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1、学习必备欢迎下载解决平面向量问题五技巧”平面向量具有“数”和“形”的“双重身份”，是数形结合的典范准确把握平面向量的概念与运算，正确理解向量的几何意义，充分发挥图形的直观作用，挖掘“式”和“形” 中隐含的几何关系和数量关系，这样才能较好地解决平面向量问题在熟练掌握解决平面向量问题的通性通法的基础上，还要体味如何巧解平面向量问题，下面的“五巧”要尽量掌握一、巧用向量中点公式在平面内，设点 C为线段AB的中点,例1 (2011年高考上海卷文 18)设 H IMA2 MA3 MA4二0成立的点MA)0B)1 C , 2分析：O为任意一点，则 0 = -1(07 OB) A, A2,A3, A4是平面
2、上给定的4个不同点，则使的个数为(D -4-lT分析T由 条件得 MAMA?二-(MA3 MA4)MC MD (其中C为线段A,A2的中点，D为线段中点，问题即可获解解：设C为线段A 的中点，D为线段A3A4的中点，由条件得I I hMA MA 2二(MA 3 MA )4即MC = -MD，所以向量MC与MD是相反向量，且共用起点M，所以M为CD的中点，所以点 M的个数是唯一的，选 B 点评：利用向量中点公式对条件向量等式进行简化，化归为熟知的问题，简捷获解【牛刀小试】(赣州市 2011届高三摸底考试)在长方形ABCD中，AB二红6 ,3,联想向量中点公式进行简化得A3A4的中点)，进而得到M
3、为CD的AD 3 , O为AB的中点，若 P是线段DO上动点，则(PA PB) PD的最小值是3(解：由题意得|OD I、|OA|2 | AD |2 =1 因为O为AB的中点，所以FTTTTTTTTtPA十 PB=2PO ,设 | PD |=x ( 0 兰 x1),则 | PO|=1 x , (PA + PB) PD = 2PO PD1 2 11-2 | PO | | PD | cos180 = 2x(1 - x)二 2(x ),故所求最小值为2 221)2二、巧用 a _ b a b = 0例2 (2011护高考上海卷理11)在正三角形 ABC中，D是BC上的一点, BD =1，贝U AB_
4、AD二_ | 分析：欲求AB AD，而| AD|、cos BAD虽然可以利用条件求 出，但是显得繁琐；注意到匹_.=：60 , _BD =1 , AB =3，作DE _ AB垂足为E，则可将AB AD转化为AB AE，可快速获解 T 解t 虬!图T 过申 X仁DEqA%垂当 生 E ，则 A B A *B (AE ED)二 A B A E A B A B A詣 AE1 15= 3(3|BD|)：2 2点评：利用a _b a b= 0结合问题的特征(数量、图形)，数形结合， 目标进行转化，利于沟通条件而快捷获解【牛刀小试打(201占年高考湖南卷理 14)在边长为1的正三ABC中，设 BC =2B
5、D , CA=3CE，贝U AD B (解：依题意 D为BC的中点 _AD 导C jyDBEAD (BC CE) AD BC AD CE 二 AD CEAB=3，将要求解的AaD| |CE|cos150 3 1 （3）= 一丄.）2324三、巧用平面内三点共线的充要条件T平面内：代孚三点共线二（丸e R ）= 对平面内任意一点 O，使得OP = : oAOB （其中：，I ：= R，: = 1 ）.例3 （2011届北京市东直门学校第二次月考）已知A, B, C是平面上不共线的三点，01 0P （2 -2 ）0D（1 2 ）0C3为AABC的外心，D为AB的中点，动点P满足（R ），则点P的轨
6、迹一定过UABC的（）A .内心 B .外心C .重心D .垂心11分析：审视条件向量等式，有（2 _2 ）（1 2 ） =1，问题即可获解.3311110P（2 -2）0D（12, ）0C , （2 -2, ）（12, ） =1 ,所以3333解：因为P,C, D三点共线.又D为AB的中点，所以点 P的轨迹一定过 ABC的重心，选C. 点评：利用平面内三点共线的充要条件快捷揭去条件向量等式 的“包装”露出 P,C,D三点共线这个“内核”，问题迎刃而解.【牛刀小试】（哈尔滨市2011届高三第二次月考试题）如图，在.jABC , _AH _ B （于 H , M 为 AH 的中点， AM=h A
7、 BP A （则人 + 卩=.（解：因为M为AH的中点，B,H,C三点共线，所以2AM = AH =:1 一 1:=1 .所以 AM AB AC，所以（二 ） 2 2 2 2四、巧用常用结论（1）三角形四心的向量表示： 在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，0为2 2 2外心壬OA OB 0C 肓 G为重心=GA GB GC =0 ； _HA HBT T-ABAC （简化为AD ）所在的直线一定通过ABC的内心（即AD为.BAC的角平|AB| |AC|LLH为垂心二二 HB HC 二 HC HA ； I 为内心=a IA b IB c IC0 . ( 2)ABAC分线）;（3）
