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考点27 基本不等式12.(2022新高考卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则()A.x+y1 B.x+y-2 C.x2+y22 D.x2+y21【命题意图】本题主要考查了三角代换求最值,考查了三角函数的性质,同时考查了学生分析问题,转化问题的能力.【解析】选BC.因为aba+b22a2+b22(a,bR),由x2+y2-xy=1可变形为,(x+y)2-1=3xy3x+y22,解得-2x+y2,当且仅当x=y=-1时,x+y=-2,当且仅当x=y=1时,x+y=2,所以A错误,B正确;由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xyx2+y22,解得x2+y22,当且仅当x=y=1时取等号,所以C正确;因为x2+y2-xy=1变形可得x-y22+34y2=1,设x-y2=cos ,32y=sin ,所以x=cos +13sin ,y=23sin ,因此x2+y2=cos2+53sin2+23sin cos =1+13sin 2-13cos 2+13=43+23sin2-623,2,所以x2+y21不成立,所以D错误.
