P(X1)C24(2 3)2(1 2 3)3 8 81，P(X2)C24(2 3)2(1 2 3)2 2 31681，P(X3)(2 3)3C23(2 3)2(1 2 3)2 316 27 所以 X 的分布列为 数学试题答案 第 2 页（共 4 页）X
12、0 1 2 3 P 1 9 8 81 1681 16 27 13 分 数学期望 E(X)0 1 91 8 8121681316 271848115 分 17（1）由(ab)(sinAsinB)(cb)sinC 及正弦定理可得，(ab)(ab)(cb)c，即 a2b2c2bc，所以 cosAb2c2a22bc 1 2，又 A(0，)，所以 A 33 分 由 a2b2c2bc 可知，a2b2c2bc2bcbcbc，当且仅当 bc 时，取等号 5 分 所以 S0 1 2bcsinA34a29 34 故 S0的最大值为9 347 分（2）由条件可知，S0，S1，S2是以 S0为首项，1 4为公比的等比
13、数列 8 分 所以 S0S1S2SnS0(1 1 4 1 42 1 4n)1 1 4n11 1 4S0 4 3(1 1 4n1)S0 10 分 要使 n 有最小值，4 3(1 1 4n1)9 346069 3202412 分 即 1 1 4n120232024，所以 1 4n112024，即 4n506 又 44256506，451024506，故整数 n 的最小值为 5 15 分 18（1）取 PB 中点 F，连接 EF，OF 又因为 E 为 PC 的中点，所以 EFBC，且 EF 1 2BC 在菱形 ABCD 中，ODBC，且 OD 1 2BC，所以 EFOD，且 EFOD，所以四边形 E
14、FOD 是平行四边形2 分 所以 OFDE，又 OF平面 POB，DE平面 POB，所以 DE平面 POB 4 分（2）连接 AF，由（1）知，A，D，E，F 四点共面 在PAB 中，PAAB，F 为 PB 的中点，所以 AFPB，数学试题答案 第 3 页（共 4 页）因为BADPAD60，PAABAD，所以PAD，ABD 都是正三角形，在POB 中，POOB，所以 OFPB，又因为 AFOFF，AF，OF平面 ADE，所以 PB平面 ADE7 分 又因为 PB平面 PBC，所以平面 ADE平面 PBC8 分（3）由（2）知，PAD，ABD 都是正三角形，且 O 为 AD 的中点，所以 ADO
15、B，ADOP 由（1）知，EFAD，所以 EFOB，EFOP，又 OBOPO，OB，OP平面 POB，所以 EF平面 POB 所以EOF 即为直线 OE 与平面 POB 所成的角10 分 因此EFOF2 33，得 OF32 在POB 中，POOB 3，可得POB120 11 分 以 O 为原点，OA，OB 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，则 B(0，3，0)，D(1，0，0)，P(0，32，32)，C(2，3，0)所以 E(1，34，34)，DE(0，34，34)，DB(1，3，0)12 分 设平面 BDE 的一个法向量为 m(x，y，z)，则 DE m34y34z
16、0，DB mx 3y0，取 x 3，则 m(3，1，33)是平面 BDE 的一个法向量14 分 又 n(0，0，1)是平面 BDC 的一个法向量 15 分 所以 cosm n|m|n|3331131313 由图形可知，二面角 EBDC 的余弦值为131317 分 19（1）设 W 的方程为 x2y22，则 228，所以 24所以 W 的方程为 x2y242 分 所以 W 的顶点为 F1(2，0)，F2(2，0)，则 8b24，所以 b24 所以 E 的方程为x28y2414 分 O E D C B A P F x y z 数学试题答案 第 4 页（共 4 页）（2）设 P(x0，y0)，则 x20y204，直线 PF1的斜率为y0 x02，直线 PF2的斜率为y0 x02，所以y0 x02y0 x02y20 x20416 分 设直线 PF1的方程为 yk(x2)，则直线 PF2的方程为 y 1 k(x2)，联立 x28y241，yk(x2)，消去 y 并整理得，(2k21)x28k2x8k280，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28k22k21，x1x28k282k2
