《2022年高考分类题库考点40 直线与圆锥曲线的位置关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考分类题库考点40 直线与圆锥曲线的位置关系（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点40 直线与圆锥曲线的位置关系1.(2022新高考卷T16)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为12,过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则ADE的周长是.【命题意图】本题主要考查直线与椭圆的综合应用,需要学生很强的综合能力.【解析】因为椭圆的离心率为e=ca=12,所以a=2c,所以b2=a2-c2=3c2,所以椭圆的方程为x24c2+y23c2=1,即3x2+4y2-12c2=0,不妨设左焦点为F1,右焦点为F2,如图所示,因为AF2=a,OF2=c,a=2c,所以AF2O=3,所以AF1F2为正三角形,因
2、为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,DE为线段AF2的垂直平分线,所以直线DE的斜率为33,斜率倒数为3, 直线DE的方程:x=3y-c,代入椭圆方程3x2+4y2-12c2=0,整理化简得到:13y2-63cy-9c2=0,判别式=(-63c)2+4139c2=6216c2,所以|DE|=1+(3)2|y1-y2|=213=264c13=6,所以c=138, 得a=2c=134, 因为DE为线段AF2的垂直平分线,根据对称性,AD=DF2,AE=EF2,所以ADE的周长等于F2DE的周长,利用椭圆的定义得到F2DE的周长为|DF2|+|EF2|+|DE|=|DF2|+|EF2|+
3、|DF1|+|EF1|=|DF1|+|DF2|+|EF1|+|EF2|=2a+2a=4a=13.答案:132.(2022新高考卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=3x.(1)求C的方程;(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1x20,y10.过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立:M在AB上;PQAB;|MA|=|MB|.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【命题意图】本题考查了直线和双曲线的位置关系,考
4、查了运算求解能力,转化与化归能力.【解析】(1)右焦点为F(2,0),所以c=2,因为渐近线方程为y=3x,所以ba=3,所以b=3a,所以c2=a2+b2=4a2=4,所以a=1,所以b=3,所以C的方程为:x2-y23=1;(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零,直线AB的斜率不为零,若选由推或选由推:由成立可知直线AB的斜率存在且不为零;若选推,则M为线段AB的中点,假若直线AB的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知M在x轴上,即为焦点F,此时由对称性可知P,Q关于x轴对称,从而x1=x2,与已知条件不符;总之,直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB的方程为y=k(x
5、-2)(*),设M(x0,y0),则条件M在AB上,等价于y0=k(x0-2)ky0=k2(x0-2),两渐近线的方程合并为3x2-y2=0(*),联立(*)(*)消去y并化简整理得:(k2-3)x2-4k2x+4k2=0,设A(x3,y3),B(x4,y4),线段中点为N(xN,yN),则xN=x3+x42=2k2k2-3,yN=k(xN-2)=6kk2-3,条件|MA|=|MB|等价于(x0-x3)2+(y0-y3)2=(x0-x4)2+(y0-y4)2,移项并利用平方差公式整理得:(x3-x4)2x0-(x3+x4)+(y3-y4)2y0-(y3+y4)=0,x0-x3+x42+y3-y
6、4x3-x4y0-y3+y42=0,即x0-xN+k(y0-yN)=0,即x0+ky0=8k2k2-3;由题意知直线PM的斜率为-3, 直线QM的斜率为3,所以由y1-y0=-3(x1-x0),y2-y0=3(x2-x0),所以y1-y2=-3(x1+x2-2x0),所以直线PQ的斜率m=y1-y2x1-x2=-3(x1+x2-2x0)x1-x2,直线PM:y=-3(x-x0)+y0,即y=y0+3x0-3x,代入双曲线的方程x2-y23=1,即(3x+y)(3x-y)=3中,得:(y0+3x0)23x-(y0+3x0)=3,解得P的横坐标:x1=1233y0+3x0+y0+3x0,同理:x2
7、=-1233y0-3x0+y0-3x0,所以x1-x2=133y0y02-3x02+y0,x1+x2-2x0=-3x0y02-3x02-x0,所以m=3x0y0,所以条件PQAB等价于m=kky0=3x0,综上所述:条件M在AB上,等价于ky0=k2(x0-2);条件PQAB等价于ky0=3x0;条件|AM|=|BM|等价于x0+ky0=8k2k2-3;选推:由解得:x0=2k2k2-3,所以x0+ky0=4x0=8k2k2-3,所以成立;选推:由解得:x0=2k2k2-3,ky0=6k2k2-3,所以ky0=3x0,所以成立;选推:由解得:x0=2k2k2-3,ky0=6k2k2-3,所以x
8、0-2=6k2-3,所以ky0=k2(x0-2),所以成立.3.(2022全国乙卷文科T21)(与理科T20相同)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B32,-1两点.(1)求E的方程;(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足MT=TH.证明:直线HN过定点.【命题意图】考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系,考查分类讨论思想、数学运算能力等.【解析】(1)设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn),过A(0,-2),B32,-1,则4n=194m+n=1,解得m=13,n=14,所
9、以椭圆E的方程为:y24+x23=1.(2)A(0,-2),B32,-1,所以直线AB的方程为y+2=23x,若过点P(1,-2)的直线斜率不存在,直线x=1,代入x23+y24=1,可得M1,263,N1,-263,代入AB的方程y=23x-2,可得T6+3,263,由MT=TH得到H26+5,263.求得直线HN的方程为y=2-263x-2,过点(0,-2).若过点P(1,-2)的直线斜率存在,设kx-y-(k+2)=0,M(x1,y1),N(x2,y2).联立kx-y-(k+2)=0x23+y24=1,得(3k2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0,可得x1+x2=6k(2+
10、k)3k2+4x1x2=3k(4+k)3k2+4,y1+y2=-8(2+k)3k2+4y1y2=4(4+4k-2k2)3k2+4,且x1y2+x2y1=-24k3k2+4(*)联立y=y1y=23x-2,可得T3y12+3,y1,H(3y1+6-x1,y1).可求得此时HN:y-y2=y1-y23y1+6x1-x2(x-x2),将(0,-2)代入整理得2(x1+x2)-6(y1+y2)+x1y2+x2y1-3y1y2-12=0,将(*)代入,得24k+12k2+96+48k-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0,显然成立,综上,可得直线HN过定点(0,-2).【误区警示】从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