8、AB AC所在的直线一定通过ABC的重心；（4） ABAC -T |AB|cosB |AC|cosC（简化为AP，可证得 AP -BC =0 ）所在直线一定通过 ABC的垂心.例4 （上海市浦东新区 2011届高三质量抽测）点 O在 ABC所在平面内，空出下列关系式：（1） OA+OB+OC=o；（ 2）OAOB=OB OC=OC Oa；（ 3）OA（-C AB系式：(1) OA OB OC =0;(2)OAOB=OB OC = OC OA;(3)OA(-c|AC| |AB|恳（竺一竺）=0 ；（ 4）|BA|BC|为ABC的（ ）A .内心、外心、C.重心、垂心、分析：根据熟知的结论可排除选
9、项重心、垂心 内心、外心T T T T T T(OA OB) AB =(0B OC) BC =0 则点 O 依次B .重心、外心、内心、垂心D .外心、内心、垂心、重心 A、B、D，选 C.解：(1)显然0为二ABC的重心；(2)显然0为二ABC的垂心;设=AM,I AC|-AB AN，则aM、AN都为单位向量且分别与AC、|AB |AC ABOA ()=0得OA NM 0 ,所以OA _ MN，所以OA是.BAC的平分线；Iac| labi OB (-BCBA)=0得到OB是.ABC的平分线，所以O为ABC的内心.(4)|BC| |AB同向共线.由同理由OB) AB =0 得 2OD AB
10、= 0,所以 OD _ AB ,所以 OD 是AB的垂直平分线同理由 (OB OC)BC =0得到点O在线段BC的垂直平分线上，所 以O为. ABC的外心.点评：熟记一些重要而常用的小结论，对解决数学问题是很有益的，思路，或者可以直接用于解题赢得考试时间.【牛刀小试】(安徽蚌埠二中 2011届高三第四次质量检测题)已知设D为AB的中点，或者可以开启解题ABC所在平面上的动点M满足2 AM B AC -AB，则M点的轨迹过.：ABC的( )A .内心B .垂心| | C .重心|)D.(解：由已知得 2AM BC =(AC AB)(AC AB)，即2AM BC =(AC AB) bC，所以 BC
11、 2AM -(AB AC) =0,设 BC 的中点为 r T T t *D，则AB AC =2AD，所以BC 2DM = 0 ,所以MD _ BC，所以动点 垂直平分线上，所以 M点的轨迹过 ABC的外心，选D .)五、巧构图形1.构图求向量夹角的取值范围 例5 ( 2011年高考课标全国卷理2 二外心M在BC的命题：p1: |a b| 1=二0,331P3： |a - b| 1= r 0,)310)已知a与b均为单位向量，其夹角为*2兀P2: | a b | (，二3ji P4:|a b| 1=二(一，二3二，有下列其中真命题是A. P1, P4B. P1, P3分析：利用向量的三角形法则分
12、别表示 何变化结合条件即可确定相应的取值范围解：如图(1 )B片 a , |BC 冃 bI, |AC|=|a + b|, TCBD - v ,当BC绕着点B逆时针旋转时，二增大，2 二C. P2, P3D P2, P4a b、a - b，固定a而让b旋转,观察角二如|AC|=|a b |减小，当时 ABC为正三角形，易知3| a+b| 二=0,).如图(2) |AB|=|a| , | AC |=| b|,3|CBF|a-b|, CAB-v,当AC绕着点A逆时针旋转时，增大，|CBF|a-b|增大,易知，1 a-b |-u 71 -(，二，故选 A .3点评：向量具有“数”和“形”的双重特征，禾
13、U用向量的三角形法则和运动思想，研究 相应条件下二的取值范围，解法新颖独特，直观快捷(只画图让图在大脑中运动并抓临界值 即可获解).【牛刀小试】（2011年高考浙江卷理14）若平面向量：、，满足| |= 1 , - :为邻边的平面四边形的面积为一，则向量与：的夹角r的取值范围为2（解：如图，在单位圆 U 0中，取半径OA，设0A = ,作 OB _ 0A交圆于点B J 0B的中点D，过点D作0A的平行线交 单位圆于点E, F 设0C = 一：，当点C在线段EF （含两个端点）上 时满足却，且以向量：、 一：为邻边的平面四边形的面积为 丄，25:5 二易知.E0A , . F0A ，所以 -,）6 6 6 62.求向量的模的最值例6（2011年高考天津卷理14）已知直角梯形 ABCD中，AD / BC , . ADC二90：,AD =2 , BC =1, P是腰DC上的动点，贝U PA +3PB 的最小值为 .分析：构图时自然是从直角梯形ABCD内的向量图
