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1、立体几何专题：空间几何体表面最短路径问题77知识梳理一、棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图77s柱、圆锥、圆台的侧面展开图三、弧长与扇形面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，a (0 a 2n)或n。为其圆心角，则弧长公式与扇形面 积公式如下：类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长n兀r l =180l =ar扇形的面积 n 兀r 2S =360S = - lr = - ar 2 2 2、最短路径问题解题思路1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即 把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段 最短”
2、，构造三角形，借助解三角形的方法求解。事常考题型题型措析 rn M B MB 1 1 题型一棱柱表面最短路径问题【例1】如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD ACDX的棱CC1的中点，沿 正方体表面从点A到点M的最短路程是cm.j/1X iX 1# 1 /zpXB【答案】、03【解析】由题意，若以BC为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm，3cm，故两点之间的距离是.,I3cm.若以BB为折叠线展开，则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是pT3cm.【变式1-1】
3、长方体ABCD A1B1C1D1中，AB二4 , BC二3 , BB二5 ,只蚂蚁从 点A出发沿表面爬行到点C1 ,求蚂蚁爬行的最短路线.【解析】沿长方体的一条棱剪开，使A和展在同一平面上，求线段AC1的长 即可，有如图所示的三种剪法：乡7加y7/C.4/0A若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面， 可求得 AC二42 + (5 + 3)2 二、./80 = 4(2) 若将AD剪开，使面AC与面BC共面， 可求得 AC二钉32 + (5 + 4)2 = 90 =(3) 若将CC1剪开，使面BC与面AB1共面， 可求得 AC二 :(4 + 3)2 + 52 二相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长
4、为冷刃【变式1-2】一个火柴盒长、宽、高分别为为 3cm、2cm、1cm ， 只蚂蚁从火柴 盒的一个角a处，沿火柴盒表面爬到另一个角B处，所经过的最短路径长为cm .B【答案】3辽【解析】展开火柴盒所在长方体的表面，使AB在同一个矩形的对角线端点，这样的不同矩形共有三个，其对角线长度分别为：（1 ）这种情况对角线长为,4716 = 2語，（2 ）这种情况对角线长为近二湮6，这种情况对角线长为379 = 3迈所以最短路径3迈-【变式1-3】如图正三棱柱ABCAH的底面边长为V3，高为2，只蚂蚁要 从顶点A沿三棱柱的表面爬到顶点C ，若侧面AAfCfC津贴墙面（不能通行），则 爬行的最短距离是（
5、）A、V13B、2+V3C、4D、V3 + V7【答案】A【解析】（1 ）将侧面ABBfAf与侧面BCCrBf展开，如图：连接4C /，则AC = V（2V3）2 + 22 = 4 ,（2 ）将侧面fAf与4CB 展开，如图：连接4C ，则AC = V(V3)2 M M IM I I M I题型二棱锥表面最短路径问题【例 2】如图，在三棱锥 P-ABC 中，ZAPB=ZBPC=ZCPA=30。,PA=PB=PC=4 , 只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（）A.4V2【答案】AB.4V3C.3V3D.4V6【解析】如图所示：将三棱锥的侧面展开:贝
6、U ZAPA1=90，所求最短距离为AA1的长度/ PA=4，：由勾股定理可得4久=42 + 42 = 42. 所以虫子爬行的最短距离为4V2【变式2-1】如图底面为正方形的四棱锥P- ABCD中四条侧棱相等且PA = AB，E，F分别为棱PA和PC上的两点，PE = 3，PF = 6，F处有只蚂蚁欲沿该正四 棱锥的侧面爬行到E处，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A . 3貞B . 5迈【答案】C【解析】如图所示:因为底面为正方形的四棱锥P ABCD中，四条侧棱相等，且 PA = AB ,所以四棱锥P - ABCD是正四棱锥且所有的棱都相等， 当沿PA , PC剪开展成平面，EF最短，在PEF 中，
7、PE = 3，pf = 6，ZEPF = 120。， 由余弦定理得 EF2 = PE2 + PF2 2PE - PF - cos ZEPF(1)=9 + 36 2 x 3 x 6 x = 63，I 2丿解得 EF 二 3*7，所以蚂蚁爬行的最短距离为3门【变式 2-2】正三棱锥 PABC中，zAPB = PC 二/CPA二 90。，PA = PB = PC = a， AB的中点为M，若一只小蜜蜂沿锥体侧面经过棱PB由点M爬到点C，则最短 路程是()A . 10 aB 2 aC . (2 + -J2a)D . (1+、：5a)2 2 2 2【答案】A【解析】由题意，将侧面PAB , PBC展开到
