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1、第二章圆锥曲线与方程(时间：120分钟满分：150分)第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2019鸡东二中月考)双曲线2x2y28的实轴长是()A2 B2C4 D4解析：双曲线的方程可化为1，a2，实轴长为4，故选C.答案：C2(2019保定月考)已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为4，A(2,3)为双曲线C上一点，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：由题可知，c2，双曲线的焦点为(2,0)，(2,0)，A(2,3)在双曲线上，2a532.a1，b，双曲线C的渐近线方程为
2、yx，故选D.答案：D3(2019海口月考)椭圆C：1与双曲线E：1(a0，b0)有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为()A. BC. D解析：椭圆1的焦点为(1,0)，离心率为，双曲线的离心率为2，c1，a，b，渐近线的斜率为k，渐近线的倾斜角的正弦值为，故选D.答案：D4已知抛物线y28x的准线与双曲线1(a0，b0)相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线方程是y2x，点F是抛物线的焦点，且FAB是直角三角形，则双曲线的标准方程是()A.1 Bx21C.1 Dy21解析：y28x的焦点为(2,0)，准线方程为x2，FAB是直角三角形，且由题意得，|AF|B
3、F|，由题意得|AB|8，A的坐标为(2,4)1，双曲线的渐近线方程为y2x，2，b2a，由得a22，b216，双曲线的标准方程为1，故选C.答案：C5(2019武汉四校期中)如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使点M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析：由题可知CD为MF的垂直平分线，连接PF，则|PM|PF|，|PO|PF|PO|PM|OM|R，又显然|MO|OF|，点P的轨迹是以O，F为焦点的椭圆，故选A.答案：A6若抛物线y2x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y
4、xb对称，且y1y21，则实数b的值为()A3 B3C2 D2解析：由题可知AB与直线yxb垂直，且AB的中点在yxb上，kAB1.设AB的中点为(x0，y0)，则yyx1x2，k1，y0，x0.又AB的中点在yxb上，即在yxb上，b，b2，故选D.答案：D7(2019阜阳一中月考)若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A. BC. D解析：由消去y，得(1k2)x24kx100，直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同两点，设两点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则由题意得解得k0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|BF|8，
5、则p的值为()A4 BC1 D2解析：设直线AB的方程为yx，由得x23px0.x1x23p，x1x2.|AF|BF|x1x2(x1x2)2p28，p24，p2或p2(舍去)故选D.答案：D10直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. BC. D解析：解法一：不妨设直线l过椭圆1(ab0)的上顶点(0，b)和左焦点(c,0)(b0，c0)，则直线l的方程为1，即bxcybc0，由已知得2b，解得b23c2.又b2a2c2，a24c2，e2.又0eb0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，1)，则E
6、的方程为()A.1 B1C.1 D1解析：由题意可得，kAB，故直线AB的方程为y(x3)由消去y并整理，得(a24b2)x26a2x9a24a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有1，a22b2.又a2b2c2b29，b29，a218.故E的方程为1.答案：D12若抛物线y28x的焦点为F，准线为l，则经过点F，M(3,3)且与l相切的圆共有()A0个 B1个C2个 D4个解析：连接FM，作它的中垂线，则要求的圆心就在中垂线上，经过点F，M且与l相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F的距离相等，圆心在抛物线上直线与抛物线交于两点， 这两点可以作为圆心，这样的圆有2个，故选C.答案
7、：C第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13双曲线的渐近线方程为x2y0，焦距为10，则双曲线的方程为_解析：设双曲线方程为x24y2(0)，1，|25，|20，20.双曲线的方程为1或1.答案：1或114椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若F1PF245，则椭圆的离心率e_.解析：由题意得PF1F2为直角三角形，|PF2|，F1PF245，|PF2|F1F2|，2c，a2c22ac，e22e10，解得e1.又0e1，e1.答案：115如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(
8、ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_解析：由题意得B，C，F(c,0)，又BFC90，0，即c2a2b20.又b2a2c2，ca，e.答案：16(2019福州期末)已知双曲线C：1(a0，b0)的左焦点为F，过原点O的直线与双曲线C相交于A，B两点，连接BF，若|OA|OF|5，|BF|8，则双曲线C的离心率为_解析：设双曲线的右焦点为F1，连接AF1，BF1，A，B两点关于原点O对称，且都在双曲线上，又|OA|OF|5，|AB|F1F|10，且四边形AFBF1为矩形，|BF|2|BF1|2|FF1|2，|BF1|6，2a|BF|BF1|862，a1
9、，又c5，e5.答案：5三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)已知双曲线与椭圆1共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线的方程解：椭圆1的焦点为(0，4)，e，双曲线的焦点为(0，4)设双曲线的方程为1(a0，b0)解得双曲线的方程为1.18(12分)已知抛物线C：y24x与直线y2x4交于A，B两点(1)求弦AB的长度；(2)若点P在抛物线C上，且ABP的面积为12，求点P的坐标解：(1)由得x25x40，x11，x24，|AB| |x1x2|14|3.(2)设P(x0，y0)，y4x0，P到直线AB的距离d，又SABP|AB|d12
10、，3d12，d，即8，y048或y048，或点P的坐标为(4，4)或(9,6)19(12分)(2019蕉岭月考)已知椭圆C过点A，两个焦点分别为(1,0)，(1,0)(1)求椭圆C的方程；(2)已知E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，求证：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值解：(1)由题意得，c1，又知椭圆C过点A，可设椭圆方程为1，解得b23，b2(舍去)，所以椭圆C的方程为1.(2)设直线AE的方程为yk(x1)，联立方程消y得(34k2)x24k(32k)x42120，设E(xE，yE)，F(xF，yF)，因为点A在椭圆上，所以xE，yEkxEk，又直
11、线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得xF，yFkxFk，所以直线EF的斜率kEF，即直线EF的斜率为定值，其值为.20(12分)(2019永泰二中期末)已知抛物线C：y22x，直线l：yxb与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点(1)当直线l过抛物线C的焦点F时，求|AB|；(2)是否存在直线l使得直线OAOB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由题意得F，把F代入l得，l：y，由消去y得x29x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x29，|AB|x1x2p9110.(2)假设存在使OAOB，x1x2y1y20，由消去x，得y24y4b0，由1616b0，得b1，又y1y24，y1y24b，x1x2y1y24b24b0，解得b0(舍)或b1，l：yx1，即x2y20.21(12分)已知动点M到定点F(1,0)和定直线x4的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设P(4,0)，过点F作斜率不为0的直线l与曲线C交于两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，求k1k2的值解：(1)设M(x，y)，则依题意有，整理得1，即为曲线C的方程(2)设直线l：xty1(t0)，则A(ty11，y1)，B(ty21，y2)，由得，(3t24)y26ty90.y1y2，y1y2，
