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1、湖北省武汉市部分重点高中2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1已知复数，则z的虚部为( )A.2B.C.D.2已知，向量，且，则( )A.B.C.D.3下面关于函数叙述中正确的是( )A.关于直线对称B.关于点对称C.在区间上单调递减D.函数的零点是4在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于( )A.B.C.D.5函数的部分图象如图，则( )A.B.C.1D.6函数的最大值为( )A.B.2C.D.7在中，若，且，则( )A.B.C.3D.28设O是的外心，点D为的中点，满足，若，则面积的最大值为( )A.2B.4C.D.8二、
2、多项选择题9在中，则角C的可能取值是( )A.B.C.D.10下面四个命题中的真命题为( )A.若复数z满足，则B.若复数z满足，则C.已知，若，则D.已知，若，则11如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，则下列结论中，错误的是( )A.B.C.D.在上的投影向量为三、填空题12已知向量，满足，则_.13已知为锐角，则_.14已知函数其中.若，在区间上单调递增，则的取值范围是_.四、解答题15已知（1）化简；（2）已知，求的值.16在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题
3、中，并作答.问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且选择条件_.（1）求角A；（2）若为的平分线，且与交于点M，求的周长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17如图所示，在中，D是边的中点，E在边上，与交于点O.（1）以，为基底表示；（2）若，求x，y的值；（3）若，求的值.18某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（米）的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点E正好为的中点，电梯的坡度.某人在扶梯上点P处（异于点C）观察广告牌的视角，当人在A点时，观测到视角的正切值为.（1）设的长为m米，用m表示；（2）求扶梯的长；（3）当某人在扶梯上
4、观察广告牌的视角最大时，求的长.19我们把（其中，）称为一元n次多项式方程.代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程（即，为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积.即，其中k，为方程的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即，为实数），方程有实数根，则多项式必可分解因式.例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，.（1）在复数集内解方程：；（2）设，其中，且.（i）分解因式：
5、；（ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证：当时，.参考答案1答案：C解析：复数的虚部为.故选：C.2答案：B解析：由，可得，因为所以，解得：，所以，所以.故选：B.3答案：B解析：由，所以A错，B对；由，所以，又不是子集，故C错；由，故D错；故选：B.4答案：C解析：，所以，所以，即，解得，由余弦定理有，而，所以.故选：C.5答案：B解析：由图可知，解得，又，所以，解得，注意到，从而，所以，所以.故选：B.6答案：A解析：设，根据辅助角公式，由，于是，故，当，y取得最大值.故选：A.7答案：D解析：由，得，.由题，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故.故选：D.
6、8答案：B解析：因为，所以，从而，即，所以，所以，所以的面积为，等号成立当且仅当，综上所述，面积的最大值为4.故选：B.9答案：BC解析：由正弦定理有，即，解得，注意到从而，所以角C的可能取值是，.故选：BC.10答案：AB解析：对于A，由于，而z是实数的倒数，所以，故A正确；对于B，若，则有，则，故B正确；对于C，取，显然满足，但不成立，故C错误；对于D，显然有，但不成立，故D错误.故选：AB.11答案：ACD解析：对于A，故A错误；对于B，故B正确；对于C，故C错误；对于D，在上的投影向量为，而由C选项分析可知，由A选项分析可知，且注意到，所以在上投影向量为，故D错误.故选：ACD.12答
7、案：1解析：因为，所以，解得.故答案为：1.13答案：解析：因为为锐角，所以，所以，所以，又因为，所以，所以.故答案为：.14答案：解析：由题意，所以在单调递增，若在区间上单调递增，则在上单调递增，所以，其中，解得，从而等号不能同时成立，解得，又，所以只能，或，即的取值范围是.故答案为：.15答案：（1）（2）解析：（1）依题意得，.（2）依题意得，得到，于是.16答案：（1）（2）解析：（1）若选，则，又因为，所以，即，所以，又因为，所以，所以，解得；若选，则，由正弦定理可得，故，又，故.若选择；由正弦定理可得，再由余弦定理得，即，.综上所述，无论选任何一个，都有；（2），因为，所以，又平分
8、，所以，所以，则，即由余弦定理得，即，所以，解得或（负值舍去），故的周长为.17答案：（1）（2），（3）解析：（1）.（2）连接，则，因为，所以，因为E，O，C三点共线，A，O，D三点共线，所以，解得.（3）设，则，所以，解得，所以，又因为，所以，即，所以.18答案：（1）（2）10（3）解析：（1）因为在直角三角形中，所以，因为，点E是的中点，从而，所以；（2）由（1）有，其中，而在直角三角形中，又因为，所以，即，解得或，注意到，所以，（否则时，有，矛盾），所以扶梯的长度为10米；（3）作于点Q，如图所示，设，则，由（2）可知，当取最大值时，即取最大值，等号成立当且仅当，所以此时.19答案：（1）1、（2）（i）；（i）证明见解析解析：（1）观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，即有，解得，即，令，则，即该方程的根为：1、；（2）（i）观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，则有，即，即；（ii）令，即，即，设，由，有，故函数必有两个不同零点，设，且，则，故，又，故，则方程的根有1、，且，故的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点的横坐标为1，即.
