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1、考点38 双曲线1.(2022全国乙卷理科T11)双曲线C的两个焦点为F1,F2,以C的实轴为直径的圆记为D,过F1作D的切线与C交于M,N两点,且cosF1NF2=35,则C的离心率为()A.52 B.32 C.132 D.172【命题意图】考查双曲线的概念与性质、正弦定理以及数学运算能力.【解析】选AC.设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),情况一:当直线与双曲线交于两支时, 设过F1的切线与圆D:x2+y2=a2相切于点P,则|OP|=a,OPPF1,又|OF1|=c,所以PF1=OF12-OP2=c2-a2=b,过点F2作F2QMN于点Q,所以OPF2Q,又O为F1F2
2、的中点,所以|F1Q|=2|PF1|=2b,|QF2|=2|OP|=2a,因为cosF1NF2=35,F1NF20,b0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值.【命题意图】本题考查双曲线的简单性质的应用,离心率的求法【解析】C:x2a2-y2b2=1(a0,b0),所以C的渐近线方程为y=bax,结合渐近线的特点,只需01,所以1e5.答案:2(答案不唯一,满足10)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=.【命题意图】本题考查双曲线的简单性质的应用,直线与圆的位置关系的判断,是中档题.【解析】双曲线y2-x2m2=1(m0)的渐近线为x=my,圆x2+y
3、2-4y+3=0的圆心为(0,2),半径为1,双曲线y2-x2m2=1(m0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则有2m1+m2=1,解得m=33,m=-33(舍去).答案:334.(2022北京高考T12)已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=33x,则m=.【命题意图】考查双曲线的渐近线,容易题.【解析】由y2+x2m=0得双曲线的渐近线方程为y=x-m,所以1-m=33,m=-3.答案:-35.(2022浙江高考数学科T16)(4分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2
4、,y2),且x10x2.若|FB|=3|FA|,则双曲线的离心率是.【命题意图】双曲线的几何性质与直线与双曲线相交的运算,考查了学生的运算能力,通过求离心率考查了几何性质的应用.【解析】过F且斜率为b4a的直线AB:y=b4a(x+c),渐近线l:y=bax,联立y=b4a(x+c)y=bax,得Bc3,bc3a,由|FB|=3|FA|,得A-5c9,bc9a,而点A在双曲线上,于是25c281a2-b2c281a2b2=1,解得c2a2=8124,所以离心率e=364.答案:364【反思总结】双曲线渐近线是其独有的性质,所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点:解渐近线,直接把双曲线后面的1换成0即可;双曲线的焦点到渐近线的距离是b;双曲线的顶点到渐近线的距离是abc.