8、一个平面上，如图所示：贝AABC中，AB 丄 BC ,AC = 2a ， AB = * 2a , BC =、：2aBM+ a2丿=亘a，即最短路线长是卫a【变式2-3】在四面体ABCD中，AB=BC=CA=1 , DA与直线AB、CA均垂直，且DA=V3，一只蚂蚁从A4BC的中心沿表面爬至点D ,则其爬过的路程最小值为( )A異b.V15 + V3C.啦3D.竝32633【答案】A【解析】因为DA丄AB , DA丄AC , ABAAC=A ,所以DA丄平面ABC ,所以平面DAC丄平面ABC , 将底面ABC旋转，以AC为轴，旋转至平面DAC与平面ABC共面，如图：此时0D的直线距离即为最短距
9、离，设0到直线AC的距离为d，A 4 2n2【答案】A题型三圆柱表面最短路径问题【例3】如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD为圆柱的轴截面，从A点开始， 沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长度为3n，则该圆柱的侧面 积为（）D 4n2【解析】长方形AEFD为圆柱的侧面展开图，如图所示:所以BC =J（3兀）2 兀2 = 2恵兀-B, C分别为AE和DF的中点.所以圆柱的侧面积为2KX 2払二4殛2.【变式3-1】如图，已知圆柱OO的高“，平面ABAB为圆柱的轴截面，现有一个1 1 1质点从点a出发，沿着圆柱的侧面绕行两圈半后到达名点的最短路线的长为逅6兀，则该几何体体积为（）A .
10、 n 2C 、；3n2D 4n2【答案】A【解析】设圆柱OO的上下底面的半径r ,1因为沿着圆柱的侧面绕行两圈半后到达刍点的最短路线的长为J26n , 所以可绘出图像，如图所示，则J 5nr 2 + n2 = /56，解得 r = 1 , 则该几何体体积为n x 12 x n二n2【变式3-2】边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为【答案】5打奔42【解析】如图矩形e1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的，坷则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为GE 1.由题意可知心GF厂芋，所以 GE=J G. 2 +GH 2=J +52所
11、以从点e沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是卡市.【变式3-3】如图，某圆柱的高为4 ,底面周长为16 , ZAOB=90。，则在此圆柱侧面上，从B到C的路径中，最短路径的长度为【答案】4V2【解析】因为圆柱的高为4，底面周长为16 , ZAOB=90 , 则在底面圆中恥=1x16 = 4 ,4如图将圆柱的侧面沿着母线AC展开，V rr其侧面展开图是矩形，且矩形的长为16 ,宽为4在此圆柱的侧面上，从B到C的路径中，最短路径的长度为展开图中线段BC的长度：BC = V42+42 = 4近题型四圆锥表面最短路径问题【例4】如图所示，已知圆锥的母线长为6 cm，底面直径为3 cm，在母线OA上 有
12、一点B , AB-2 cm ,求由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短距离.【答案】【解析】设侧面展开的扇形圆心角为n.由题意知底面周长为3n cm , 则牆 二 3n，解得 n 二 90.如图，在展开扇形中，/AOB二90 , OB= 4 cm.在 RtAAOB中，ABf 二钟AO2 + BO 二 严 + 42 = 2-.,03 cm. 故由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短距离为cm.【变式4-1】如图，圆锥的母线长为4 ,点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为2迁，则此圆锥的表面积为（）【答案】B【解析】设底面圆半径为r，由母线长1= 4，可知
13、侧面展开图扇形的圆心角为a=匹二竺l 2将圆锥侧面展开成一个扇形， 从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ,最短距离为BM;如图:=2, AB = 4所以 AM2 + AB2 = MB2,所以 ZMAB =-,2故a=-r =-,解得r = 1 ,2 2所以圆锥的表面积为s二-rl +-r2 = 5-【变式4-2】已知圆锥底面半径为1 ,母线长为2 ,点A为底面圆周上一点，若2只蚂蚁从点A出发沿着圆锥的侧面爬行一周回到A点，则蚂蚁爬行的最短距 离为.【答案】2J2【解析】由题意，圆锥底面半径为丄，母线长为2 ,22,Rx- = 因为圆锥底面半径为丄，可得底面周长为2兀r =2可得圆锥的侧面展开图为圆心角为90度的扇形，如图所示，则三角形OAB为边长为2的等腰直角三角形，所以最短距离为I AB = 22 .【变式4-3】如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A
