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1、数学竞赛参考答案 第1页(共 10 页)2023 年泉州市普通高中数学学科竞赛年泉州市普通高中数学学科竞赛 参参 考考 答答 案案 一、填空题:本题共一、填空题:本题共 15 小题,每小题小题,每小题 6 分,共分,共 90 分。分。1设集合3|10 xAxx,2320|Bx xx,则AB=_【答案】【答案】2【解析】【解析】由013xx得13x,则13|Axx,又21,B,因此 2AB 2已知23x,39log2y,则1yx_【答案】【答案】2【解析】【解析】223log 3xx,所以33319log 2loglog 922yx 3已知数列na满足11a,*11()(1)nnnna aaan
2、n nN,则na _【答案】【答案】21nn 【解析】【解析】由11(1)nnnna aaan n,得111111(1)1nnaan nnn,故111111nnanan,即11nan为常数列,得1111121nana,所以21nnan 4若3sin()35x,且5(,)66x ,则sin(2)3x_【答案】【答案】2425【解析】【解析】因为5(,)66x ,所以,32 2x ,又3sin35x,所以4cos35x,所以23424sin(2)sin(2)2sin()cos()2()33335525xxxx 5记,max,a aba bb ab则函数2()max|1|,|5|f xxx的最小值为
3、_【答案】【答案】1【解析】【解析】令212()1,()5f xxfxx,则两个函数图象交于点,A B C D,根据()f x的定义可知()f x的图象是图中实线的部分,易知点B的纵坐标是函数的最小值,由方程215xx ,解得3,2DBxx,所以()(2)1Bf xf 6 设,a b为实数,且0ab,虚数z为方程20axbxa的一个根,则|1i|z 的最大值为_ yx532123DCBAO数学竞赛参考答案 第2页(共 10 页)【答案】【答案】21【解析】【解析】因为z和z为实系数二次方程02abxax的两个共轭虚根,由韦达定理知1az za,即12z,所以1z,z对应的点Z是复平面中以0,0
4、O为圆心,半径1r 的圆上的点,1iz 可 以 看 成 点Z与 定 点)1,1(A的 距 离,当 且 仅 当22i22z 时,1iz 取 最 大 值21AOr 7 已知函数(1)yf x的图象关于直线1x 对称,当0 x 时,1()exf x,设10a,1cos52b,22tan201tan20c,则(),(),()f af bf c的大小关系为_(请用“0,1,由MPMQ,得1211xx,1241yy ,由PNNQ,得1201xxx,1201yyy 15 分 将对应项相乘得:222121212021111xxxxxxx,222121212024111yyyyyyy,而2222112244,4
5、4xyxy,所以22222221212002224()4(1)1444111xxyyxy,即001640 xy,所以点00(,)N xy在直线:1640lxy上,20 分 所以|RN的最小值即R到直线l的距离d,其中10284 257257d,这时,(4,0)N在双曲线右支内,符合题意,所以RN的最小值为4 257 25 分 20(25 分)已知多项式1110()nnnf xxaxa xa(1)若3n,且()0f x 有三个正实数根123,x xx,证明:3201282727aaa a;(2)对一般的正整数4n,若15na,212na,318na,(04)iain R,证明:方程()0f x
6、的根不全是正实数【解析】【解析】证明:(1)方法一:由韦达定理有:123212132311230,xxxax xx xx xax x xa 5 分 要证的结论:3320121231231231213238272782727aaa axxxx x xxxxx xx xx x 333222222123123121321233132863xxxx x xx xx xx xx xx xx x,又33312312312322 36xxxx x xx x x,故只需证明3332222221231213212331322 xxxx xx xx xx xx xx x 易知当13ij 时,23322323200
7、ijijjiiijjjiijijxxx xx xxx xxx xxxxx,数学竞赛参考答案 第10页(共 10 页)而最后一式显然成立,因此原结论成立 10 分 方法二:由韦达定理有:123212132311230,xxxax xx xx xax x xa 5 分 又3333333123123111311133633iiijijiiijiiijiiijxxx xxxx x xxxx xx x x ,由幂平均不等式:33331133iiiixx,得33331119iiiixx,所以33333123111131339iiiijiiiijxxxx xx x x ,将韦达定理代入得33222101()
8、()3()39aaaaa,整理即得3201282727aaa a 10 分 方法三:由韦达定理得123212132311230,pxxxaqx xx xx xarx x xa 5 分 由 Schur(舒尔)不等式知23pq,3297prpq,所以326ppq,362721prpq,所以382727prpq,即3201282727aaa a 10 分(2)反证法:假设方程()0f x 的根全是正实数,设这n个正实根为12,nx xx 由韦达定理有:1115,12,18,niiijij nijkij k nxx xx x x 则33111112536nniiijijijkiiij nij k nxxx xxxx x x 3111133nniiijijkiiij nij k nxxx xx x x 20 分 33113 5 123 18126125nniiiixx ,矛盾,故原结论成立 25 分