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1、2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县创新实验班高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|1x29，B=x|142x0,b0)的右焦点为F，点P是双曲线C的渐近线上的一点，点M是双曲线C左支上的一点.若四边形OFPM是一个平行四边形，且OMOP，则双曲线C的离心率是()A. 3B. 2C. 5D. 38.已知函数f(x)=lnx,x11x3,x1，若函数y=f(x)a(x1)恰有三个零点，则实数a的取值范围是()A. (34,0)B. (,34)C. (3,34)D. (0,1)二、多选题：本题共
2、3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的是()A. 数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的75%分位数为11B. 已知变量x，y的线性回归方程y =0.3xx，且y=2.8，则x=4C. 已知随机变量XB(7,0.5)，P(X=k)最大，则k的取值为3D. 已知随机变量XN(0,1)，P(X1)=p，则P(1X0为常数，旋轮线C也可看作某一个函数y=f(x)的图象.下列说法正确的有()A. 点P(R,2R)在旋轮线C上B. 函数f(x)是偶函数C. 函数f(x)不是周期函数D. 当R=1时，函数f(x)在(12,0)单调递减三、填空题：本题共
3、3小题，每小题5分，共15分。12.在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c=acosB+2cosA，2b=c，若cosC=14，则ABC的面积为_13.已知椭圆C：x2a2+y2=1(a1)的左，右焦点分别是F1，F2，P是椭圆C上第一象限内的一点，且PF1F2的周长为4+2 3.过点P作C的切线l，分别与x轴和y轴交于A，B两点，O为原点，当点P在C上移动时，AOB面积的最小值为_14.已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a4+b4+c4+a2b2a2+b2=2c2，若c为最大边，则a+bc的取值范围是_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证
4、明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数f(x)=exacosxx(a0)(1)当a=1时，求f(x)在区间0,上的最值；(2)当x(0,时，f(x)0，求a的取值范围16.(本小题15分)已知四棱柱ABCDA1B1C1D1如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D在平面A1B1C1D1内的投影为点A1，且AB=AA1=2AD，ABC=120(1)求证：平面A1BD平面ADD1A1；(2)已知点E在线段C1D上(不含端点位置)，且平面A1BE与平面BCC1B1的夹角的余弦值为 55，求DEEC1的值17.(本小题15分)某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的
5、产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶A1，A2，A3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B1，B2中的一个(1)记事件En：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶A1，A2，A3玩偶；事件Fn：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐B1，B2玩偶；求概率P(E5)及P(F4)；(2)某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为23，购买乙系列的概率为13；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34，前一次购买乙系列
6、的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为Qn求Qn的通项公式；若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个18.(本小题17分)过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称PAB为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二.如图，点P是圆Q：x2+(y+5)2=4上的动点，PAB是抛物线：x2=2py(p0)的阿基米德三角形，F是抛物线的焦点
7、，且|PF|min=6(1)求抛物线的方程；(2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；(3)设D是“囧边形”的抛物线弧AB上的任意一动点(异于A，B两点)，过D作抛物线的切线l交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：|AM|BN|=|PM|PN|19.(本小题17分)若数列xn满足：存在等差数列cn，使得集合xn+cn|nN元素的个数为不大于k(kN)，则称数列xn具有Q(k)性质(1)已知数列an满足a1=2，an+1=an+2+cosn2+sinn2(nN)求证：数列an+cosn2是等差数列，且数列an有Q(3)性质；(2)若数列an有Q(k1)性质，数列bn有Q
8、(k2)性质，证明：数列an+bn有Q(k1k2)性质；(3)记Tn为数列fn的前n项和，若数列Tn具有Q(k)性质，是否存在mN，使得数列fn具有Q(m)性质？说明理由参考答案1.D2.D3.B4.D5.C6.A7.A8.C9.BD10.ACD11.ABD12.3 15413.214.(1,2 33215.解：(1)当a=1时，f(x)=excosxx，f(x)=ex+sinx1 当x0,时，ex1e01=0，sinx0，f(x)0，f(x)在0,上单调递增，f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f()=e+1(2)当x(0,时，f(x)0(exacosxx)min0 f(x)=ex
9、+asinx1，x(0,，ex10，sinx0，当a0时，f(x)0，f(x)在0,上单调递增，f(x)minf(0)=1a，1a0，0a1，a的取值范围为0,116.解：(1)证明：四棱柱ABCDA1B1C1D1如图所示，底面ABCD为平行四边形，点D在平面A1B1C1D1内的投影为点A1，且AB=AA1=2AD，ABC=120A1D平面ABCD，AD平面ABCD，A1DAD，在ADB中，设AB=2，AD=1，DAB=60，由余弦定理，得BD2=AB2+AD22ABADcosDAB=22+12221cos60=3，BD= 3，AD2+BD2=AB2，ADDBA1DDB=D，A1D、DB平面A
10、1BD，AD平面A1BD，AD平面ADD1A1，平面A1BD平面ADD1A1(2)由(1)知，DA，DB，DA1两两垂直，以D为坐标原点，分别以向量DA，DB，DA1的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，如图，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0, 3,0)，A1(0,0, 3)，C(1, 3,0)，AC=(2, 3,0)，A1C1=AC，C1(2, 3, 3)，A1B=(0, 3, 3)，DC1=(2, 3, 3)，设DE=DC1(01)，则DE=DC1=(2, 3, 3)，即E(2, 3, 3)A1E=(2, 3, 3 3)；设n=(x1,y1,z1)为平面A
11、1EB的一个法向量，则nA1B=0nA1E=0即 3y1 3z1=02x1+ 3y1+( 3 3)z1=0令z1=2，得x1=2 3 3,y1=2，故n=(2 3 3,2,2)；由题意得知DB平面BCC1B1，故m=(0,1,0)为平面BCC1B1的一个法向量；设平面A1EB与平面BCC1B1的夹角为，点E在线段C1D上(不含端点位置)，且平面A1BE与平面BCC1B1的夹角的余弦值为 55，则cos=|nm|n|m|=2 20212+3= 55，解得=14，故DEEC1=1317.解：(1)若一次性购买5个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为33333=243，集齐A1，A2，A3玩偶，有如下两种情况：其中一个玩偶3个，其他两个玩偶各1个，有C31C53A22=60种结果；若其中两个玩偶各2个，另外两个玩偶1个，则共有C31C51C42=90种结果，故P(E5)=60+90243=5081；若一次性购买4个乙系列盲盒，全部为B1与全部为B2的概率相等，均为124=116，故P(F4)=1116116=78(2)由题可知：Q1=23，当n2时，Qn=14Qn1+12(1Qn1)=1214Qn1，则Qn25=14(Qn125)，且Q125=415，即Qn25是以415为首项，以14为公比的等比数列所以Qn25=415(14)n
