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1、二次根式知识点一：二次根式的概念定义：一般地，形如o的代数式叫做二次根式。厂”称为二次根号。注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以以之。,是m为二次根式的前提条件，如 石，& +1 ,后”(工N1)等是二次根式，而7-2 ,等都不是二次根式。例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：J2、褥、- &(x0)、J0、4/2、-J2、1、xx y (x y?0)- x y知识点二：取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a叁0时，ja有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等
2、于零即可。2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当aQ表示a的算术平方根，也就是说，%a (a0)是一个非负数，即 Va (aQ。注：因为二次根式 五 (a0)表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是 0,所以非负数(a。的算术平方根是非负数，即 Va (aQ ,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。例4(1)已知y= M2 x 4x 2+5,求x的直 y若 7、丁7 =0,求 a2004+b2004 的值知识点四：二次根式 。2的性质va =a (a)Q文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公
3、式a 2=a （a0是逆用平方根的定义得出的结论。例i计算J52 例2在实数范围内分解下列因式(1) x2 34(2) X知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简M体 时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等于a本身,即必二同二口 3之0）.若a是负数,则等于a的相反数-a,即好二同=；2、晤 中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值， W一定有意义;3、化简斯时，先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简例1化简（1）出（2）门（3）岳（4）信例2 填空：当a0时，7a =.当aa,则a是什么数?例 3 当
4、 x2 ,化简 J X 2 2 V 1 2X 2知识点六：（出厂与 必的异同点1、不同点：与J了表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而 必 表示一 个实数a的平方的算术平方根；在中厘之口，而中a可以是正实数，0,负实数。但 L）与它都是非负数，即 L，G。因而它的运算的结果是有差别的，（如,口。叫，而a （行40）2、相同点：当被开方数都是非负数，即厘之口时,1国无意义，而必=a知识点七：二次根式的乘除1、 乘法 Va jyb = Jab (a0, b 0)反过来： JOb = ja - Jb (a0, b0)a a!(a0, b0)b . b_ , a a一2、除法(a 0
5、, b0)反过来,例1 .计算(3) 99x277(4)(1) 4 痣X J1 X &例2化简 J9 16(2) Jl6 81(3) J9x2y2(4) V54例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:（1）、.（ 4） （ 9）.，吗：飞(2)/25 =4 X12 X 725=4 J1I X 725 =4 1/12 =8 73,12311 彳,64例4.计算：（1）/（2）8- （3）七北（4）藐(3)例6.已知9x Y9=x,且x为偶数，求(1+x) x 6 x 6知识点八：最简二次根式与同类二次根式1、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数 不含分母或分母中不含二次根式；（2）被
6、开方数中 不含开得尽方的因数或因式2、化简最简二次根式的方法：（1）把被开方数（或根号下的代数式）化成积的形式.即分解因式：（2）化去根号内的分组或分母虫的根号），即分母有理化；（3）将根号内能开得尽方的因数一（或因式）开出来.（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对 注意符号问题）3、同类二次根式：被开方数（因式）相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。判断是否是同类二次根式时 务必,将各个根式都化为最简二次根式。如 戊与屈例1 .把下列二次根式化为最简二次根式（1） 3.,15 ；（2） . x2y ( 16,黄冈)5 Vx -2 Vx = x4y2 ；（3） 8x2 y J6 12
7、 18 ；弋4 。D. 4(2)JT2 J3的结果是；知识点九：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次 根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减,二次根式部分不变），不能合并的直接抄下卷例 i .计算（1）J8+JT8（2）J16X + J64X(3) 3a-9+3疝 (闻+ V20 ) + ( VT2-T5)例 3.已知 4x2+y2-4x-6y+10=0 ,求(x5/9X+y2) - (x2 J2-5x J1)的值.【基础训练】1 .化简：(1) 772;(2) J252 242(4)5x3y2(x 0,y 0) ；(
8、5)202 .（ 16,安徽）化简 J 4 2 =o3 . （16,武汉）计算石的结果是（）A .2B. 2C. -24 .化简：（1） （16,泰安）99的结果是;（3） （16,宁夏）5后 屈二；(5) (16,宜昌)*：3+(5 *巧)=;(6)(7) (16,荆门)=;(8)5. （16,重庆）计算 厩 J2的结果是（）D、2A、6B、76C、26. （16,遵义）若 a 2 Jb飞 0,则 a2 b7. （ 16,聊城）下列计算正确的是（）C.D.8.下列运算正确的是（）D、A、 460.4B、V 1.5 21.5C、V938. （16,中山）已知等边三角形ABC的边长为3 33 ,
9、则A ABC的周长是 9. 比较大小：3 10。10. （16,嘉兴）使 JX2有意义的X的取值范围是11. （ 16,常州）若式子 4 5在实数范围内有意义，则X的取值范围是（）A.x-5B.x -513. （ 16,黑龙江）中，自变量14.下列二次根式中,的取值范围是x的取值范围是 x 2的是（）A、2 xB、 ，x+2C x 2D、x 215. （16,荆州）下列根式中属最简二次根式的是（a. .a2 1B.2C.、 8D. . 2716. （16,中山）下列根式中不是最简二次根式的是（a. ViOB.而C,而17 （16 ，常德）下列各式中与是同类二次根式的是（ ）BA 2C.D.18
10、.下列各组二次根式中是同类二次根式的是（A. JT2与 J1B, M8与历19.（ 16,乐山）已知二次根式A、5B、6C、7是同类二次根式，则的a值可以是（D、820. ( 16,大连)若 x ja bby y7aJb ,则xy的值为（A. 27aB. 2Vbc. a b21.计算:1)2)(3) (16,上海)(4) (16,庆阳)22先将 & 2 + J 3 x 2化简，然后自选一个合适的 x值，代入化简后的式子求值。 x 2. x3 2x2【提高训练】、热身运动1、若U成立，则x满足3 x 3 x2、使等式Jx i x i /X_7g/X7成立的条件是3、已知 Jx3 3x2 = x
11、Jx 3 ,则()(A) x0(B) x-34、若 xy 0,贝U vx2 2xy y2 + xx(A) 2x(B) 2y22xy y 二(C) -2x(D) -3x0 )(D) 2y5、6、7、8、若 0x1,则 J(x X)2 4 ；(x X)2 4等( )(A) 2(B) -(C) 2xxx(D) 2xa3化简三三便0,213n0)2、化简-33m2 3n22a2(a0)3223、1 化间 、.a-=2 ab4、5、已知x=x 1 x2 x3 . 2x =的值.（结果用最简二次根式表示）x2 xy4. 3 2x y 2x y3的值.（先化简xy,再化简分式，求值） 2 3x y6、当x=1 J2时，求2xx2 x x2的化a x a7、若 x, y 为实数，且 y= J1 4x + V4x1 + 1 .求 f 2 2 的值.2 y x Y y x8、若 I 1995-ai I + Ja 2000 =a,求 a-19952 的值.（提示：先由a-2000 0,判断1995-a%勺值是正数还是负数，去掉绝对值）
